1、页 1 第2019 届福建省莆田市第一中学高三上学期第一次月考数学（理）试题试卷命题人：试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟第卷一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1. 若集合 0， ， ，集合 ，则集合 A. 0， ， B. C. D. 2. 设复数 Z 满足 ，则 Z 的共轭复数为 A. B. C. D. 3. 在下列四个命题中：命题“ ，总有 ”的否定是“ ，使得 ”；把函数 的图象向右平移 得到 的图象；甲、乙两套设备生产的同类型产品共 4800 件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 80 的样本进行质量检测若样本中有 50 件产品由甲设备生产，则乙设备生产
2、的产品总数为 1800 件；“”是“直线 与圆 相切”的必要不充分条件错误的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3页 2 第4. 函数 的最小正周期为 ，若其图象向左平移 个单位后得到的函数为奇函数，则函数 的图象 A. 关于点 对称 B. 关于点 对称C. 关于直线 对称 D. 关于直线 对称5. 设函数 ，则使得 成立的 x 的取值范围是 A. B. C. D. 6. 已知函数 的部分图象如图所示，则 A. ， B. ，C. ， D. ，页 3 第7. 在 中，内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，且满足 ，若 ，则 的最大值为 A. B. 3 C. D. 98. 已知等
3、比数列 中， ， ， 为方程 的两根，则 A. 32 B. 64 C. 256 D. 9. 袋子中装有形状和大小完全相同的五个小球，每个小球上分别标有“1”“2”“3”“4”“6”这五个数，现从中随机选取三个小球，则所选的三个小球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是 A. B. C. D. 10. 已知函数 的图象关于点 对称，且当 时， 成立其中是 的导函数，若 ， ， ，则a，b，c 的大小关系是 A. B. C. D. 11. 已知椭圆 与双曲线 有相同的焦点 ， ，点 P 是两曲线的一个公共点，且 ， ， 分别是两曲线 ， 的离心率，则 的最小值是 A. 4 B. 6 C. 8 D.
4、1612. 已知函数 的图象与直线 相切，当函数 恰有一个零点时，实数 t 的取值范围是 A. B. C. D. 第卷（共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）页 4 第13. 在 的展开式中含 项的系数是 .(用数字作答)14. 若两个正实数 x，y 满足 ，且不等式 有解，则实数 m 的取值范围是 .15. 已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 的焦点为 F， ，点 Q 在抛物线上，则的最小值为 . 16. 已知函数 在区间 内是增函数，函数 其中 e 为自然对数的底数，当 时，函数 的最大值 M 与最小值 m 的差为 则实数 .页 5 第三、解答题（本大题共
5、6 小题，共 70.0 分）17. （本题满分 12 分）设数列 的前 n 项和为 ，且 ，数列 满足 ，点 在 上， 求数列 ， 的通项公式；设 ，求数列 的前 n 项和 18. （本题满分 12 分）如图，在以 A，B，C ，D，E，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形， ，且二面角 与二面角都是 证明平面 平面 EFDC；求二面角 的余弦值19. （本题满分 12 分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的 100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图如图所示，规定 80 分及以上者晋级成功，否则晋级失败晋级成功 晋级失败 合计页 6 第男 16女 50合计求图中 a 的值
6、；根据已知条件完成下面 列联表，并判断能否有 的把握认为“晋级成功”与性别有关？将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取 4 人进行约谈，记这 4 人中晋级失败的人数为 X，求 X 的分布列与数学期望 参考公式： ，其中20.（本题满分 12 分）已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别是 、 以为圆心、以 3 为半径的圆与以 为圆心、以 1 为半径的圆相交，交点在椭圆 C 上求椭圆 C 的方程；直线 与椭圆 C 交于 A，B 两点，点 M 是椭圆 C 的右顶点直线 AM 与直线 BM分别与 y 轴交于点 P，Q，试问以线段 PQ 为直径的圆是否过 x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若
7、不是，说明理由页 7 第21.（本题满分 12 分）已知函数 f(x)=xex-a(lnx+x), .（1）当 a=e 时，求 的单调区间；（2）若 有两个零点，求实数 a 的取值范围.请在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为， 为参数，直线 l 的参数方程为为参数 以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点 P 的极坐标为 求点 P 的直角坐标，并求曲线 C 的普通方程；设直线 l 与曲线 C 的两个交点为 A，B，求 的值23.（本题满分 10 分）选修
8、 45：不等式选讲已知函数 ， 若 ，求 a 的取值范围；若 ，对 ， ，都有不等式 恒成立，求 a 的取值范围页 8 第页 9 第莆田一中 2018-2019 学年高三理数 10 月考试题参考答案1. C 2. D 3. C 4. C 5. B 6. A 7. A8. B 9. A 10. B 11. C 12. A13. 15 14. 15. 16. 17. 解： 由 可得 ，两式相减得 ， 又 ，所以 故 是首项为 1，公比为 3 的等比数列所以 由点 在直线 上，所以 则数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列则因为 ，所以 则 ，两式相减得： 所以 18. 证明： 为正方形， ，
9、， ， 平面 EFDC，平面 ABEF， 平面 平面 EFDC；解：由 ， ，可得 为二面角 的平面角；由 ABEF 为正方形， 平面 EFDC，页 10 第， 平面 EFDC， 即有 ，可得 为二面角 的平面角可得 ， 平面 EFDC， 平面 EFDC，平面 EFDC，平面 平面 ， 平面 ABCD， ， 四边形 EFDC 为等腰梯形以 E 为原点，建立如图所示的坐标系，设 ，则 0， ， 2a， ， 0， ， 2a， ，2a， ， ， 0，设平面 BEC 的法向量为 ，则 ，则 ，取 0， 设平面 ABC 的法向量为 ，则 ，则 ，取 设二面角 的大小为 ，则 ，则二面角 的余弦值为 19
10、. 解：由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1，可知 ，解得 ；页 11 第由频率分布直方图知，晋级成功的频率为 ，所以晋级成功的人数为 人，填表如下：晋级成功 晋级失败 合计男 16 34 50女 9 41 50合计 25 75 100假设“ 晋级成功” 与性别无关，根据上表数据代入公式可得 ，所以有超过 的把握认为“晋级成功”与性别有关；由频率分布直方图知晋级失败的频率为 ，将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取 1 人进行约谈，这人晋级失败的概率为 ，所以 X 可视为服从二项分布，即 ， 故 ， ， ，所以 X 的分布列为X 0 1 2 3 4页 12 第数学期望为 ， 或
11、 20. 解： 由题意知 ，则 又 ， ，可得 ，椭圆 C 的方程为等 以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点由 得 设 ， ，则有 ， 又 点 M 是椭圆 C 的右顶点， 点 由题意可知直线 AM 的方程为 ，故点 直线 BM 的方程为 ，故点 若以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 ，则等价于 恒成立又 ， ， 恒成立又页 13 第，解得 故以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 21.解：（1）定义域为： ，当 时， .22. 在 时为减函数；在 时为增函数.（2）记 ，则 在 上单增，且 . . 在上有两个零点等价于 在 上有两个零点.在 时， 在 上递增，且 ，故 无零
12、点；在 时， 在 上单增，又 ， ，故 在 上只有一个零点；在 时，由 可知 在 时有唯一的一个极小值 .若 ， ， 无零点；若 ， ， 只有一个零点；若 时， ，而 ，由于 在 时为减函数，可知： 时，.从而 ， 在 和 上各有一个零点.综上讨论可知： 时 有两个零点，即所求的取值范围是 .22. 解： ， ， 的直角坐标为 ；由 得 ， 曲线 C 的普通方程为 页 14 第将 代入 得 ，设 A，B 对应的参数分别为 ， ，则 ， ，点在直线 l 上， 23. 解： ，若 ，则 ，得 ，即 时恒成立，若 ，则 ，得 ，即 ，若 ，则 ，得 ，即不等式无解，综上所述，a 的取值范围是 由题意知，要使得不等式恒成立，只需 ，当 时， ，因为 ，所以当 时， ，即 ，解得 ，结合 ，所以 a 的取值范围是
