1、第页 12018 届福建省三明市第一中学高三上学期第一次月考数学（文）试题（解析版）(考试时间：120 分钟 总分：150 分)参考公式和数表:1、独立性检验可信度表：P(K2k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828第 I 卷 选择题一、选择题（本大题共有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每一小题只有一个选项正确） 1. 若变量 满足约束条件 ，则 的最大值和最小值的和为( )x,yx+y2x1y0 z=x+2yA. B. C. D. 7 6 5 3【答案
2、】B【解析】在平面直角坐标系中，作出变量 的约束条件， 所表示的区域，如图阴影部分，由图可知，的x,yx+y2x1y0 过点 时， 最小， ，当 ，过点 时， 最大， ， 的最大值和最z=2x+y A(1,0) z zmin=2 z=2x+y B(2,0) z zmax=4 z=2x+y小值分别为 和 它们的和为 ，故选 B.4 2 6【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点
3、就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.第页 22. 已知 ，且 ，则 的最小值为（ ）1x+1y=2A. B. C. D. 3223222 3+22 3+222【答案】D【解析】由 得， ，因为 ，所以1x+1y=2 12x+12y=1 x,y0（当且仅当 时等号成立） ，故选 D.x+2y= x= 2y【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点
4、，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立） . 3. 已知函数 为偶函数 ，其图像与直线 相邻的两个交点的横坐标分别为 且y=2sin(x+) (0bc cab cab【答案】C【解析】试题分析： ,所以 ,故选 C.b=cos550=sin350,c=sin350cos350sin350 a6.635 9900 1B.8. 如图，在 中， ， ，若 ，则的值为( )ABCAD=23AC BP=13BD AP=AB+ACA. B. C. D. 3 2 2 3【答案】D【解析】， ，又 ， ，故选 D.=1323AC13AB=29AC13AB AP=AB+29AC13AB
5、=23AB+29AC AP=AB+AC,=23,=29 =2392=39. 设 在 上单调递增；p:f(x)=x32x2+mx+1 (,+) ，则 是 的（ ）q:m43 p q第页 4A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 以上都不对【答案】C【解析】 在 上单调递增， ，即 在 上恒f(x)=x32x2+mx+1 (,+) f(x)=3x24x+m 3x24x+m0 R成立， ，即 ，即 ，又因为 ， 根据充分必要条件的定义可判断：=1612m0 m43 p:m43 q:m43 是 的必要不充分条件，故选 C.p q10. 对于问题“已知关于 的不等式 的解集为
6、，解关于 的不等式 ”，给出一x ax2+bx+c0 (1,2) x ax2bx+c0种解法：由 的解集为 ，得 的解集为 ，即关于 的不等式ax2+bx+c0 (1,2) (2,1) x的解集为 思考上述解法，若关于 的不等式 的解集为 ，则关ax2bx+c0 (2,1) xkx+a+x+bx+c1 ) x=a y b a+b【答案】 3【解析】 , ， 由基本不等式，得y=x4+9x+1=x+1+ 9x+15x1,x+10, 9x+10 ，当且仅当 ，即 ，即 时取等号，y=x+1+9x+152(x+1) 9x+15=1 x+1= 9x+1 (x+1)2=9 x+1=3,x=2，故答案为
7、.a=2,b=1,a+b=3 3第页 716. 定义一种向量运算“ ”： （ 与 不共线） ， （ 与 共线） ( ，ab ab a b ab |ab| a b a是任意的两个向量)对于同一平面内的向量 ， ， ， ，给出下列结论：b a b c e ；ab ba ( ) ( ) ；ab a b(R)( ) ；a b c ac bc若 是单位向量，则| | | |1.e ae a以上结论一定正确的是_(填上所有正确结论的序号)【答案】【解析】当 共线时， ；当 不共线时， ，故a， b ab=|ab|=|ba|=ba a， b ab=ab=ba=ba正确；当 时， ，故错误；当 与 共线时，则
8、存在 与 不共线，=0,b0 (ab)=0,(a)b=|0b|0 a+b c a,b c，显然 ，故错误；当 与 不共线时，(a+b)c=|a+bc|,ac+bc=ac+bc |a+bc|ac+bc e a，当 与 共线时，设 e a，故正确，故答案为 .=|u1|u|+1三、 解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第 17 至 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17. 已知函数 ， .f(x)=sin(2x+3)+sin(2x3)+2cos2x1 xR(1)求函数 的最小正周期；f(x)
9、(2)求函数 在区间 上的最大值和最小值f(x) 4,4【答案】(1) ；(2) . 2,1【解析】试题分析：（1）利用正弦函数的两角和与差的公式、二倍角的余弦公式与辅助角公式将化为 ，利用周期公式即可求得函数 的最小正周期；f(x)=sin(2x+3)+sin(2x3)+2cos2x1 f(x)= 2sin(2x+4) f(x)（2）可分析得到函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数，从而可求得 在区间 上的最f(x) 4,8 8,4 f(x) 4,4大值和最小值.试题解析：(1) f(x)sin 2 xcos cos 2 xsin sin 2 xcos cos 2 xsin cos 2
10、 x3 3 3 3第页 8sin 2 xcos 2 x sin . 2 (2x+4)所以， f(x)的最小正周期 T . 22(2)因为 f(x)在区间 上是增函数，在区间 上是减函数-4,8 8,4又 ，f(-4)=-1,f(8)= 2.f(4)=1故函数 f(x)在区间 上的最大值为 ，最小值为1.-4,4 218. 已知向量 ， ，函数 的最大值为 .m=(sinx,1 ) n=( 3Acosx,A2cos2x) (A0 ) f(x)=mn 6(1)求 的大小；A(2)将函数 的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得y=f(x)12到函数 的图象，作
11、出函数 在 的图象y=g(x) y=g(x) 0,2 【答案】(1) ；(2)图象见解析 .6【解析】试题分析：（1）利用向量的数量积展开，通过二倍角公式以及两角和的正弦公式将函数化为一个角的一个三角函数的形式，通过最大值求 的大小 ；（2）通过将函数 的图象向左平移 个单位， 再将A y=f(x)12所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数 的解析式，然后列表、描点、 连线即y=g(x)可得到 在 的图象.y=g(x) 0,2 试题解析：(1) Asin xcos x cos 2x A( sin 2xcos 2 x)f(x)=mn 3 A2 32 Asin(2x )因为 f(
12、x)的最大值为 6， A0，所以 A6. 6(2)由(1)得 f(x)6sin(2 x )将函数 y f(x)的图象向左平移 个单位后得到 y6sin2( x ) 6 12 12 66sin(2 x )的图象； 3再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到 y6sin(4 x )的图象因此3第页 9的图像如图所示.g(x)=6sin(4x+3) g(x)=6sin(4x+3)4x+3 3 2 32 2 73x 0 24 6 724 512 233 6 0 - 6 0 3319. 某厂生产某种产品的年固定成本为 万元，每生产 千件，需另投入成本为 万元，当年产量不足250 x C
13、(x)千件时， 万元)；当年产量不少于 千件时， (万元)通过市场80 C(x)=13x2+10x 80分析，若每件售价为 元时，该厂一年内生产的商品能全部销售完500(1)写出年利润 (万元)关于年产量 (千件)的函数解析式；L x(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【答案】(1) ；(2) 千件时，所获利润最大.100【解析】试题分析：（1）分两种情况进行研究，当 0950综上所述，当 时 取得最大值 ，即年产量为 千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最x=100L(x) 1000 100大.20. 在 中，角 的对边分别为 ，已知 ABC A , B , C
14、a , b ,c sinAsinC(cosB+33sinB)=0(1)求角 的大小；C(2)若 ，且 的面积为 ，求 的值c=2 ABC 3 a , b 【答案】(1) ；(2) .3 2,2【解析】试题分析：（1）由三角形内角和定理，两角和的正弦公式化简已知等式可得 ，即可得解tanC= 3的值 ；（2）结合（1）的结论，利用三角形面积公式可求 ，利用余弦定理可得 ，联立即可解得C ab=4 a2+b2=8的值.a,b试题解析：(1)由题意得， A B C，sin Asin( B C)sin( B C) sin Bcos Csin Ccos Bsin Ccos B sin Bsin C0，
15、33即 sin B(cos C sin C)0， 3300 a22要使 在定义域 内为增函数 , 只需在 内有 即可,f(x) (0， +) (0， +) 2x2+ax+10设 ，h(x)=2x2+ax+1由 得 , 所以 . h(0)=10,- a220 a22由(1) (2)可知,若 在其定义域内为增函数， 的取值范围是 .f(x) a -22,+)【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的极值以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间 上是单调的，
16、则该函数在此区间的任意子集上也a,b是单调的; 利用导数转化为不等式 或 恒成立问题求参数范围，本题(2)是利用方法 求f(x)0 f(x)0解的（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。选修 44：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系。曲线 的极坐标方程为xOy x C1.cos=4（1 ） 为曲线 的动点，点 在线段 上，且满足M C1 P OM ，求点 的轨迹 的直角坐标方程；|OM|OP|=16 P C2第页 12（2 ）设点 的极坐标为 ，点 在曲线 上，求 面积的最大值.
17、A （ 2，3） B C2 OAB【答案】(1) ；(2) .(x2)2+y2=4 (x0) 2+ 3【解析】试题分析：（1）设出 P 的极坐标，然后由题意得出极坐标方程，最后转化为直角坐标方程为 ；(x2)2+y2=4(x0)（2）利用（1）中的结论，设出点的极坐标，然后结合面积公式得到面积的三角函数，结合三角函数的性质可得 面积的最大值为 .OAB 2+ 3试题解析：解：（1）设 P 的极坐标为（ ） （ 0） ，M 的极坐标为 （ ）由题设知, (1,) 1 0|OP|= ， = . |OM|1=4cos由 |OP|=16 得 的极坐标方程|OM| C2 =4cos（ 0）因此 的直角坐
18、标方程为 .C2 （ x-2） 2+y2=4(x0)（2）设点 B 的极坐标为 （ ）.由题设知|OA|=2 ， ，于是OAB 面积(B,) B 0 B=4cosS=12|OA|BsinAOB=4cos|sin（-3）|=2|sin（2-3）- 32|2+ 3当 时，学|科网 S 取得最大值 .=-12 2+ 3所以OAB 面积的最大值为 .2+ 3点睛:本题考查了极坐标方程的求法及应用 ，重点考查了转化与化归能力.在求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是将其化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.选修 45：不等式选讲23. (1)关于 的不等式 的解集不是空集，求 的取值范围；x |x3|+|x4|1，即 a 的取值范围是(1，) 第页 13(2)由柯西不等式，得4 2( )22 2()2( )2() 25y5(4 2) 2( x y z)2，5y5即 251( x y z)2.5| x y z|，5 x y z5.xyz 的取值范围是5,5
