1、第 1 页 共 19 页2019 届湖南省浏阳市六校联考高三上学期期中考试数学（文）试题一、单选题1设集合 ， ， ，则 = （ ）A B C D 【答案】C【解析】先求出 ，再求出 即可得到结果【详解】 ， ， 又 ， 故选 C【点睛】本题考查集合的基本运算，解题时根据运算顺序逐步求解即可，属于简单题2函数 的单调递增区间为( )A B C D 【答案】D【解析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性满足“同增异减”的结论求解即可【详解】由 可得 或 ，函数 的定义域为 设 ，则 在 上单调递减，第 2 页 共 19 页又函数 为减函数，函数 在 上单调递增，函数 的单调递增区间为 故
2、选 D【点睛】（1）复合函数的单调性满足“同增异减”的结论，即对于函数 来讲，它的单调性依赖于函数 和函数 的单调性，当两个函数的单调性相同时，则函数为增函数；否则函数 为减函数（2）解答本题容易出现的错误是忽视函数的定义域，误认为函数的单调递增区间为3已知平面向量 ， ，且 ，则 （ ）A B C D 【答案】C【解析】由 求出 的值，然后再求出 即可【详解】 ， ，且 ， ， ， 故选 C【点睛】本题考查向量共线条件的运用和向量的基本运算，考查运算能力，属于基础题4已知点 是角 终边上的一点，则 （ ）A B C D 第 3 页 共 19 页【答案】A【解析】根据三角函数的定义求出 ，然后
3、再根据诱导公式求出 即可【详解】点 是角 终边上的一点， ， 故选 A【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式的运用，解题的关键是根据定义求出正弦值，然后再用诱导公式求解，解题时要注意三角函数值的符号，属于基础题5设函数 ，若 ，则 ( )A B C D 【答案】B【解析】先求出 ，再根据 得到 ，进而可得 【详解】由题意得 ， ，又 ， ，解得 第 4 页 共 19 页故选 B【点睛】已知分段函数的解析式求函数值时，首先要注意确定自变量所在的范围，然后选择相应的解析式代入后求出函数值即可，属于基础题6已知 ， ， ，则 的大小关系是( )A c B C D 【答案】B【解析】根据指数函数的单
4、调性判断出 的范围，然后再确定出 的范围，进而可得 的大小关系【详解】 ， 又 ， 故选 B【点睛】比较幂的大小时，若底数相同或指数相同，则可根据指数函数或幂函数的单调性求解，若底数和指数都不相同时，则要构造中间量进行大小的判断若比较大小的数中含有对数时，一般先判断出每个数所在的范围，然后再进行大小的比较7我国古代数学名著算法统宗 中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问塔底几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的底层共有灯（ ）A 3 盏 B 9 盏 C 192 盏 D 9384 盏【答案】C【解
5、析】由题意可得最下面层数灯的盏数最多，设最下层有 盏灯，结合题意可得： ，且 ，第 5 页 共 19 页据此排除 ABD 选项.本题选择 C 选项.8已知函数 ，若将它的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则函数 图象的一条对称轴方程为（ ）A B C D 【答案】C【解析】根据图象变换得到函数 的解析式，然后再判断得到该函数对应图象的对称轴【详解】由题意得 ，令 ，得 ，当 时，得 所以函数 图象的一条对称轴方程 故选 C【点睛】由图象变换得到函数 的解析式是解题的关键，另外，在研究函数 的性质时，要利用整体代换的方法，将 看作一个整体，然后再结合正弦函数的性质求解9函数 的图象大致
6、是（ ）第 6 页 共 19 页A B C D 【答案】A【解析】根据函数的定义域、奇偶性和函数值的变化趋势进行判断，可得函数图象的大体形状【详解】由题意得函数 的解析式为 ， ，函数 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，可排除 C,D又当 x0 时，cos(x)1， 0，f(x)+ ，所以可排除 B故选 A【点睛】根据函数的解析式判断函数图象的大体形状时，一般采用排除法进行求解，解题时可根据函数的定义域、单调性、奇偶性、特殊值或函数值的变化趋势等进行排除 ，逐步可得结果10在 中，若 ，则下面等式一定成立的为（ ）A B C D 【答案】A【解析】第 7 页 共 19 页根据倍角公式可得 ，从
7、而 ，再根据及两角和的余弦公式整理可得 ，于是可得 ，故得 【详解】 ， ，又 ， ， ，又 为三角形的内角， ， 故选 A【点睛】本题考查三角形中的三角变换，解题时注意正确运用公式，还需注意符号问题另外还要注意三角形中的三个内角间的关系，属于基础题11已知 是 上的增函数,那么 的取值范围是()A B C D 【答案】B【解析】根据分段函数在实数集 R 上的单调性进行判断，注意分界点处的函数值的大小关系【详解】函数 是 上的增函数， ，即 ，解得 ，实数 的取值范围是 第 8 页 共 19 页故选 B【点睛】对于分段函数在实数集 R 上的单调性问题，除了考查函数在定义域的每一个区间上的单调性
8、之外，还要考虑函数在分界点处的函数值的大小关系，这是在解题中很容易出现错误的地方12设函数 ，若 是 的极小值点，则 的取值范围为()A B C D 【答案】D【解析】求出函数的 的定义域和 ，由 ，得 ，通过讨论 的范围，得到函数的单调性，结合已知条件可求出 的取值范围【详解】由题意得函数 的定义域为 ， ， 是 的极小值点， ， ，若 a0，则由 ，得 x=1，且当 01 时， ，此时 f(x)单调递减所以 x=1 是 f(x)的极大值点，不合题意若 a0，由 ，得 x=1 或 ，第 9 页 共 19 页因为 x=1 是 f(x)的极小值点，所以 ，解得 由得实数 a 的取值范围是 故选
9、D【点睛】本题考查对函数极值概念的理解，解题的关键有两个：（1）根据 是 的极小值点可得 ；（2）解题时注意对参数 的取值的讨论，特别是根据 是 的极小值点得到 与 1 的大小关系，进而得到所求的范围二、填空题13若点 在幂函数 的图象上，则 _【答案】【解析】由题意及待定系数法求出幂函数的解析式，然后再求出 即可【详解】由题意设 ，点 在函数 的图象上， ， ， ， .故答案为：9.【点睛】本题考查幂函数的定义，解题的关键是熟知幂函数的解析式，属于基础题14函数 的定义域为_【答案】【解析】第 10 页 共 19 页由函数解析式的特点得到关于 的不等式组，解不等式组可得函数的定义域【详解】要
10、使函数有意义，则需满足 ，解得 ，所以函数 的定义域为 故答案为： 【点睛】已知函数的解析式求函数的定义域时，关键是根据解析式的特点得到自变量的限制条件，进而得到关于自变量的不等式（组）， 解不等式（组） 可得所求的定义域 另外，还需注意函数的定义域一定为集合或区间的形式15已知向量 ， 且 在 上的投影为 3，则 与 的夹角为_【答案】【解析】根据向量数量积的几何意义求得 的值，然后再求出两向量的夹角【详解】设 ， 的夹角为 ，则 ，又 ， ，解得 ，又 ， 故答案为： 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和夹角的计算，解题的关键是熟悉有关的计算公式，第 11 页 共 19 页用几何意义计算
11、向量的数量积也是解答本题的关键，属于基础题 16 是定义在 上的周期为 3 奇函数，当 时， ，则_【答案】【解析】根据周期性计算出 根据函数为奇函数和周期性求出 后可得结果【详解】由题意得 ，又 ， .故答案为： 【点睛】解答本题的关键是将求值问题转化到给定的区间上求解，另外还应注意奇函数的性质，即“若奇函数在 处有意义，则有 ”三、解答题17已知 分别为 三个内角 的对边,（1 ）求角 的大小； （2 ）若 的周长为 ，外接圆半径为 ，求 的面积.【答案】 （1） ；（2）【解析】（1）由题意及正弦定理得到 ，结合三角变换可得，于是 ，故得 （2）由外接圆半径及正弦定理得，根据周长可得 ，
12、再根据余弦定理得到 ，于是可得所求的面第 12 页 共 19 页积【详解】（1）由正弦定理得: ， ， 又 为 的内角， （2） 的外接圆半径为 ， ， ， 由余弦定理得 ，所以 ， ， 的面积 【点睛】本题考查解三角形的应用，属于基础题 解答本题时注意以下两点：（ 1）由得到 时必须说明 ，另外， 求角时不要忘了说明角的范围 （2）应用余弦定理时注意变形的应用，如 等，注意整体代换的应用18已知数列 是等差数列，且 ， （1 ）求数列 的通项公式；（2 ）设 ，求数列 的前 项和 第 13 页 共 19 页【答案】 （1） ；（2）【解析】（1）根据题意求出等差数列的首项和公差后可得通项公式
13、；（2）得到数列 的的通项公式后根据裂项相消的方法求得 【详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ， ， ， ，解得 ， （2）由条件及（1）得 ， = 【点睛】用裂项相消法求和的原则及规律（1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项19国家质量监督检验检疫局于 2004 年 5 月 31 日发布了新的车辆驾驶人员血液、第 14 页 共 19 页呼气酒精含量阀值与检验国家标准新标准规定：车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升，小于 80 毫克/百毫升为饮酒驾车，血
14、液中的酒精含量大于或等于 80 毫克/百毫升为醉酒驾车经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图” 如下：该函数模型如下：根据上述条件，回答以下问题：（1 ）试计算喝一瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2 ）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）（参考数据： ）【答案】 （1）喝一瓶啤酒 1.5 小时血液中的酒精含量达到最大值 毫克/百毫升；（2）6【解析】（1）结合图象可得当函数 取得最大值时， ，此时 ，根据的范围可得所求的最大值 （2）由题意得 时满足题意，结合所求可得，整理得 ，两边取对数后再解不等式可得所求的结果 【详解
15、】（1）由散点图可知，当函数 取得最大值时， 的范围为 ，此时 ， ，第 15 页 共 19 页 ，当 ，即 时，函数 取得最大值，且最大值为 故喝一瓶啤酒 1.5 小时血液中的酒精含量达到最大值 毫克/百毫升（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于 20 毫克/百毫升时可以驾车，此时 由 ，得 ， 两边取自然对数，得 ，即 ，所以 ， 故喝啤酒后需 个小时后才可以合法驾车【点睛】解答本题的关键是读懂题意，并根据所求正确选择解析式的形式，然后再结合相关知识进行求解考查阅读理解和应用知识解决实际问题的能力，属于基础题20已知定义域为 的单调函数 是奇函数,当 时, .（1 ）求 的解析式.
16、（2 ）若对任意的 ,不等式 恒成立, 求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2 ）【解析】（1）根据函数为奇函数可求得当 时的解析式，再根据 可得所求 （2）由题意可得函数 在 上单调递减，然后根据不等式 恒成立得到对任意 恒成立，利用判别式可得所求的范围【详解】第 16 页 共 19 页(1) 当 时, ， ， 又函数 是奇函数， ， 又 综上所述 （2） 为 上的单调函数，且 ，函数 在 上单调递减 ， ，函数 是奇函数， 又 上单调递减， 对任意 恒成立， 对任意 恒成立， ，解得 实数 的取值范围为 【点睛】一元二次不等式恒成立问题的解法（1）一元二次不等式在实数集 R 上的恒成
17、立问题，可根据函数图象（抛物线）的开口方向和判别式的符号求解第 17 页 共 19 页（2）一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题，可利用分离参数法求解，即将欲求范围的参数分离到不等式的一边，通过求出不等式另一边式子的最值 (或范围)来得到不等式恒成立时参数的取值范围一般地，af (x)恒成立时， 应有 af(x) max；af( x)恒成立时，应有 af(x) min21已知函数 .lnx（1 ）求曲线 在点 处的切线方程；yf1,f（2 ）求 的单调区间；fx（3 ）若对于任意 ，都有 ，求实数 的取值范围.,e1fxaa【答案】 （1） ；（2） 的增区间是 ；yxf+e，递减区间是 ；
18、（3） .0,e1ae【解析】试题分析：（1）求出 的值可得切点坐标，再求出 ,可得f ln1fx的值，即得切线斜率，利用点斜式可得曲线 在点 处的切线方f yf,程；（2）令 求得 的范围，可得函数 增区间， 求得 的0fxx0fx范围，可得函数 的减区间；（3）对于任意 ，都有 等价f 1,e1fa于 ，令 ， ，利用导数研究函数 的单调性，1lnax1lngx,xegx求出函数 的最大值，从而可得结果.试题解析：（1）因为函数 ，所以 ,lnfx1lnlfxx.又因为 ，ln1f0所以曲线 在点 处的切线方程为 . yfx,f 1yx（2）函数 定义域为 ， 由（1）可知， .l,ln1
19、fx令 解得 .0fx1e与 在区间 上的情况如下：,第 18 页 共 19 页10,e1e1+e，减 极小值 增所以， 的单调递增区间是 ；fx1+e，的单调递减区间是 . f 0,（3）当 时， “ ”等价于“ ”.1xe1fxa1lnax令 ， ，lng,e， .21 xx1,当 时， ，所以 在区间 单调递减.,e0ggx1,e当 时， ，所以 在区间 单调递增.1,xx,而 ，ln1.5ge.l所以 在区间 上的最大值为 .gx1,e1ge所以当 时，对于任意 ，都有 .a,x1fxa【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立( 可)或 恒成立（ 即可） ； 数形afxmaxffxminafx结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值 或yyg in0f第 19 页 共 19 页恒成立； 讨论参数.本题（3）是利用方法 求得实数 的取值范围.max0f a
