1、页 1 第湖北省重点高中联考协作体 2019 届高三上学期期中考试数学（文）试卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据集合的交集的概念得到结果即可.【详解】根据集合的交集的概念易知 与 的公共元素是 . 集合 .故选 C【点睛】与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集（2）看这些元素满足什么限制条件（3）根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性2.复
2、数 ，则 （ ）A. 0 B. C. 1 D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法运算将式子化简以及模长公式,得到结果即可.【详解】 所以 .故选 D.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数模长的计算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.3.函数 在 上单调递减，且为奇函数.若 ，则满足 的 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 页 2 第【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性得到 等价于 ，再由函数的单调性得到 ，进而得到结果.【详解】因为 为奇函数，所以 ，
3、于是 等价于 ,又 在单调递减 , . 故选 C.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的应用，较为简单,和奇偶性有关的题目常见的有判断奇偶性，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按照定义域验证 和 的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当 x 变大时 y 的变化趋势，从而得到单调性.4.记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）A. B. C. 10 D. 【答案】D【解析】【分析】将题干中的条件化为基本量，可得到 ，进而得到 d，通过等差数列的通项公式可得到结果.【详解】设等差数列 的公差为 , 解得 ,.故选 D.【点睛】本题考查等
4、差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.5.设 ，若 ，则 的最小值是（ ）A. 4 B. 8 C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】页 3 第将式子变形为 再由均值不等式得到结果即可.【详解】由题意 ，当且仅当 ，即 时取等号.故选 A.【点睛】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题解决二元的范围或者最值问题，常用的方法有：不等式的应用，二元化一元的应用，线性规划的应用，等.6.已知 ，则 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】
5、B【解析】【分析】将每一个数据的大概范围判断出来，即可得到大小关系.【详解】根据对数函数的单调性可得到： , ，又因为 ,所以.故选 B.【点睛】两个式子比较大小的常用方法有：做差和 0 比，作商和 1 比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.7.如图，在平行四边形 中， 相交于点 ， 为线段 的中点，若 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】页 4 第根据平行四边形的图像特点得到 2 ，又因为 ( )，根据平面向量基本定理得到对应系数相等得到结果.【详解】 2 ， ， 2 .E 为线段 AO 的中点， ( )，根
6、据平面向量基本定理得到对应系数相等 ，2 ，解得 ，- .故选 C.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，向量的主要应用体现在以下几方面：(1)向量的运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题；(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法；(3)向量的两个作用： 载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣” ，转化为我们熟悉的数学问题；工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.8.已
7、知函数 ，则函数 的图象（ ）A. 关于点 对称B. 关于轴 对称C. 可由函数 的图象向右平移 个单位得到D. 可由函数 的图象向左平移 个单位得到【答案】A【解析】【分析】f（x）=sin2x=cos2（x ）， g（x）=cos2（x ），根据左加右减的原则得到 CD 错误，由 ，得到 B 错误.【详解】f （x）=sin2x=cos（2x ）=cos2（x ） ，则函数 g（x）=cos（2x ）=cos2（x ） 的图象可由函数 f（x）的图象向左平移 个单位得到的，C,D 错;由 ,得 时, ,B 错. ，A 正确.故选 A【点睛】本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同
8、名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将 x 的系数提出来，针对 x 本身进行加减和伸缩.页 5 第9.已知函数 ，则函数 的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数奇偶性的概念得到 BC 错误，再由特殊值 得到答案.【详解】 故函数非奇非偶，排除 B,C. .故选 A【点睛】这个题目考查了已知函数的表达式选择函数的图像，这类题目通常是从表达式入手，通过表达式得到函数的定义域，值域，奇偶性，等来排除部分选项，或者寻找函数的极限值，也可以排除选项.10.已知函数 ， ，若 存在两个零点，则的取值范围是（ ）A. B. C
9、. D. （【答案】D【解析】【分析】将 存在两个零点,等价于 有两个不同的实根 ，函数 的图象与直线 有两个交点即可.【详解】由已知 存在两个零点,等价于 有两个不同的实根，即函数 的图象与直线页 6 第有两个交点，作图可得直线 y=-x+2a,斜率固定，只需要上下平移即可，在 y 轴上的截距小于等于 2 即可，.选 D.【点睛】这个题目考查了函数的零点问题，函数零点问题和图像的交点问题和方程的根是同一个问题，可以互相转化，解决分段函数的一个有效的方法就是画出图像，通过图像得到性质和结论.11. 中有：若 ，则 ；若 ，则 定为等腰三角形；若，则 定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（ ）
10、A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理可得到结果；根据 或 可得到结论不正确；可由余弦定理推得 ，三角形为直角三角形.【详解】根据大角对大边得到 ab,再由正弦定理 知 正确； ，则或 是直角三角形或等腰三角形；所以错误；由已知及余弦定理可得，化简得 ，所以正确. 故选 C.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一页 7 第个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边
11、和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.12.函数 ，若不相等的实数 满足 ，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意画出图像，由图可知 关于直线 对称，所以 ，再由图像得到 的范围，从而得到结果.【详解】作出函数 的图象，不妨令 ，由图可知 关于直线 对称，所以 当 时， 的最小值为 ；当 时，由 得 此时是 的最小取值，所以 ，故而 .故选 B.【点睛】这个题目考查了函数的零点问题，函数零点问题和图像的交点问题和方程的根是同一个问题，可以互相转化，解决分段函数的一个有效的方法就是画出图像，通
12、过图像得到性质和结论.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知函数 ，若 ，则 _【答案】页 8 第【解析】【分析】因为 ，直接代入解析式可得到参数值.【详解】 , 故答案为：-6.【点睛】 （1）此类求值问题，一般要求的式子较多，不便逐个求解.求解时，注意观察所要求的式子，发掘它们之间的规律,进而去化简，从而得到问题的解决方法;（2）已知函数解析式求函数值，可分别将自变量的值代入解析式即可求出相应的函数值.当自变量的值为包含字母的代数式时，将代数式作为一个整体代入求解;（3）已知函数解析式，求对应函数值的自变量的值 (或解析式中的参数值)，只需将函数值代入解析
13、式，建立关于自变量(或参数)的方程即可求解，注意函数定义域对自变量取值的限制14.已知向量 ，若 ，则 _【答案】0【解析】【分析】根据向量的坐标的加法公式得到 再由共线的坐标运算得到结果.【详解】 由 得 3 ，故答案为：0.【点睛】本题考查了向量的坐标运算，向量共线的坐标运算，较为基础简单.15.已知 ，则 _【答案】【解析】【分析】根据正切值得到 ，将 按照两角和的余弦公式展开得到结果.【详解】故答案为： .【点睛】利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角页 9 第函数;(3)整理得最简形式.16.把正整数按一定的规则排成了如图所示
14、的三角形数表.12 43 5 76 8 10 12 9 11 13 15 1714 16 18 20 22 24设 是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数，如 .若 ，则_【答案】81【解析】【分析】根据题干所给的数据得到所有奇数都在奇数行，所有偶数都在偶数行， 是偶数，所以它位于偶数行,可得到前 n 行共有 n(n+1)个偶数， 得 ， 是第 个偶数，通过估算得到 位于第 偶数行，计算出前 31 偶数行的偶数的个数，进而得到脚码之和 .【详解】从所给的部分数表可看出，所有奇数都在奇数行，所有偶数都在偶数行.是偶数，所以它位于偶数行，将奇数除外，前 n 行偶数共有 个，由 得
15、，所以 是第 个偶数，因为 ，所以 位于第 偶数行，即第 行， ,前 31 行偶数共有 个偶数，所以第 31 偶数行的最后一个数为第 32 偶数行的第一个数为 1986， 是第 个数，即 .所以 .故答案为：81.【点睛】这个题目考查了数列的递推关系的应用，不是我们所熟悉的等差或者等比数列，需要从题干所给的条件得到数列的规律进而得到所需的条件.页 10 第三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 的内角 的对边分别为 ，且 .（1）求 ；（2）若 ，求 的面积.【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】(1)根据余弦定理可得到角 B 的值
16、；（2）根据角 A 的三角函数值得到 ， ，再由正弦定理得到 b 的值，再由面积公式得到结果.【详解】 （1）由已知得 由 ，得 . （2）由 ， 得， ，在 中，由正弦定理 得， ，所以【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18.已知函数 .（1）求 的最小正
17、周期与最大值；（2）讨论 在区间 上的单调性.页 11 第【答案】 （1）见解析；（2）在区间 上单调递增, 在区间 上单调递减【解析】【分析】(1)按照两角和的余弦公式展开得到函数的解析式，通过周期公式得到最小正周期，进而得到最大值；（2）根据三角函数的图像的性质得到 ，进而得到函数的【详解】 （1）所以 的最小正周期是 当 即 , 的最大值为 ;(2)令 ,易知 的单调递增区间是 由得设 , ,的单调递减区间是 ， 得到 ，易知 , 所以,当 时, 在区间 上单调递增, 在区间 上单调递减.【点睛】本题考查了三角函数的两角和差的余弦公式和函数的单调性，单调性：根据 y=sint 和 t=
18、的单调性来研究，由 得单调增区间；由 得单调减区间.19.已知数列 中， ，其前 项和 满足 .（1）求证：数列 为等差数列，并求 的通项公式；（2）设 ，求数列 的前 项和 .页 12 第【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）根据题干所给的条件得到 （ ， ） ，且 ，可得到数列为等差数列，进而得到通项；（2）错位相减求和即可.【详解】 （1）由已知， （ ， ） ， 即 （ ， ） ，且 数列 是以 为首项，公差为 1 的等差数列 （2）由（）知 它的前 项和为.【点睛】这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和 的关系，求 表达式，一
19、般是写出 做差得通项，但是这种方法需要检验 n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。20.“节能减排，绿色生态”为当今世界各国所倡导，某公司在科研部门的鼎力支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该公 司每月的处理量 (吨）至少为 50 吨，至多为 220 吨.月处理成本 (元）与月处理量 (吨）之间的函数关系式近似表示为： ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 120 元.（1）该公司每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本 最低？（2）每月处理量为多少吨时，月获利最大？【答案】 （1）每月处理量为
20、 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为 元；（2）4200【解析】页 13 第【分析】（1）由题意月处理成本 y（元）与月处理量 x（吨）之间的函数关系可近似的表示为： ,两边同时除以 x，然后利用基本不等式从而求出最值；（2）设该单位每月获利为 S，则 S=120x-y，把 y 值代入进行化简，然后运用配方法进行求解.【详解】(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为 ，当且仅当 ，即 时取等号，故该公司每月处理量为 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为 元.（2）设该公司月获利为 元，则又 ，所以 （吨） ，公司月获利 （元）.【点睛】此题是一道实际应用题，考查了函数的最值和基本不等式
21、，及运用配方法求函数的最值在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”( 即条件要求中字母为正数)、 “定 ”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.21.某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体 1000 名学生中随机抽取了 100 名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在 4.8 以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次 名和 名的学生进行
22、了调查，得到上表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过 0.05 的前提下认为视力与学习成绩有关系？附：页 14 第【答案】 （1）610；（2）见解析【解析】【分析】(1)根据图像可得到前三组的频数，再由后 4 组成等差依次得到后四组的频数，进而得到视力在 4.8 以下的频数为 61 人，全年级视力在 以下的人数约为 人；（2）根据公式计算得到卡方值进而得到结论.【详解】(1)设各组的频率为 ，由图可知，第一组有 人，第二组 人，第三组 人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为 ，所以视力在 以下的频数为 人. 故全年级视力在 以下的人数约为 人. （2）由已知得，因此在
23、犯错误的概率不超过 的前提下认为视力与学习成绩有关系【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用，以及卡方值的计算和实际应用，频率分布直方图常见的应用有:条形分布直方图的面积表示的是概率值，中位数是位于最中间的数，故直接找概率为 0.5 的即可；平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高，将每一个数值相加得到.22.如图是某地区 2012 年至 2018 年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图.注：年份代码 分别表示对应年份 .（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 与的关系，请用相关系数（ 线性相关较强）加以说明；（2）建立 与的回归方程 (系数精确到 0.01)，预测 2019 年
24、该地区生活垃圾无害化处理量.页 15 第参考数据： ， ， ， ， ， .参考公式：相关系数 ，在回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， .【答案】 （1）见解析；（2）1.744【解析】【分析】(1)根据题中所给的公式得到 r=0.990.75,进而得到结论；（2）根据公式计算得到回归方程，再将 2019 年所对应的 t=8 代入方程可得到估计值【详解】(1)由题意得, 所以 与 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 与 的关系. （2）由已知得 ， 所以， 关于的回归方程为： 将 2019 年对应的 代入回归方程得： . 所以预测 2019 年该地区生活垃圾无害化处理量将 约 万吨.页 16 第【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线方程的计算，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映 x 与 Y 之间的关系，这条直线过样本中心点线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
