2018年广东省深圳市四大名校高三上学期10月联考试题 数学（理） PDF版.zip

1 / 8 深圳市直属学校四校联考理 科 数学 参考答案 第 Ⅰ 卷 (选择题共 60分 ) 一、 选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合要求． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C B D D B C A D C A B 第 II 卷 （非选择题共 90 分） 二、填空题 :本大题共 4小题 ,每小题 5分 ,共 20分 . 13． 1 ； 14． 0 ； 15． [1, ) ； 16． 12( , )22． 16.解： ∵ 2 cosc a a B ， s i n s i n 2 s i n c o sC A A B  ，  s i n s i n 2 s i n c o sA B A A B   ， ∴  sin sinB A A  ， ∵ ABC 是锐角三角形， ∴ 2BA ，且 π π64A， ∴  2s in 1 2s in ,s in 2 2A ABA   . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 17．（本小题满分 10 分） 已知三个集合：  22l o g ( 5 8 ) 1A x x x    R ，  2 2821R xxBx   ，  22 1 9 0RC x x a x a     . (I) 求 AB； (II)已知 ,A C B C   ，求实数 a 的取值范围 . 解： (I)    2 5 8 2 2 , 3RA x x x     , . ………… …………… ………… 2 分    2 2 8 0 2 , 4RB x x x      ,. ……………………………………… .4 分  2, 3, 4 .AB  . …………………………… ………………… … ……… 5 分 (II) ,A C B C   , 2 , 4 , 3 .C C C     …………………………………………… …… .… 6 分 2 / 8  22 1 9 0 ,RC x x a x a      2222222 2 1 9 0 ,( 4 ) 4 1 9 0 ,3 3 1 9 0 .aaaaaa             …………………………………………… … 7 分 即3 5 ,2 7 2 7 ,2 5.aaaa           或解得 3 2.a   …………………… …… 9 分 所以实数 a 的取值范围是 [ 3, 2). ……………………………………… … .10 分 18.（本小题满分 12 分） 已知函数 π π π( ) 3 si n( 2 ) 2 si n( ) si n( )3 4 4f x x x x    . （ Ⅰ ）求函数 ()fx的最小正周期和图象的对称轴方程； （ Ⅱ ）求函数 ()fx在区间 π π[ , ]12 2 上的值域 . 解：（ I） π π π( ) 3 si n( 2 ) 2 si n( ) si n( )3 4 4f x x x x     33c o s 2 sin 2 ( c o s sin ) ( sin c o s )22 x x x x x x      2233c o s 2 s in 2 c o s s in22x x x x     33c o s 2 s in 2 c o s 222x x x   πsin(2 )6x， ………………… .…… 3 分 2πT π2   ， ………………… .…… 4 分 由 π π2 π62xk   ()Zk 得 π π23kx()Zk . ∴ 函数 的最小正周期为 π ， 对称轴方程为 ππ 3xk()Zk .……………… 6 分 （ II） π π π π 5 π[ , ] , 2 [ , ]12 2 6 3 6xx      ()fx3 / 8 因为 π( ) sin(2 )6f x x在区间 π π[ , ]12 3 上单调递增，在区间 ππ[ , ]32上单调递减， 所以，当 π3x 时， ()fx取最大值 1………………… .…… 8 分 又 3 π 1( ) ( )1 2 2 2 2ff    ， .………………… …… 10 分 当 π12x 时， ()fx取最小值 32， .………………… …… 11 分 所以函数 ()fx在区间 π π[ , ]12 2 上的值域为 3[ ,1]2…………………… 12 分 19．（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，内角 对边分别是 ，已知 2sin sin sinB A C ． （ Ⅰ）求证： π0 3B； （ Ⅱ） 求 cos 4 cos 2ACB  的 最大值 ． 解： （ Ⅰ）由正弦定理可得 2sin sin sina b c RA B C  ， ∴ sin 2aA R ， sin 2bB R ， sin 2cC R ，……………………………… 2 分 ∵ 2sin sin sinB A C ， ∴ 2b ac ， …………………………… 4 分 ∴ 2 2 2cos 2a c bB ac 2122ac acac， 而 0 πB ∴ π0 3B .…………………………………………………………………… 6 分 A B C， ， a b c， ，4 / 8 （ Ⅱ） cos 4 cos 2ACB  2 π1 2 sin 4 c o s22BB   21 2 si n 4 si n22BB   22 si n 1 32B   （ ） ，……………………………… 8 分 由 （ Ⅰ）知 π0 3B， ∴ 10 sin 22B， ……………………………… 10 分 ∴当 1sin22B ，即 π3B 时， cos 4 cos 2ACB  取得最大值 52 .……………… 12 分 20．（本小题满分 12 分） 中国移动通信将于 3 月 21 日开始在所属 18 个省、市移动通信公司陆续推 出 “ 全球通 ”移动电话资费 “ 套餐 ” ， 具体方案如下： 方案代号 基本月租（元） 免费时间（分钟） 超过免费时间的话费（元 /分钟） 1 30 48 0． 60 2 98 170 0． 60 3 168 330 0． 50 4 268 600 0． 45 5 388 1000 0． 40 6 568 1700 0． 35 7 788 2588 0． 30 原计费方案的基本月租为 50 元，每通话一分钟 收取 0.4 元，请问： （ I） 求 “ 套餐 ” 中 第 4 种收费方式的月话费 y 与月通话量 （月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算， 不足一分钟的按一分钟计算， 如某次通话时间为 3 分 20 秒， 则 按 4 分钟计通话用时）的函数 解析 式； （ II） 若采用 第 4 种收费方式 ,且 比原计费方式的月话费省钱 ,求 通话量 的取值范围 ； （ III）据中国移动某年公布的中期业绩，每个用户 的月 通话 量 平均为 320 分钟 . 若一个用户的 月 通话 量 恰好是这个平均值， 则 在表 中 所列出的七种方案中， 选择哪种 方案更合算 ？请 说明理由 . t5 / 8 解： （ I） 易知 2 6 8 , 0 6 0 0 ,2 6 8 0 . 4 5 ( 6 0 0 ) , 6 0 0 ,N,N.ttyt t t       所以 2 6 8 , 0 6 0 0 ,0 .4 5 2 , 6 0 0 ,N,N.ttyt t t      .……………………… .… 4 分 （ II）当 0 600, Ntt  时，解不等式 50 0.4 268t且 Nt 得 545 600, Ntt  ， 当 600, Ntt时，解不等式 50 0.4 0.45 2tt  ，得 600 1040, Ntt  ， 综上， 当 600 1040, Ntt  时， 采用 第 4 种收费方式比原收费方式的月通话费省钱 . ……………………………………………………… 8 分 （ III）因为按照原来的收费方式， 320 分钟收费 178元（即 50 0.4 320 ）， 所以，不会选择月租费多于 178元的收费方式，从而只考虑 “套餐 ”中的前三种方式 . 第一种方式的话费为： 3 0 0 .6 3 2 0 4 8 1 9 3 .2   （ ）（元）； 第二种方式的话费为： 9 8 0 .6 3 2 0 1 7 0 1 8 8   （ ）（元）； 第三种方式的话费为： 168元 . 故选择第三种方式 . …………………………… 12 分 21．（本小题满分 12 分） 已知 Ra ,函数 32( ) 3 3 3 3f x x x ax a    ， ]2,0[x . (I)求 ()fx的单调区间； (II)求 ()fx取得 最大值 时的 x 的值 . 解： (I)由已知得到 : 2( ) 3 6 3 3 [ ( 2 ) ]f x x x a x x a      , (1)当 0a 时 ,Q [0,2]x , ( 2) 0xx, ( ) 0fx  恒成立 ； …… … ……… .1 分 (2)当 1a 时 ,Q [0,2]x , 2( 2 ) ( 1) 1 1x x x     ， ( ) 0fx  恒成立 ; …… .2 分 (3)当 01a时， 2( ) 3 6 3 0f x x x a    , 36 36 0a   , 1 11xa    ， 2 11xa   ， 且 120 1 2xx   , 令 ( ) 0fx  解得： 10 xx 或 2 2xx .…………………………………………… 3 分 综上： 当 0a 时 , ()fx的单调减区间为 (0,2) ； 当 1a 时 , ()fx的单调増区间为 (0,2) ; 当 01a时， ()fx的单调増区间为  0,1 1 a和  1 1 ,2a ， 6 / 8 单调减区间为  1 1 ,1 1aa   .……………………………………………………… 5 分 (II)由 (I)知 (1)当 0a 时 , ()fx在 (0,2) 上递减 ,所以 m a x( ) ( 0) 3 3f x f a  ； …… 6 分 (2)当 1a 时 , ()fx在 (0,2) 上递增 ,所以 m a x( ) ( 2 ) 3 1f x f a  ;…………… … .7 分 (3)当 01a时， m a x 1( ) m a x { ( ) , ( 2 ) }f x f x f ， 3 3 2 2 21 1 1 1 1 1 1( ) ( 2 ) 2 3 ( 2 ) 3 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 3 )f x f x x a x x x x a           ， 21120x x a   2112x x a,  112a x x, 1 1 1( ) ( 2) ( 2) ( 2 2 )f x f x x a    ， .………………………………………………………… … 9 分 ① 当 ，由  112a x x， 得1 10 2x， 所以1 3222x    ，且 3022a，此时 1 20xa   ，又 1 2x ，  1( ) (2) 0f x f，即 max 1( ) ( )f x f x ； .………………………………………………………… … 10 分 ② 当 3 14 a时， 由  112a x x，得11 12 x，所以13 212 x   ，且 3 222 a，此时 1 2 2 0xa   ， 又 1 2x ，  1( ) (2) 0f x f，即 max( ) (2)f x f ； .………………………………………………………… … 11 分 综上， 当 0a 时 , ()fx在 处 取得 最大值 ； 当 30 4a 时， 在 11xa   处取得 最大值 ； 当 34a 时， 在 2x 处取得 最大值 . … … 12 分 22．（本小题满分 12 分） 已知 ln 1() 21xxfx x. （ Ⅰ ） 判断函数 ()fx的零点个数，并说明理由； （ Ⅱ ） 已知 0k ， 0a ， 若 曲线 1: lnC y xk 上有两点    e , , e ,ka kaP a Q a ， 且 曲线C 在点 P 、 Q 处 的切线 相交于点 M ，证明 ： 点 M 一定在 x 轴上方 . 解： （ Ⅰ ）函数 ln 1() 21xxfx x定义域为 (0,+ ) ， 30 4a0x()fx()fx7 / 8 2221 2 (1 )( ) 02 (1 ) 2 (1 )xfx x x x x    ， 函数 ()fx在 (0, ) 单调递增， 因为 (1) 0f  ， ……………………………………………………… .…………… 3 分 所以，函数 ()fx有唯一的零点 1…………………………………………………… 5 分 （ Ⅱ ） 1lnyxk 1y kx. 过点    e , , e ,ka kaP a Q a 的切线方程为：  1 e,e kakay x ak  和  1 e,e kakay x ak   ………………………………… 8 分 设两条切线交点 M 的纵坐标为 y , 可解得       22e e e e 1 e11eeek a k a k a k a k akak a k ak a aykk         ,………………… 10 分 法一： 设 2e ka t  ,因为 0ka ， 所以 ,01t ,且有 ln 2t ka . 于是 12lnakt , 因此 ,  12 2 1l n 1 l n 1atatyat t t t    ,………………………………………… .11 分 由（ Ⅰ ） 知，当 01x时， ( ) (1) 0f x f，所以， ln 1 021ttt ， 故 l n 1 2 1 2 1 0,2 1 l n 1 l n 1t t t tt t t t t           又 0a , 0y， 所以点 M 一定在 x 轴上方 . ……………………………………………… .12 分 法二： ∵ 0k ， 0a ，  e e 0ka kak   ，下证    e e e e 0k a k a k a k aka    ， 设 eka t ，则 lnka t ， 即证当 1t 时，不等式 ln 1ln 0tt t ttt   成立， …………………………… 11 分 令   ln 1ln , 1tg t t t t ttt    ，则  21ln 1g t t t ，且 10g  ， 8 / 8 显然当 1t 时，  0gt  ，所以    10g t g，即    e e e e 0k a k a k a k aka    ， 0y， 所以点 M 一定在 x 轴上方 . …………………………………………… 12 分 深圳市 2018 届高三 年级 四校联考 理科 数学试题 第 1 页 共 6 页 绝密 ★ 启用前 试卷类型： A 深圳市 2018 届高三 年级 四校联考 理 科 数学 本试卷共 6页， 22小题，满分 150分 . 考试用时 120分钟 . 注意事项 ： 1． 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上 . 用 2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上 . 2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案 . 答案不能答在试卷上 . 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液 .不按以上要求作答的答案无效 . 4．作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答 .漏涂、错涂、多涂的，答案无效 . 5． 考生必须保持答题卡的整洁 . 第 Ⅰ 卷 (选择题 共 60 分 ) 一、 选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，满分 60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项符合要求． 1. 已知全集 UR , 集合  2| 2 0NA x x x   ,  2,3B , 则 ()UAB (A) (B)0 (C)1 (D) 0,1 2．函数   121lo g 2 1fx x 的定义域为 (A) 1( ,0)2(B) 1( , )2 (C)  1( , 0) 0,2 (D) 1( ,2)2 深圳市 2018 届高三 年级 四校联考 理科 数学试题 第 2 页 共 6 页 3．设 ,,xyR 则 “ 222xy”是 “ 1x ，且 1y ”的 （ A）充分而不必要条件 （ B）必要而不充分条件 （ C）充分必要条件 （ D）既不充分也不必要条件 4．根据下列条件 ,能确定 ABC 有两解的是 (A)  1 2 0,20,18 Aba (B)  60,48,3 Bca (C)  30,6,3 Aba (D)  45,16,14 Aba 5．已知 tan 2 ，则 2sin 2 cos (A)35 (B) 35 (C) 35 或 1 (D)1 6．把函数 ( ) 2 sin (2 )4f x x 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的 4 倍，再向左平移 3 个单位，得到函数 ()gx 的图象，则函数 ()gx 的一个单调递减区间为 (A) 57[ , ]66 (B) 7 19[ , ]66 (C) 24[ , ]33 (D) 17 5[ , ]66 7．函数 23ln ( 4 4 )() ( 2 )xxfx x 的图象可能是 (A) (B) (C) (D) 8．若函数    2lo g 8af x x a x在区间 221 ,4 aa上为减函数，则 的取值范围是 (A) 2,12(B) 3,12(C)  31, 4 (D)  1,2 a深圳市 2018 届高三 年级 四校联考 理科 数学试题 第 3 页 共 6 页 9．已知函数   c o s 3 sinf x x x，其中 π,3xm，若 的值域是  1,2 ，则实数 的取值范围是 (A) π,03(B) π π,23(C) 2π π,32(D) ππ,310．已知 eπa ， π3b , πec ，则它们的大小关系是 (A)abc (B)c b a (C)b c a (D)c a b 11．已知定义在 R 上的函数 ()fx 对任意 xR 满足： ( ) (2 )f x f x，当 1x 时，( ) e 1xfx，则方程 ( ) | 1 | 1 0f x x   的实根个数为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 12．已知函数 ( ) e lnxf x a x x，存在 Nn ，使得函数 ()fx在区间 ( , 2)nn 上有两个极值点，则实数 a 的取值范围是 （ A）3ln3e 1( , )ee（ B） 2ln2e 1( , )ee（ C）32ln3 ln2( , )ee（ D）2ln2 1( , )ee第 II卷 （非选择题 共 90 分） 二、填空题 :本大题共 4小题 ,每小题 5分 ,共 20分 . 13.若 定义在区间 上的 函数 2() mf x x  是奇函数，则 ()fm . 14． 20 sin π 1)x x dx（. 15． 设函数 2 ( 1 ) 3 , 1()2 , 1xa x a x a xfx x       ，，的最小值为 2 ，则实数 a 的取值范围是 _____． 16． 已知锐角三角形 中，角 所对的边分别为 若 2 ()b a a c，则的取值范围是 ____________． ()fxm2[ 3 , ]m m m  ABC,,ABC , , ,abc2sinsin( )ABA深圳市 2018 届高三 年级 四校联考 理科 数学试题 第 4 页 共 6 页 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 . 17．（本小题满分 10 分） 已知三个集合：  22lo g ( 5 8 ) 1A x x x    R，  2 2821R xxBx   ，  22 1 9 0RC x x a x a     . （ Ⅰ ） 求 AB； （ Ⅱ ） 已知 ,A C B C   ，求实数 a 的取值范围 . 18.（本小题满分 12 分） 已知函数 π π π( ) 3 s i n ( 2 ) 2 s i n ( ) s i n ( )3 4 4f x x x x    . （ Ⅰ ）求函数 ()fx的最小正周期和图象的对称轴方程； （ Ⅱ ）求函数 ()fx在区间 π π[ , ]12 2 上的值域 . 19．（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，内角 A B C， ， 对边分别是 a b c， ， ，已知 2sin sin sinB A C ． （ Ⅰ ）求证： π0 3B ； （ Ⅱ ） 求 cos 4 cos 2ACB  的 最大值 ． 深圳市 2018 届高三 年级 四校联考 理科 数学试题 第 5 页 共 6 页 20．（本小题满分 12 分） 中国移动通信将于 3月 21日开始在所属 18个省、市移动通信公司陆续推 出 “ 全球通 ”移动电话资费 “ 套餐 ” ， 具体方案如下： 方案代号 基本月租（元） 免费时间（分钟） 超过免费时间的话费（元 /分钟） 1 30 48 0． 60 2 98 170 0． 60 3 168 330 0． 50 4 268 600 0． 45 5 388 1000 0． 40 6 568 1700 0． 35 7 788 2588 0． 30 原计费方案的基本月租为 50 元，每通话一分钟 收取 0.4 元，请问： （ I） 求 “ 套餐 ” 中 第 4 种收费方式的月话费 y 与月通话量 （月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算， 不足一分钟的按一分钟计算， 如某次通话时间为 3 分 20 秒， 则 按 4 分钟计通话用时）的函数 解析 式； （ II） 若采用 第 4 种收费方式 ,且 比原计费方式的月话费省钱 ,求 通话量 的取值范围 ； （ III）据中国移动某年公布的中期业绩，每个用户 的月 通话 量 平均为 320 分钟 . 若一个用户的 月 通话 量 恰好是这个平均值， 则 在表 中 所列出的七种方案中， 选择哪种 方案 更合算 ？请 说明理由 . 21．（本小题满分 12 分） 已知 Ra ,函数 32( ) 3 3 3 3f x x x a x a    ， ]2,0[x . （ Ⅰ ） 求 ()fx的单调区间； （ Ⅱ ） 求 ()fx取得 最大值 时 x 的值 . t深圳市 2018 届高三 年级 四校联考 理科 数学试题 第 6 页 共 6 页 22．（本小题满分 12 分） 已知 ln 1() 21xxfx x. （ Ⅰ ） 判断函数 ()fx的零点个数，并说明理由； （ Ⅱ ） 已知 0k ， 0a ， 若 曲线 1: lnC y xk 上有两点    e , , e ,k a k aP a Q a ，且 曲线 C 在点 P 、 Q 处 的切线 相交于点 M ，证明 ： 点 M 一定在 x 轴上方 .