2019年广东省佛山市第一中学高三上学期期中考试 数学（理） PDF版.rar

第 1 页，共 4 页 佛山一中 2019届高三 年级 期中 考 数学（理科 ）答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C C D B D A D B C D A 二、填空题 13. 14 14. 52 15. 43 16. 2 三、解答题 17. （ 1） 在 中，因为 ， ， ， 由余弦定理得 ， ………………………… 2 分 所以 ， 整理得 ， 解得 ．所以 ． ………………………………………………………………… 4 分 所以 是等边三角形． 所以 ． ……………………………………………………………………………… 5 分 （ 2） 由于 是 的外角， 所以 ． …………………………………………………………………………… 6 分 因为 的面积是 ， 所以 ． ……………………………………………………… 7 分 所以 ． ……………………………………………………………………………………… 8 分 在 中， 所 以 ． ………………………………………………………………………………… 10 分 在 中，由正弦定理得 ， ………………………………… 11 分 所以 ． …………………………………………………… 12 分 18. (1)设 1 2 21( , ), ( , )Ay x yx B ， 由题意得 (1,0)F ， l 的方程为 ( 1)( 0)y k x k  ． ………………… 1 分 佛山一中高三年级期中考数学（理科） 第 2 页，共 4 页 由2( 1),4y k xyx 得 2 2 2 2( 2 4 ) 0k x k x k   ． …………………………………………………… 2 分 216 16 0k   ，故122224kx kx ． ………………………………………………………… 3 分 所以122244| | | | | | ( 1 ) ( 1 )x kA B A F B F kx       ． ………………………………………… 4 分 由题设知 22448kk ，解得 1k （舍去）， 1k ． …………………………………………… 5 分 因此 l 的方程为 1yx． …………………………………………………………………………… 6 分 (2)由 (1)得 AB 的中点坐标为 (3,2) ， 所以 AB 的垂直平分线方程为 2 ( 3)yx   ，即 5yx  ． …………………………………… 8 分 设所求圆的圆心坐标为 00( , )xy ，则 00 22 0005,( 1 )( 1 ) 1 6 .2yxyxx     …………………………… 10 分 解得 003,2xy 或 0011,6.xy  …………………………………………………………………………… 11 分 因此所求圆的方程为 22( 3) ( 2 ) 1 6xy   或 22( 1 1) ( 6 ) 1 4 4xy   ． …………………… 12 分 19. （ 1） 因为四棱锥 ，底面 为菱形， ， ， 分别是 ， 的中点， 所以 是等边三角形， 所以 ， ………………………………………… 1 分 又因为在菱形 中， ， 所以 ， ………………………………………… 2 分 因为 ， ，所以 ， ……………………………… 3 分 因为 ，所以 ， ……………………………………………………… 4 分 因为 ，所以 ． …………………………………………………………… 5 分 第 3 页，共 4 页 （ 2） 由（ ）知 ， ， 两两垂直，所以以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为 ， 分别为 ，的中点， ，所以 ， ，， ， ， ，， …………………………………………………… 6 分 所以 ， ， ……………………………………………………… 7 分 设平面 的一个法向量为 ， 则 取 ，得 ， …………………………………………………………………… 9 分 因为 ， ， ，所以 ， 所以 为平面 的一个法向量．又 ， ……………………………… 11 分 所以 ． 因为二面角 为锐角， 所以所求二面角的余弦值为 ． ……………………………………………………………………… 12 分 20. (1) 设 椭圆 的 半 焦距 为 c， 则 2 2 2c a b， 且 12ce a． 由 2222,1,xcxyab 解得 2by a ． …… 2 分 依题意 ， 22 3ba  ，于是椭圆的方程为 22143xy． …… …… …… …… …… …… …… …… …… … 4 分 (2)设1 1 2 211, , ,22A x x t B x x t         ， 设 1: 2l y x t，与椭圆方程联立得 223 0.x tx t    则有 21 2 1 2, 3 .x x t x x t    …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… … 6 分 直线 PA,PB 的斜率之和 佛山一中高三年级期中考数学（理科） 第 4 页，共 4 页 1 2 2 1122211( ) ( )22( ) ( )3 232 .3P A P Bm x t m x n x t m xkkm x m xn m t m nt m t m                   …… …… …… … 9 分 当 3 , 2 32n m mn时斜率的和恒为 0，解得 1, 1,3322mmnn    …… …… … …… …… … … … … 11 分 综上所述，所有满足条件的定点 P 的坐标为 31,2或 31,2． … …… …… …… …… …… … … 12 分 21. 解 （ 1）函数 f(x)的导函数 4 ( 4 ) ( 1 )( ) ( 4 ) ,a x xf x a x axx        …… …… …… 2 分 情形一 a⩽0．此时   0fx  ，于是 f(x)在  上单调递增； …… …… …… …… …… …… …… 3 分 情形二 a0．此时 f(x)在 40,a上单调递增，在 4,a上单调递减． …… …… …… …… …4 分 （ 2）函数 f(x)存在极值，因此 a0．根据题意，有 1 2 1 20 1 21 2 1 2( ) ( ) l n l n 1( ) 4 ( ) ( 4 ) ,2f x f x x xf x a x x ax x x x       … … … … 5 分 而 1 2 1 2128 ( 4 ) ,22x x x xf a axx       … … … … 6 分 故 只需要 比较 1212ln lnxxxx 与122xx 的 大小 ． 令 2( 1)( ) ln 1tg t t t  ， 则 2221 4 ( 1 )() ( 1 ) ( 1 )tgt t t t t   ． 当 1t 时 ， () 0gt  ， 故 ()gt 在 (1,＋ ∞)上 单调 递增 ． 因此 ， 当 1t 时 ， ( ) (1) 0g t g． 于是 ，2121 2121ln1xxxx xx ， 即 121 2 1 2ln ln 2xxx x x x ． …… …… …… …… …… …… …… …… …… 9 分 第 5 页，共 4 页 于是 120( ) ,2xxf x f  …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… …… 10 分 又   0fx  在  上单调递减，因此 120 ,2xxx 进而 1 2 02x x x ． …… …… …… …… …… … 12 分 22. 解： (1)∵ 曲线 1C 的参数方程为11232xtyt  (t 为参数 )， 22233txty ， 3 3 0xy   ， ∴ 曲线 1C 的普通方程为 3( 1)yx． …… …… … …… …… … …… …… …… …… …… …… …… … 2 分 ∵ 曲线 2C ： 22123 sin  ， 2 2 23 sin 1 2    ， 2 2 23( ) 1 2x y y   ， 223 4 12xy   ， ∴ 曲线 2C 的直角坐标方程为 22143xy． …… …… …… …… …… … …… … …… …… …… …… …… 5 分 (Ⅱ )由题意可设，与 A、 B 两点对应的参数分别为 1t ， 2t ， 将 1C 的参数方程代入 𝐶2的直角坐标方程22143xy， 化简整理得， 25 4 12 0tt   ，121245125tttt    ， … … …… … …… …… …… … … 7 分 1212| | | |1 1 | | | || | | | | | | | | | | |ttF A F BF A F B F A F B t t   ， 12 12 05tt   ，221 2 1 2 1 2 1 2 4 1 2 1 6| | | | | | ( ) 4 ( ) 4 ( )5 5 5t t t t t t t t            ， 161 1 4512| | | | 35F A F B   ． …… …… …… …… …… … …… … …… …… …… …… …… … …… …… 10 分 23.解： (1)由题意，不等式 | 1 | | 1 |x x m   有解，即 ( | 1 | | 1 |) m inm x x M    ． …… …… 1 分 | 1 | | 1 | | ( 1 ) ( 1 ) | 2x x x x       ， …… …… … …… … …… …… …… …… …… … …… …… …… 3 分 当且仅当 ( 1 ) ( 1 ) 0 1 1x x x      时取等号， 2M． …… …… …… …… …… …… …… …… …… … …… … …… …… …… …… …… … …… …… 5 分 (2)由 (1)得 32ab ， 佛山一中高三年级期中考数学（理科） 第 6 页，共 4 页 1 1 1 1 1 1 1 1( 3 ) ( ) [ 2 ( ) ] ( )2 2 2 2 21 2 1( 1 1 ) ( 2 2 1 ) 22 2 2a b a a ba a b a a b a a ba a ba b a                ， …… …… …… …… … …… …… 8 分 当且仅当 2122a a b aba b a    时取等号， … …… … …… … …… …… …… …… …… … …… … 9 分 故 11( ) 22mina a b． … …… … …… … …… …… …… …… …… … … … …… …… … …… … … …… 10 分 第 1 页，共 4 页 佛山一中 2019届高三 年级 期中 考试 题 数学（理科） 命题人： 吴以浩、李维 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知全集 ，集合 ， ，则 A. B. C. D. 2. 设命题 ：若定义域为 的函数 不是偶函数，则 ， ．命题 ：在 上是减函数，在 上是增函数．则下列判断错误的是 A. 为假 B. 为真 C. 为真 D. 为假 3. 已知 ， ，则 A. B. C. D. 4. 函数 的图象大致为 A. B. C. D. 5. 已知正六边形 ABCDEF 的边长是 2，一条抛物线恰好经过该正六边形相邻的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是 A. 34 B. 32 C. 3 D. 23 佛山一中高三年级期中考数学（理科）试题 第 2 页，共 4 页 6. 已知 ， 为平面上的单位向量， 与 的起点均为坐标原点 ， 与 的夹角为 ，平面区域 D由所有满足 的点 P 组成，其中 那么平面区域 D 的面积为 A. B. C. D. 7. 设命题 p： 实数 ,xy满足 | | | | 1xy， q： 实数 x， y 满足2111   yxyxy，则 p 是 q 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 若实数 a， b， c， d 满足 2 2 2( 3 l n ) ( 2 ) 0b a a c d     ，则 22( ) ( )a b d   的最小值为 A. 2 B. 2 C. 22 D. 8 9. 已知圆 C： (x－ 3)2＋ (y－ 4)2＝ 1 和两点 A(－ m,0)， B(m,0)(m0)．若圆 C 上存在点 P，使得 ∠ APB＝90°，则 m 的最大值为 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 10. 已知点 A， F， P 分别为双曲线 2222 1( 0 , 0 )xy abab   的左顶点、右焦点以及右支上的动点，若2PFA PAF   恒成立，则双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 C. 2 D. 13 11. 设 ，若函数 在区间 上有三个零点，则实数 的取值范围是 A. B. C. D. 12. 设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值为 A. B. C. D. 第 3 页，共 4 页 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13.定义在 R 上的函数 ()fx满足 ( ) (2 )f x f x及 ( ) ( )f x f x  ，且在 [0,1] 上有 2()f x x ，则120192f ________． 14. △ ABC 的三内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 其中 b＝ 3， c＝ 2． O 为 △ ABC 的外心，则________． 15. 已知点 ( 1,2)P 及圆 22( 3) ( 4) 4xy   ，一光线从点 P 出发，经 x 轴上一点 Q 反射后与圆相切于点 T ，则 | | | |PQ QT 的值为 ________． 16. 函数2 π( ) 4 c os c os( ) 2 sin | l n( 1 ) |22xf x x x x    的零点个数为 ________． 三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23题为选考题，考生根据要求作答。 17. （本小题满分 12分） 如图，在 △ ABC 中，点 P 在 BC 边上， ∠ PAC＝ 60° ， PC＝ 2， AP＋ AC＝ 4． （ 1）求 ∠ ACP； （ 2）若 △ APB 的面积是 ，求 ． 18. （本小题满分 12分） 设抛物线 2 4：C y x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 ( 0)kk 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点， | | 8AB ． （ 1） 求 l 的方程； （ 2） 求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程． 19. （本小题满分 12分） 如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形， PA⊥平面 ABCD， ∠ ABC＝ 60° ， E， F 分别是 BC， PC 的中点． （ 1）证明： AE⊥ PD； （ 2）若 PA＝ AB＝ 2，求二面角 E-AF-C 余弦值． 佛山一中高三年级期中考数学（理科）试题 第 4 页，共 4 页 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 1( 0 )xy abab   的离心率 12e ，过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的线段长为 3． （ 1） 求椭圆的方程； （ 2） 斜率为 12 的动直线 l 与椭圆交于 A,B 两点，在平面上是否存在定点 P，使得当直线 PA 与直线 PB的斜率均存在时，斜率之和是与 l 无关的常数 ？ 若存在，求出所有满足条件的定点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 21. （本小题满分 12分） 设函数 21( ) 4 ln ( 4 )2f x x a x a x   ，其中 a∈ R． （ 1） 讨论 ()fx的单调性； （ 2） 若函数 ()fx存在极值，对于任意的 120 xx，存在正实数 0x ，使得 1 2 0 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ,f x f x f x x x    试判断 12xx 与 02x 的大小关系并给出证明． （二）选考题：共 10分 .请考生在第 22、 23题中任选一题作答 .如果多做，则按所做的第一题计分 . 22. （本小题满分 10分） 已知曲线 1C 的参数方程11232xtyt  (t 为参数 )．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 22 2123s: inC   ． (1)求曲线 1C 的普通方程和 2C 的直角坐标方程； (2)若 1C 与 2C 相交于 A、 B两点，设点 (1,0)F ，求 11| | | |FA FB的值． 23. （本小题满分 10分） 已知函数 ( ) | 1 | | 1 |f x x x   ． (1)若 0xR，使得不等式 0()f x m 成立，求实数 m的最小值 M； (2)在 (1)的条件下，若正数 a， b满足 3a b m ，求 112a a b  的最小值．