1、第 1 页 共 17 页2019 届辽宁省沈阳市东北育才学校高三联合考试数学(文)试题一、单选题1集合 , ,则A B C D 【答案】C【解析】分别计算出集合 、 ,然后计算出【详解】则故选【点睛】本题主要考查了集合的交集及其运算,属于基础题。2在复平面内,复数 对应的点在A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限【答案】A【解析】化简 ,根据其几何意义确定所在象限【详解】,所以对应点在第一象限,故选【点睛】本题考查了复数的几何意义,只需计算出复数的结果即可判断,较为基础。3 “ ”是“ ”的第 2 页 共 17 页A 充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充分必要条件 D 既不
2、充分也不必要条件【答案】B【解析】分别判定充分性和必要性,得到结果【详解】,当 时,则“ ”是“ ”的必要不充分条件故选【点睛】本题主要考查了充要条件必要条件的判断,属于基础题。4已知曲线 在 处的切线方程是 ,则 与 分别为A B C D 【答案】D【解析】利用导数的几何意义得到 等于直线的斜率 ,由切点横坐标为 ,得到纵坐标即【详解】由题意可得:,故选【点睛】本题主要考查了导数的几何意义,较为简单。5在平行四边形 中, , ,则A 1 B 2 C 3 D 4【答案】C第 3 页 共 17 页【解析】在平行四边形中运用向量表示出 ,然后计算出结果【详解】故选【点睛】本题主要考查了向量的平行四
3、边形法则的应用,属于基础题。6等差数列 满足: ,则 = ( )A B 0 C 1 D 2【答案】B【解析】本题考查等差数列的通项公式,前 n 项和公式及数列的基本运算.设公差为 由 得: ,即 则故选 B7若 ,则正确的是( )A B C D 【答案】D【解析】运用不等式对四个选项逐一分析【详解】对于 , , , ,则 ,故错误对于 ,若 ,则 ,即 ,这与 矛盾,故错误对于 , , , ,则 ,故错误对于 , , ,故正确故选第 4 页 共 17 页【点睛】本题考查了不等式的性质,由未知数的范围确定结果,属于基础题。8已知函数 ,则 的图象大致为A B C D 【答案】A【解析】运用导数研
4、究函数的单调性,从而判断函数图像【详解】,令 ,当 时, , 单调递增,则 单调递减当 时, , 单调递减,则 单调递增,故选【点睛】本题考查了函数图像的判定,在解答过程中运用导数,求导后判定函数的单调性,继而得到函数的大致图像。9函数 是定义在 上的奇函数,且 ,若对任意 ,且 时,第 5 页 共 17 页都有 成立,则不等式 的解集为A B C D 【答案】C【解析】构造新函数,由题意判断函数的单调性与奇偶性,然后解不等式【详解】令 ,函数 是定义在 上的奇函数,则是偶函数,则时,都有 成立,即 在 上单调递减在 上单调递增不等式 的解集为 故选【点睛】本题考查了函数性质的运用,关键是由题
5、意中的表达形式构造出新函数,然后判定新函数的单调性和奇偶性,继而解出不等式的解集,属于中档题。10设 是两条不同的直线, 为两个不同的平面,则下列四个命题中不正确的是A 且 ,则 B 且 ,则C 且 ,则 D 且 ,则【答案】B【解析】对四个选项逐一进行分析判断即可得到结论【详解】第 6 页 共 17 页对于 ,分别垂直于两个平面的两条直线一定垂直,故 命题是正确的对于 , 且 成立时, 两条直线的关系可能是相交,平行,异面,故命题错误对于 , 可以得出 ,再由 可以得出 ,故 命题正确对于 , 且 ,可以得出 ,再由 ,可以得出 ,故 命题正确故选【点睛】本题主要考查了平面之间的位置关系,解
6、题的关键是有着较好的空间想象能力以及空间中线面,面面位置关系性质熟练掌握,要认真审题,注意本题是找出不正确的选项。11函数 在 内的值域为 ,则 的取值范围为A B C D 【答案】A【解析】先求出 ,然后结合函数性质求出范围【详解】函数 ,当 时,结合余弦函数的性质,则解得故 的取值范围为故选第 7 页 共 17 页【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质和图象,熟练运用公式进行化简求解,属于中档题。12设函数 , ,给定下列命题不等式 的解集为 ;函数 在 单调递增,在 单调递减; 时,总有 恒成立;若函数 有两个极值点,则实数 则正确的命题的个数为A 1 B 2 C 3 D 4【答案】B【解
7、析】运用导数求导后对四个选项逐一进行分析判断即可得到结论【详解】函数 ,则 ,对于, 即 , ,即 ,故正确对于, ,当 时 , 单调递增,故错误对于,当 时,若 ,则即 ,即 ,令 ,则 ,当 时, ,则 单调递增第 8 页 共 17 页,则 , 单调递减,故 , ,故正确对于,若函数 有两个极值点,则 有两个零点即 ,令 , , 在 上单调递增,在 上单调递减,即 , ,故错误综上,只有正确故选【点睛】本题考查了导数的运用,求导后研究函数的单调性、极值情况、不等式,在解题过程中较为综合,需要熟练运用各知识点来解题,属于中档题。二、填空题13已知 ,则 =_.【答案】【解析】由条件利用两角和
8、的正切公式求得 ,利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系化简要求的式子为 ,运算求得结果【详解】,第 9 页 共 17 页故答案为【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式,二倍角公式,同角三角函数的基本关系的应用,属于基础题。14设函数 是定义在 上的周期为 2 的奇函数,当 时, ,则_【答案】【解析】利用函数的周期性和奇偶性来解题【详解】函数 是定义在 上的周期为 2 的奇函数,由图象可得 ,则故答案为【点睛】本题主要考查了的是函数的概念和性质,运用奇偶性和周期性来解题,较为简单。15已知点 是椭圆 上的一点, 分别为椭圆的左、右焦点,已知,且 ,则椭圆的离心率为_【答案】【解析】运用正弦
9、定理和椭圆的基本性质来解题第 10 页 共 17 页【详解】,解得故答案为【点睛】在求离心率的题目时结合题意,运用余弦定理解三角形,得到边的数量关系,然后求得离心率,本题较为基础。16已知向量 是两个不共线向量,向量 ,满足的点 表示的区域为 ,满足 的点 表示的区域为 ,则_.【答案】【解析】不妨令 , ,表示出 和 ,计算出面积求出比值结果【详解】令 ,则若第 11 页 共 17 页则所表示区域面积若则所表示区域面积则故答案为【点睛】本题主要考查了向量的线性表示,结合题意表示出区域面积,从而计算出结果,在解答过程中取特例情况来求解。三、解答题17已知函数 .(1 )试求 的值域;(2 )设
10、 ,若对 , ,恒有 成立,试求实数 的取值范围.【答案】 ()() a 的取值范围是 【解析】试题分析:(1)这是含绝对值的函数,可以利用绝对值的性质求得最大值和最小值,也可利用绝对值的定义去绝对值符号后再求得最值,还可利用绝对值的几何意义得结论;(2)题意中不等式 恒成立,实际上就是 ,由基本不等式性质知 ,即 ,列出不等式可解得的范围试题解析:(1) , 的值域为(2 ) ,由题意知 ,第 12 页 共 17 页【考点】含绝对值的函数的值域,不等式恒成立18设锐角三角形 的内角 的对边分别为 ,且 .(1 )求 的大小;(2 )求 的取值范围.【答案】 (1) ;(2)【解析】解:(I)
11、由条件及正弦定理得则 . (3 分) 又 , 又 , . (6 分)()由 及 , 得 .又 为锐角三角形, . (8 分). (10 分)又 , . . (12 分)19已知函数 的最小正周期为 ,当 时,有最大值 4(1)求 的值;第 13 页 共 17 页(2)若 ,且 ,求 的值【答案】(1) (2)【解析】由周期和最值求出 的值表示出 的解析式,然后代入求出结果【详解】 函数 的最小正周期为 ,则 ,解得当 时,有最大值,解得由可得,【点睛】第 14 页 共 17 页本题考查了三角函数的综合运用,由题意中的周期和最值计算出 的值,这样就可以对表达式进行化简,代入后求出第二问的结果,较
12、为基础,需要熟练运用公式。20已知数列 满足 (1)求数列 的通项公式;(2)若 ,求数列 的前 项和 【答案】(1) (2)【解析】由表达式推导出数列的通项公式先得到数列 的通项公式,然后运用裂项相消法求和【详解】 可得当 时,数列 的通项公式为若【点睛】本题考查了求数列通项公式和运用裂项相消法求数列的和,形如 的形式就需要裂项,然后再计算结果,本题较为基础,需要掌握解题方法。21已知函数 .()2)ln1fxx第 15 页 共 17 页(1 )判断 的导函数 在 上零点的个数;()fx()fx1,2(2 )求证: .0【答案】 (1) 个;(2)证明见解析.【解析】试题分析:(1)借助题设
13、条件运用导数知识求解;(2)借助题设条件和导数的知识进行推证求解.试题解析:(1)函数 定义域为 ,()fx(0,), 2()lnf因为 , ,所以存在 使得 ,1()ln2f0(1,2)x0()fx令 ,()l0xg则 ,所以 在 上单调递增, 2()gx,)故 在区间 有且仅有一个零点.()fx(1,)(2)由(1)可知,当 时, ,即 ,此时 单调递减;0()gx()0fx()fx当 时, ,即 ,此时 单调递增;x所以 ,0()fx由 ,得 , ,0f02ln10(,2)x所以 000 04()()l()15()fxx xx令 ,则 ,412h 224()1h所以 在区间 内单调递减,
14、所以 ,()x(,)0()5xh.055f【考点】导数在研究函数的最值和单调性方面的运用【易错点晴】导数是高中数学的重要内容之一,也是研究函数的单调性和最值问题的有效工具之一.本题考查的是函数的零点的个数问题和不等式的证明问题.解答这类问题时常常要运用转化与化归的数学思想将其进行等价的化归和转化.如第一问中的零点问第 16 页 共 17 页题就是要研究清楚函数在定义域中的单调性,从而确定了函数零点的个数.如第二问不等式的证明问题就是通过构造函数研究函数的最小值问题.通过构造函数将不等式的证明问题转化为求其最小值为 的问题.022已知函数 , 2()1xfeaxR(1 )若 ,求函数 的单调区间
15、;2a()f(2 )若对任意 都有 恒成立,求实数 的取值范围0x0xa【答案】 (1)单调增区间 ,无单调减区间;(2) , 1【解析】试题分析:(1)当 时, ,令 ,则1a()2xfe()gxf,则当 时, 则 单调递减,当 时,()xge(0)0,gf 0,)则 单调递增,所以当 时, 有最小值,故0)f x()x,所以 上递增;(2)当 时,1()2fxf()f在 , 0x令 ,则 ,则 单调递增,xfeagxf()10xge()f,再分析 ,当 时,()01f 0a,所以 , 成立,当fx()fx在 , 上 递 增 ()0fx时,存在 ,使 ,则 减,则当a0(,)00()f在 ,
16、 上 递时, ,显然不成立,故 (,)xfx1a试题解析:(1) , 21)(efx令 ,则 ,则当 时, 则 单调递减,当)(fxgxg)0(,0)(xg)(xf时, 则 单调递增 0,0)()(f所以有 ,所以 21fxf 上 递 增,在 )(xf(2)当 时, ,令 ,则 ,则0aefx)( )(fg01)(xeg单调递增,)(xf f1)0(当 即 时, , 成1a)(f 上 递 增,在 0)(xf )(fxf第 17 页 共 17 页立当 时,存在 ,使 ,则 减,则当1a)0(x0)(xf上 递,在 0)(xf时, ,不合题意 )0(x)ff综上 【考点】1、利用导数研究函数的单调性;2、利用导数研究函数的最值;3、不等式的恒成立;4、分类讨论【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立成立问题,涉及分类讨论,属于难题利用导数求函数 的fx单调性的步骤:确定函数 的定义域;对 求导;令 ,解不fxfx0f等式得 的范围就是递增区间;令 ,解不等式得 的范围就是递减区间,然x0后据此可以求函数的极值对于恒成立问题,可以转化为求函数的最小值问题,进而需要利用导数分析函数单调性,函数极值,得函数最值,进而求解