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1 成都七中高 2019 届 10 月阶段性测试 数学试题( 文 科) 本试卷分第Ⅰ卷 (选择题 )和第Ⅱ卷 (非选择题 )两部分 ,共 150 分 ,考试时间 120 分钟 一、选择题 ( 本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 ) 1. 设集合 2 4 3 0A x x x , 2 3 0 ,B x x 则 AB ( ) A. 3( ,3)2 B. 3(1, )2 C. 3( 3, )2 D. 3( 3, )2 2. 复数313ii的 共轭复数 . . . . 是 ( ) A. 3i B. 3i C. 3i D. 3i 3. 下列曲线中离心率是 62 的是( ) A. 22124xy B.22142xy C. 22146xy D.2214 10xy4.已知幂函数 ()y f x 的图象过点 12()22, ,则 4log (2)f 的值 为 ( ) A. 14 B. - 14 C. 2 D. - 2 5. 已知 2,0,1,3, 4a , 1,2b ,则函数 2( ) ( 2)f x a x b 为增函数的概率是( ) A. 25 B. 35 C. 12 D. 310 6. 在正方体 中,异面直线 1DC 和 1BC 所成角 的大小为( ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 7. 某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛,他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员的中位数分别为 ( ) A. 19、 13 B. 13、 19 C. 20、 18 D. 18、 20 8. 已知 xy, 满足约束条件500 2 40xyx y z x yy , 则的最小值 为 ( ) A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 9. 已知函数 cos( )2xy 的图象向左平移 6 个单位后关于 ( ,0)4 对称 ,则 的 最 . 大负 . . 值 . 为 ( ) A. 4324 B. 4124 C. 1924 D. 1724 10. 执行如图所示的程序框图,若输出 m 的值为 35,则输入 a 的值为 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 2 11. 对 任意 0x ,不等式 sin cos 2x x ax 恒成立,则实数 a 的最 小 值是 ( ) A. 14B.1 C.2 D. 1212.抛物线 E: 2 4xy 与圆 M: 22( 1) 16xy 交于 A、 B 两点,圆心 (0,1)M ,点 P 为劣弧 AB 上不同于 A、 B的一个动点,平行于 y 轴的直线 PN 交抛物线于点 N,则 PMN 的周长的取值范围是( ) A. (6,12) B. (8,10) C. (6,10) D. (8,12) 二、 选择题 ( 本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 ) 13. 在等比数列 na 中, 2 2a , 6 6a ,则 4a ________. 14.已知 2a , 1b , a 与 b 的夹角为 45 ,若 tb a 与 a 垂直,则实数t =______. 15. 某几何体为长方体的一部分,其三视图如图,则此几何体的体积为 . 16. 已知 ABC 三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c , 2a ,且( 2 ) ( s i n s i n ) ( ) s i nb A B c b C ,则 ABC 外接圆的 面积为 . 三、解答题 :(共 70 分 ) 17. (本小题满分 12 分) 微信红包是一款可以实现收发红包、查收记录和提现的手机应用.某网络运营商对甲、乙两个品牌各 5 种型号的手机在相同环境下抢到的红包个数进行统计,得到如表数据: (Ⅰ )如果抢到红包个数超过 5 个的手机型号为“优”,否则“非优”,请完成上述 2× 2 列联表,据此判断是否有 85%的把握认为抢到的红包个数与手机品牌有关 ? (Ⅱ )如果不考虑其它因素,要从甲品牌的 5 种型号中选出 3 种型 号的手机进行大规模宣传销售. 求 在 选中的手机型号中抢到的红包超过 5 个的型号恰有两种的概率 . 下面临界值表供参考: 参考公式: 22 = n ad bcK n a b c da b c d a c b d , 其 中. 3 18. (本小题满分 12 分) 已知 数列 {}na 中, 1 1a , 其前 n 项的和为 nS ,且满足2221nn nSa S ( 2)n. (Ⅰ ) 求 证:数列 1nS是等差数列; (Ⅱ ) 证明: 12 1.3 5 2 1 2nSSS n . 19. (本小题满分 12 分) 如图,在五面体 ABCDPN 中,棱 PA 面 ABCD ,底面 ABCD 是菱形 , 2 =2AB AP PN, 23BAD . ( I)求证: //PN AB ; ( II)求 五面体 ABCDPN 的 体积 . 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E 的一个顶点为 (0, 1)A ,焦点在 x 轴上,若椭圆的右焦点到直线 2 2 0xy 的距离是 3. ( I)求椭圆 E 的方程; ( II)设 过点 A 的 直线 l 与该椭圆交于 另一 点 B , 当弦 AB 的长度最大时 ,求 直线 l 的方程 . 21. ( 本小题满分 12 分) 若定义在 R 上的函数 ( ) ( 1)xf x e a x , a R. (Ⅰ)求函数 ()fx的单调区间; (Ⅱ)若 x 、 y 、 m 满足 | | | | x m y m,则称 x 比 y 更接近 m .当 xe时,试比较 ex 和1 2xe 哪个更接近 lnx ,并说明理由. P D N C A B 4 选做题:请考生在 22, 23 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4- 4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中 , 曲线 C 的参数方程为 3cossinxy ( 为参数 ), 在以原点为极点 ,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中 , 直线 l 的极坐标方程为 sin( ) 24. (1)求 曲线 C 的普通方程和 l 的倾斜角; (2)设点 (0,2)P , l 和 C 交于 A 、 B两点 , 求 |PA|+ |PB|的值 . 23.(本小题满分 10 分)选修 4- 5:不等式选讲 设函数 ( ) 2 2 2f x x x . (Ⅰ)求不等式 2)( xf 的解集; (Ⅱ)若 Rx , 2 7() 2f x t t 恒成立,求实数 t 的取值范围. 1 成都七中高 2019 届 10 月阶段性测试 数学试题( 文 科) 答案: ADBAB CADDA DB 13. 23 14. 2 15. 3516. 43 . 17. ………… 6 分 (2)枚举出 10 种结果,给到 9 分,得到答案 35 给到 12分 18. 解: (Ⅰ)当 2n 时, 21 221nnn nSSS S , ………………… 2 分 112n n n nS S S S .1112nnSS, 从而nS1 构成以 1为首项, 2为公差的等差数列 . ……………………………… 6分 (Ⅱ)由( 1)可知,111 ( 1 ) 2 2 1n nnSS , 121nS n. ……… 8 分 1 1 1 1()2 1 ( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1nSn n n n n …… 10 分 12 1 1 1 1 1 1. . . ( 1 . . . )3 5 2 1 2 3 3 5 2 1 2 1nSSS n n n = 1 1 1(1 )2 2 1 2n 19. 解 : ( Ⅰ )在菱形 ABCD 中, AB//CD, ∵ CD 面 CDPN, AB 面 CDPN, ∴ AB//面 CDPN. …………… 3 分 又 AB 面 ABPN,面 ABPN∩ 面 CDPN=PN, ∴ AB//PN.……………………………………………………………………… 6 分 ( Ⅱ ) 2 20. (本小题满分 12 分) 解: ( Ⅰ ) 由 题 意 : b=1 , 右 焦 点 ( ,0)( 0)cc 到直线 2 2 0xy 的距离为22 32cd , ………………………… 1 分 2c ………………………… 2 分 又 2 2 2 , 3 ,a b c a ………………………… 3 分 又 椭圆 E 的焦点在 x 轴上, 椭圆 E 的方程为 2 2 13x y ……………… 4 分 3 21.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) () xg x e a , ①当 0a≤ 时, ( ) 0gx ,函数 在 R 上单调递增; ②当 0a 时,由 ( ) 0xg x e a 得 lnxa , ∴ ,lnxa 时, ( ) 0gx , ()gx 单调递减; ln ,xa 时, ( ) 0gx , ()gx 单调递增. 综上,当 0a≤ 时,函数 ()gx 的单调递增区间为 ( , ) ;当 0a 时,函数 ()gx 的单调递增区间为 ln ,a ,单调递减区间为 ,lna . .…………… 4 分 (Ⅲ) 解:设 1( ) l n , ( ) 2 l n xep x x q x e xx , 2 1'( ) 0epx xx , ()px 在 [ , ) xe 上为减函数,又 ( ) 0pe , 当 xe 时, ( ) 0px . 1 1'( ) xq x e x, '()qx在 [ , ) xe 上为增函数,又 '( ) 0qe , [ , ) xe 时, '( ) 0qx , ()qx 在 [ , ) xe 上为增函数, 1( ) ( ) 1 0 eq x q e e . ………… 8 分 当 xe 时, 11| ( ) | | ( ) | ( ) ( ) 2 l n 2 2 l n 2 xxep x q x p x q x x e x ex, 设 1( ) 2 ln 2 xn x x e,则 12'( ) xn x ex , '()nx在 xe 时为减函数, 12'( ) '( ) 0en x n e ee , ()nx 在 xe 时为减函数, 1( ) ( ) 0 en x n e e, ………………………… 11 分 | ( ) | | ( ) |p x q x , ex 比 1 2xe 更接近 lnx . …………………………… 12 分 22. 解 (1)由x= 3cos α ,y= sin α 消去参数 α, 得x29+ y2= 1, 即 C 的普通方程为 x29+ y2= 1. 由 ρsin θ - π 4 = 2, 得 ρsin θ - ρcos θ = 2, (*) 将x= ρcos θ ,y= ρsin θ 代入 (*), 化简得 y= x+ 2, 所以直线 l 的倾斜角为 π 4 . (2)由 (1)知 , 点 P(0, 2)在直线 l 上 , 可设直线 l 的参数方程为x= tcos π 4 ,y= 2+ tsin π 4(t 为参数 ), )(xg4 即x= 22 t,y= 2+ 22 t(t 为参数 ), 代入 x29+ y2= 1 并化简 , 得 5t2+ 18 2t+ 27= 0, Δ = (18 2)2- 4× 5× 27= 108> 0, 设 A, B 两点对应的参数分别为 t1, t2, 则 t1+ t2=- 18 25 < 0, t1t2= 275 > 0, 所以 t1< 0, t2< 0, 所以 |PA|+ |PB|= |t1|+ |t2|=- (t1+ t2)= 18 25 . 23.解:( 1) 4 , 1( ) 3 , 1 24 , 2xxf x x xxx , ………………………2 分 当 1 , 4 2 , 6 , 6x x x x 当 221 2 , 3 2 , , 233x x x x 当 2 , 4 2 , 2 , 2x x x x 综上所述 2|63x x x 或. ………………………5 分 ( 2)易得 m in( ) ( 1) 3f x f ,若 Rx , ttxf 211)( 2 恒成立, 则只需 22m i n 73( ) 3 2 7 6 0 222f x t t t t t , 综上所述 3 22 t . ……………………… 10 分
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