1、页 1 第2019 届安徽省定远重点中学高三上学期第二次月考数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分，每小题只有一个正确答案）1.已知集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据对数定义域取值要求求得集合 B，再由集合的补集、交集运算求得 。【详解】根据对数的定义域要求，可得集合所以 所以 所以选 D【点睛】本题考查了集合补集、交集的混合运算，属于基础题。2.以下有关命题的说法错误的是（ ）A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”B. “ ”是“ ”成立的必要不充分条件C. 对于命题 ，使得 ，则 ，均有D. 若
2、 为真命题，则 与 至少有一个为真命题【答案】D【解析】对于 A. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为“若 ，则 ”正确：对于 B. “ ”则“ ”，故“ ”是“ ”成立的必要不充分条件，正确；对于 C. 对于命题 ，使得 ，则 ，均有正确；对于 D.若 为真命题，则 与 至少有一个为真命题，故 D 错误.页 2 第故选 D3.已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 ，选 C.4.若任意 都有 ，则函数 的图象的对称轴方程为A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A【解析】【分析】根据函数定义，求得 的解析式；结合对称轴表达式求解即可。
3、【详解】令 ，代入则联立方程得解方程得 = 所以对称轴方程为 解得所以选 A【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，利用辅助角公式化简三角函数，并求对称轴，属于基础题。5.若函数 对任意的 恒有 ，且当 ， 时， ，设， ， ，则 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】函数 对任意的 恒有 ，则函数 关于直线 对称，由对称性可得： ，页 3 第当 ， 时， ，则函数 在区间 上是增函数，据此可得： ，即 .本题选择 A 选项.6.函数 的部分图像大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，所以舍去 D,B;舍 A,选 C点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解
4、题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧： （1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；由函数的单调性，判断图象的变化趋势； 由函数的奇偶性，判断图象的对称性； 由函数的周期性，判断图象的循环往复(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题7.已知函数 则函数A. 是偶函数，且在 上是增函数 B. 是奇函数，且在 上是增函数C. 是偶函数，且在 上是减函数 D. 是奇函数，且在 上是减函数【答案】C【解析】【分析】根据函数奇偶性，代入-x 判断；再由根据导函数判断函数的单调性即可。【详解】将-x 代入 得= 所
5、以函数 为偶函数，当 时，页 4 第所以 在 上是减函数所以选 C【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性的判断，注意定义与导数的结合，属于基础题。8.已知 均为锐角, , 则 =A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ,所以 ,又 ,所以 ,则 ;因为且 ,所以 ,又 ,所以 ;则 = = = ;故选 A.点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角” ，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦” ；（3）三看“结构特征” ，分析结构特征，可以帮助我们找到变
6、形的方向，如“遇到分式通分”等.9.已知函数 的定义域为 的奇函数，当 时， ，且 ， ，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数定义域及函数对称轴，求出函数的周期，进而化简求得函数值即可。【详解】因为 ，所以函数图像关于 对称因为 的定义域为 的奇函数，所以函数的周期为 T=4所以因为函数图像关于 对称所以 所以选 B【点睛】本题考查了函数的对称性及周期性，掌握 函数的基本性质是解决这类问题的关键，属于中档页 5 第题。10.丹麦数学家琴生（Jensen）是 19 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果，设函数 在 上的导函
7、数为 ， 在 上的导函数为 ，若在上 恒成立，则称函数 在 上为“凸函数” ，已知 在 上为“凸函数” ，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由 可得， ，因为在 上为“凸函数”， 所以 ，因为 在 上递增，所以，所以 ，实数的取值范围是 ,故选 C.11.在 中，角 的对边分别为 ，若 成等比数列，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ， ，故 ，而 ，因 ，故 .根据正弦定理有 ， ，故 ，选 B.12.已知函数 ，若对任意 ，存在 ，使 ，则实数 b 的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】页 6 第根据导数定
8、义，判断函数 的单调性，进而求得函数 的最小值；再结合二次函数对称性，讨论在 b 取不同范围时函数的最值，进而求得 b 的取值范围。【详解】因为函数 （x0）所以 令 ，解得 ，此时 为增函数令 ，解得 ，此时 为减函数所以在 时，当 时取得极小值，也就是最小值 因为对称轴 x=b，当 时，g（x）在 x=1 处取最小值 g（x）min=g（1）=1-2b+4=5-2b当 1b2 时，g（x）在 x=b 处取最小值 g（x）min=g（b）=4-b2；当 b2 时，g（x）在1，2上是减函数， g（x）min=g（2）=4-4b+4=8-4b；对任意 x1（0，2） ，存在 x21， 2，使
9、f（x1）g（x2），只要 f（x）的最小值大于等于 g（x）的最小值即可，当 时 ，解不等式得 此时 b 无解当 时 ，解得综上所述，所以选 C【点睛】本题考查了全程命题与特称命题在函数中的综合应用，结合导数求函数的最值，分类讨论的综合应用，综合性强，属于难题。二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分。 ）13.某学生对函数 的性质进行研究，得出如下的结论：函数 在 上单调递增，在 上单调递减；点 是函数 图象的一个对称中心；函数 图象关于直线 对称；存在常数 ，使 对一切实数 均成立其中正确的结论是_(填写所有你认为正确结论的序号)【答案】页 7 第【解析】【分析】根
10、据函数的单调性与对称性，结合不等式综合判断各选项是否正确即可。【详解】f（x）=2xcosx 为奇函数，则函数 f（x）在-， 0，0，上单调性相同，所以错由于 f（0）=0，f（）=-2，所以错由 f（0）=0，f（2）=4，所以错 |f（x）|=|2xcosx|=|2x|cosx|2|x|，令 M=2，则|f（x）|M|x|对一切实数 x 均成立，所以正确综上所述，正确的为【点睛】本题考查了三角函数的综合应用，属于中档题。14.已知函数 且 ，其中 为奇函数， 为偶函数，若不等式 对任意恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由已知得 g（x）+h（x）=2 x，所以 g（x）+h（
11、x）=2x，又因为 g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，所以g（x）+h（x）=2 x，联立解得 , 代入不等式 3ag（x）+h（2x）0 得：a（2x2x）+ (22x+22x）0 在1，2上恒成立令 则 22x+22x=t2+2则原式可化为 3a（t+ ）， 恒成立显然当 t= 时，右式取得最大值为 ，即有 a 故答案为 ，+）点睛：本题考查了函数奇偶性性质和定义的应用以及不等式恒成立的处理问题，变量分离后转化为函数最页 8 第值问题来解的常规想法，属于基础题还有就是函数解析式的求法，此题应用了构造方程组的方法。15.函数 f(x)lg 为奇函数，则实数 a_ .【答案】【解析】因为函数
12、 f(x)lg 为奇函数，所以 f(x)f(x)，即 lg lg a1x 2(a2) 2a 2x2a1.故答案为-116.设 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根 ;q:方程 x2+2(m-2)x-3m+10=0 无实根,则使 pq 为真,pq 为假的实数 m 的取值范围是_ .【答案】(-,-2 -1,3)【解析】设方程 x2+2mx+1=0 的两根分别为 x1，x2，则 m-1，故 p 为真命题时，则 m 1由方程 x2+2(m 2)x 3m+10=0 无实根，可知 2=4(m 2)2 4( 3m+10)0，解得 2m3故当 q 为真命题时， 2m3由 pq 为真，pq 为假
13、可知命题 p，q 一真一假当 p 真 q 假时 ， 解得 m 2；当 p 假 q 真时 ， 解得 1m3，综上可得 故所求实数 m 的取值范围是 答案：点睛：根据命题的真假求参数的取值范围的方法(1)求出当命题 p，q 为真命题时所含参数的取值范围；(2)判断命题 p，q 的真假性；页 9 第(3)根据命题的真假情况， 利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分。 ）17.已知 是定义域为 的奇函数，且当 时， ，设 “ ”.（1）若 为真，求实数 的取值范围；（2）设 集合 与集合 的交集为 ，若 为假， 为真，求实数 的取值范围. 【答案】
14、 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）由已知可得，函数 为 上的奇函数、且为增函数，由命题 为真，则，所以 ，从而解得 ；（2）由集合，若 为真，则 ，因为“ 为假， 为真” 等价于“ 、一真一假”，因此若 真 假，则 ；若 假 真，则 .从而可得，实数 的取值范围是.试题解析：函数 是奇函数， ，当 时， ，函数 为 上的增函数， ， ， ， ，若 为真，则 ，解得（2） ，若 为真，则 ， 为假， 为真， 、 一真一假，若 真 假，则 ；若 假 真，则综上，实数 的取值范围是考点：1.函数性质的应用；2.命题的真假判断及其逻辑运算.18.已知 是奇函数，且其图象经过点 和 .页 1
15、0 第（1）求 的表达式；（2）判断并证明 在 上的单调性.【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数及过两个定点，代入即可求得 a、b、c 的值，进而求得函数解析式。（2）根据函数定义判断函数单调性即可。【详解】 （1） 是奇函数， ，即 ， .又 的图象经过点 和 ， 解得 ， .（2）任取 ，则有，. ， ， ， ， 上是减函数.【点睛】本题考查了函数解析式的求法，利用定义判断函数的单调性步骤，属于基础题。19. 的内角 的对边分别为 ,且 页 11 第(1)求角 的大小;(2)若 , 的面积 ,求 的周长【答案】(1) (2)【解析】试题分析：本题主要是考查
16、正、余弦定理 ，两角和的正弦公式及三角形面积公式的运用 。(1)由 ，根据 结合和角公式得到 ，化简即可得结论。(2)依题意得 ，求出后即可得到三角形的周长。试题解析：(1)因为 ,所以所以 ,所以 ,所以 ,又 ，所以 ,因为 ，所以 .(2)依题意得 ,所以 ,所以所以所以 ,即 的周长为20.设 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 ，当 时， .（1）求证： 是周期函数；页 12 第（2）当 时，求 的解析式；（3）计算 .【答案】 （1）见解析（2） （3）0【解析】试题分析：（1）对任意实数 ，恒有 得出 ，周期为 4， （2）任取 ，则 ，有 ，解出 （3）由（1）可知为一
17、个周期的函数值，和为 0，所以很容易得出做后结果 0.试题解析：（1）由 ， ， 是以 4 为周期为周期函数；（2）任取 ，则 ，有， ；（3） ， ，由（1）可知 为一个周期的函数值，和为 0，所以.点睛：本题是奇偶性周期性的综合，利用给出的等式结合奇偶性得出周期，对于这类型的问题利用周期性，主要解决一共包含几个周期，一个周期的和是多少，剩余哪些项可以利用周期求解.21.已知函数 为偶函数（1）求实数的值；（2）记集合 ， ，判断与 的关系；（3）当 时，若函数 的值域为 ，求 的值.【答案】 （1） ；（2）见解析；（3） .【解析】【分析】（1）根据函数为偶函数，利用定义即可求得 a 的
18、值。页 13 第（2）将 x 代入，即可求得集合 E；利用对数运算，化简 即可，进而判断 与集合 E 的关系。（3）根据函数的单调性和定义域，代入化简，解方程组即可求得 mn 的关系，进而解一元二次方程即可求得m 与 n 的值。【详解】 （1） 为偶函数， ，即 即： R 且 , （2）由（1）可知： 当 时， ；当 时， ， 而 = = ， . (3) ， 在 上单调递增. ， ，即 ，m,n 是方程 的两个根， 又由题意可知 ，且 ， .【点睛】本题考查了函数性质的简单应用，属于基础题。22.某公司研究开发了一种新产品，生产这种新产品的年固定成本为 150 万元，每生产 千件，需另投入成本
19、为(万元) ， .每件产品售价为 500 元.该新产品在市场上供不应求可全部卖完.（1）写出年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一新产品的生产中所获利润最大.页 14 第【答案】 （1） （2）当产量为 100 千件时，该公司在这一新产品生产中所获利润最大，最大利润为 1200 万元.【解析】试题分析：（1） （2）试题解析：解：（）因为每件商品售价为 500 元，则 千件商品销售额为 50 万元，依题意得当 时， =当 时，= .所以（）当 时，此时，当 千件时， 取得最大值 1050 万元. 当 时，此时，当 时，即 千件时 取得最大值 1200 万元.因为 ，所以当产量为 100 千件时，该公司在这一新产品生产中所获利润最大，最大利润为 1200 万元.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
