1、2018 届福建省宁德市高三下学期第二次（5 月）质量检查数学（文）试题（解析版）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合 ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先化简集合 B,再求 得解.详解：由题得 ，所以 .故答案为：C点睛：本题主要考查集合的化简和交集，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.2. 复数A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：利用复数的除法法则化简即得解.详解：由题得 .故答案为：A点睛：本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对这些知识的掌握能力.3. 下图是具有相关关系
2、的两个变量的一组数据的散点图和回归直线，若去掉一个点使得余下的 个点所对应的数据的相关系数最大，则应当去掉的点是A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用相关系数的定义性质分析得解.详解：因为相关系数的绝对值越大，越接近 1，则说明两个变量的相关性越强.因为点 E 到 直线的距离最远，所以去掉点 E, 余下的 个点所对应的数据的相关系数最大 .点睛：本题主要考查回归直线和相关系数，相关系数的绝对值越大，越接近 1，则说明两个变量的相关性越强.4. 下列曲线中，既关于原点对称，又与直线 相切的曲线是A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：先利用函数的奇偶性排除 B,C，再求 D
3、 选项的切线方程得解.详解：因为曲线关于原点对称，所以函数是奇函数.对于选项 B,因为 ，所以它是偶函数，不是奇函数，故排除 B.对于选项C，由于函数的定义域为 ，定义域不关于原点对称，所以不是奇函数，故排除 C.对于选项 D,，设切点为 ，则 因为 ，所以 或 ，当时，切线方程为 .故答案为：D点睛：(1)本题主要考查函数的奇偶性和求曲线的切线方程，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)与曲线的切线有关（切点未知）的问题，一般先设切点 ，再利用导数的几何意义求切线的斜率，再根据切点在切线和曲线上，求出切点，最后写出切线的方程.5. 若 ， 满足约束条件 则 的最小值是A. B. C.
4、 D. 【答案】B【解析】分析：先作出不等式组对应的平面区域，再利用数形结合分析得到 的最小值.详解：不等式组对应的平面区域如图所示：因为 z=4x-y,所以 y=-4x-z，直线的纵截距为 -z,当直线经过点 C 时，纵截距-z 最大值时，z 最小.联立方程组 得 C .故 的最小值为 .故答案为：B点睛：(1)本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和数形结合的能力.(2) y=-4x-z，直线的纵截距为-z,当直线经过点 C 时，纵截距-z 最大值时，z 最小.不要理解为纵截距最小，则 z最小，一定看纵截距这个函数的单调性.对这一点，学生要理解掌握并灵活运用.6.
5、已知等差数列 满足 ， ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：先根据已知求出 或 ,再求 得解.详解：由题得 ， ，所以 或 ,当 时，当 时，故答案为：C点睛：(1)本题主要考查等差数列的基本量的计算和通项公式，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2) 等差数列 中，如果 ,则 ,注意这个性质的灵活运用.7. 如下图所示，网格纸上小正方形的边长为 ，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先通过三视图找到几何体原图，进一步求出几何体的表面积详解：根据三视图，该几何体是边长为 2 的正方体，在右前方切
6、去一个边长为 1 的正方体，则表面积没有变化故 S=622=24故答案为：B点睛：（1）本题主要考查三视图和几何体的表面积的计算,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象能力. (2)得到几何体原图后，逐一计算出表面积也可以，但是观察到，虽然是正方体切去了一个小正方体，但是几何体的表面积没有变，提高了解题效率，意在考查学生的空间想象能力和观察能力.8. 将周期为 的函数 的图象向右平移 个单位后，所得的函数解析式为A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先化简 f(x),再求出 w 的值，再求平移后的函数解析式得解.详解：由题得 ，因为函数的周期是 所以 所以 .将函数 f(x)
7、向右平移 个单位后，所得的函数解析式为 ,故答案为：A点睛：(1)本题主要考查三角函数解析式的求法，考查函数图像的变换，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2) 把函数 的图像向右平移 个单位，得到函数 的图像, 把函数 的图像向左平移 个单位，得到函数 的图像,简记为“左加右减 ”.9. 过抛物线 的焦点 作一倾斜角为 的直线交抛物线于 ， 两点（ 点在 轴上方） ，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：设 先求出 的关系，再求 的值得解.详解：设 由题得由题得 ，所以所以 .故答案为：C10. 已知 若函数 只有一个零点，则实数 的值为A. B. C. D. 【答案】B【解
8、析】分析:先求出分段函数的每一段的单调性，从而得到函数的单调性，再利用函数的单调性转化为只有一个解,最后利用二次函数的图像性质得解.详解:由题得函数在 都是增函数,由于-1+1=ln(-1+2)=0,所以 是单调增函数,因为函数 只有一个零点，所以 只有一个零点 ,因为 是单调增函数,所以 只有一个解,所以 只有一个解 .所以故答案为：B点睛：解答本题关键有两点，其一是分析出函数的单调性，先利用复合函数的单调性得到函数在 都是增函数,再根据端点值得到函数 是单调增函数,其二是将命题转化为 只有一个解.对于函数的零点问题常用的是图像法.11. 将一个内角为 且边长为 的菱形沿着较短的对角线折成一
9、个二面角为 的空间四边形，则此空间四边形的外接球的半径为A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析: 首先把平面图形转换为空间图形，进一步利用球的中心和勾股定理的应用求出结果详解: 如图所示：菱形 ABCD 的A=60，沿 BC 折叠，得到上图，则 E、F 分别是ABC 和BCD 的中心，球心 O 为ABC 和BCD 的过中心的垂线的交点，则：OE=OF=1，EC=2，利用勾股定理得：故答案为：D点睛: (1)本题主要考查空间几何体的外接球问题，考查二面角，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及空间想象能力. (2)解答本题的关键是找到球心,由于 E、 F 分别是ABC 和BCD 的中心，
10、所以球心 O 为ABC 和BCD 的过中心的垂线的交点.12. 记 为数列 的前 项和，满足 ， ，若 对任意的 恒成立，则实数 的最小值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：根据数列a n求解 Sn，利用不等式的性质求解详解：由 a1= ，2an+1+3Sn=3（nN*），则 2an+3Sn1=3两式相减，可得 2an+12an+3an=0，即 a1= ， an= =32n那么 Sn= =1 Sn 要使 对任意的 nN*恒成立根据勾勾函数的性质，当 Sn= 时， 取得最大值为实数 M 的最小值为 故答案为：C点睛：（1）本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式，
11、意在考查了学生对这些基础知识的掌握能力及推理能力与计算能力 （2）解答本题的一个关键是求 的范围，由于 Sn=1 ，所以奇数项都大于 1，单调递减，偶数项都小于 1，单调递增.所以 最大， 最小.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知两个单位向量， ，且 ，则， 的夹角为_【答案】【解析】分析：直接把 两边平方，再展开即得 的夹角.详解：由题得故 的夹角为 .故答案为：点睛：本题主要考查向量的数量积及向量的运算，考查向量的夹角，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及基本的运算能力.14. 已知点 是以 ， 为焦点的双曲线 上的一点，且 ，则 的周长为_【答案
12、】【解析】分析：根据题意，由双曲线的标准方程可得 a、b 的值，由双曲线的定义可得|PF 1|PF2|=2a=2，又由|PF 1|=3|PF2|，计算可得|PF 1|=3，|PF2|=1，又由|F 1F2|=2c=2 ，由三角形的周长公式计算可得答案详解：根据题意，双曲线 C 的方程为 x2y2=1，则 a=1，b=1，则 c= ，则|PF 1|PF2|=2a=2，又由|PF 1|=3|PF2|，则|PF 1|=3，|PF2|=1，又由 c= ，则|F 1F2|=2c=2 ，则PF 1F2 的周长 l=|PF1|+|PF2|+|F1F2|=4+2 ；故答案为：4+2点睛：(1)本题主要考查双曲
13、线的简单几何性质，考查双曲线的定义,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力. (2)在圆锥曲线种，只要看到焦半径就要联想到曲线的定义分析解答，这是一个解题技巧，学生要掌握.15. 我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在张丘建算经中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为 ， ， ，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组 的解其解题过程可用框图表示如下图所示，则框图中正整数的值为 _【答案】4【解析】分析：由 得 y=25 x，结合 x=4t，可得框
14、图中正整数 m 的值详解：由 得：y=25 x，故 x 必为 4 的倍数，当 x=4t 时，y=257t，由 y=257t0 得：t 的最大值为 3，故判断框应填入的是 t4？，即 m=4，故答案为：4点睛: 本题考查的知识点是程序框图，根据已知分析出 y 与 t 的关系式及 t 的取值范围，是解答的关键16. 已知定义在 上的函数 满足 且 ，若 恒成立，则实数的取值范围为_【答案】【解析】分析：求出 f（x）的解析式为 f（x）=e x，结合函数图象即可得出 a 的范围详解： 0，f（x）为增函数，f（f（x）ex）=1，存在唯一一个常数 x0，使得 f（x 0）=1，f（x）ex=x0，
15、即 f（x）=e x+x0，令 x=x0 可得 +x0=1，x0=0，故而 f（x）=e x，f（x）ax+a 恒成立，即 exa（x+1）恒成立y=ex 的函数图象在直线 y=a（x+1）上方，不妨设直线 y=k（x+1）与 y=ex 的图象相切，切点为（x 0，y0），则 ，解得 k=1当 0a1 时，y=e x 的函数图象在直线 y=a（x+1）上方，即 f（x）ax+a 恒成立，：故答案为：0，1点睛：本题解答的关键有两个，其一是根据已知条件求出 f（x）=ex，其二是数形结合分析 exa（x+1）恒成立重点考查学生的分析推理能力和数形结合的能力.三、解答题：本大题共 6 小题，满分
16、70 分解答须写出文字说明证明过程和演算步骤17. 的内角 ， ， 的对边分别为， ， ，且 （1 ）求角 的大小；（2 ）若 ，求 边上高 的长【答案】 （1） ；（2）【解析】分析：（1）先利用正弦定理边化角得到 ，求出 A 的大小.(2)先利用余弦定理求 c，再利用直角三角函数求 边上高 的长详解：（1）由正弦定理有， ，（2）由余弦定理有：， 或 （舍去）点睛：（1）本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析转化能力.(2)数学的解题必须严谨，在得到 后，不能简单两边同时除以 sinC,必须说明 ，才能同时除以 sinC.在有的地方容易出错.18
17、. 为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源租赁汽车” 每次租车收费的标准由两部分组成：里程计费：1 元/公里； 时间计费： 元/分已知陈先生的家离上班公司 公里，每天上、下班租用该款汽车各一次一次路上开车所用的时间记为（分） ，现统计了 50 次路上开车所用时间，在各时间段内频数分布情况如下表所示将各时间段发生的频率视为概率，一次路上开车所用的时间视为用车时间，范围为 分（1）估计陈先生一次租用新能源租赁汽车所用的时间不低于 分钟的概率；（2 ）若公司每月发放 元的交通补助费用，请估计是否足够让陈先生一个月上下班租用新能源租赁汽车（每月按 天计算） ，并说明理由 .（同一时段
18、，用该区间的中点值作代表）【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】分析：（1）利用对立事件的概率公式求陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于 30 分钟的概率.(2)比较每个月的费用和 元的大小，即得解 .详解：（1）设“陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于 30 分钟”的事件为则所求的概率为 所以陈先生一次租用新能源租赁汽车的时间不低于 30 分钟的概率为 . （2）每次开车所用的平均时间为 每次租用新能源租赁汽车的平均费用为 每个月的费用为 ， 因此公车补贴够上下班租用新能源分时租赁汽车.点睛：本题主要考查对立事件的概率，考查平均值的计算等知识，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及
19、分析能力.19. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， .（1 ）求证： ；（2 ）若 ， ， 为 的中点 （i）过点 作一直线与 平行，在图中画出直线并说明理由；（ii）求平面 将三棱锥 分成的两部分体积的比【答案】 （1）见解析；（2）见解析，【解析】分析: (1) 取 中点 ,连接 , ,先证明 面 ,再证明 .(2) (i)取 中点 ,连接, ,则 ， 即为所作直线,证明四边形 为平行四边形即得证. （ii）先分别计算出两部分的体积，再求它们的比.详解：（1）证明：(1)取 中点 ,连接 , , 为 中点， 又 , 为 中点，又 ， 面 又 面 ，(2)(i)取 中点 ,连接 , ,则 ，
20、 即为所作直线,理由如下: 在 中 、 分别为 、 中点,且 又 , 且 ， 四边形 为平行四边形. (ii) , , ， 面 又在 中, , ,又 ,面， .：（1）本题主要考查空间平行垂直位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.（2）对于空间平行垂直位置关系的证明有几何法和向量法两种方法，空间几何体体积的计算有公式法、割补法和体积变换法三种方法.20. 已知椭圆 的离心率为 ，四个顶点所围成的四边形的面积为 （1 ）求椭圆 的方程；（2 ）已知点 ，斜率为 的直线交椭圆 于 ， 两点，求 面积的最大值，并求此时直线的方程【答案】 （
21、1） ；（2） 或【解析】分析：（1）根据已知列出方程组解方程组即得椭圆 的方程.(2) 设直线的方程为 ,再求 面积的最大值得到 t 的值，即得直线的方程.详解：（1） , ,又 ,联立得 椭圆方程为 （2）由（1）得椭圆方程为 ,依题意,设直线的方程为 , ,点 到直线 的距离为 ,联立 可得 ,显然 , , 当且仅当 时,即 时取等号, , 此时直线的方程为 或 点睛：（1）本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理能力和计算能力. (2)解答本题的关键是得到 后如何求函数的最大值，本题是利用基本不等式求的最大值,简洁明了,解
22、题效率高.21. 已知函数 （1 ）讨论 的单调性；（2 ）若函数 有三个零点，证明：当 时， 【答案】 （1）见解析；（2）见解析【解析】分析：（1）先求导，再对 a 分类讨论得到 的单调性.(2)先转化函数 有三个零点得到，再利用分析法和导数证明 .详解：(1) 令 ,则 或 ,当 时, , 在 上是增函数； 当 时,令 ,得 , ,所以 在 , 上是增函数；令 ,得 ,所以 在 上是减函数当 时,令 ,得 , ,所以 在 , 上是增函数；令 ,得 ,所以 在 上是减函数综上所述：当 时, 在 上是增函数；当 时, 在 , 上是增函数,在 上是减函数.当 时, 在 , 上是增函数,在 上是
23、减函数 .（2）由(1)可知：当 时, 在 上是增函数， 函数 不可能有三个零点；当 时, 在 , 上是增函数,在 上是减函数 .的极小值为 ， 函数 不可能有三个零点当 时, ,要满足 有三个零点,则需 ,即 当 时 ,要证明： 等价于要证明即要证： 由于 ,故等价于证明： ,证明如下：构造函数令, 函数 在 单调递增, 函数 在 单调递增, 22. 在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为，曲线 的参数方程为 （为参数） （1 ）求曲线 的直角坐标方程和曲线 的极坐标方程；（2 ）当变化时设 的交点 的轨迹为 ，若过原点 ，倾斜角为 的直线与
24、曲线 交于点 ，求的值【答案】 （1） ， ；（2）1【解析】分析：（1）直接代极坐标公式化极坐标为直角坐标，利用三角恒等式消参得到 的直角坐标方程，再化为极坐标方程.(2)利用直线参数方程 t 的几何意义求求 的值.详解：（1）由 ： ，得 ，即 ， 曲线 化为一般方程为： ，即 ， 化为极坐标方程为： （2）由 及 ，消去 ，得曲线 的直角坐标方程为 设直线的参数方程为 （为参数） ，与 联立得 ，即 ，故 ， ， 点睛：（1）本题主要考查直角坐标、极坐标和参数方程的互化，考查直线参数方程 t 的几何意义，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及运算能力. (2) 直线参数方程中参数的几何意
25、义是这样的：如果点 在定点 的上方，则点 对应的参数 就表示点 到点 的距离 ,即 .如果点 在定点 的下方，则点 对应的参数 就表示点 到点 的距离 的相反数，即 .（2）由 直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上 两点间的距离 ,不管 两点在哪里，总有 .23. 已知实数 x, y 满足 .（1 ）解关于 x 的不等式 ；（2 ）若 ，证明：【答案】 （1） ；（2）9【解析】分析：（1）先消去 y，再利用零点分类讨论法解绝对值不等式 .(2)利用基本不等式证明 .详解：（1），当 时，原不等式化为 ，解得 ， ； 当 时，原不等式化为 ， ；当 时，原不等式化为 ，解得 ， ；综上，不等式的解集为 （2） 且 ，. 当且仅当 时，取“=”.点睛：（1）本题主要考查零点讨论法解绝对值不等式，考查不等式的证明，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分类讨论能力.(2)第（2）的关键是常量代换， ，常量代换之后才方便利用基本不等式证明.
