1、第三章 3.2 第 5 课时一、选择题1已知向量 n(2,0,1) 为平面 的法向量，点 A(1,2,1)在 内，则 P(1,2,2)到 的距离为( )A. B.55 5C2 D.5510答案 A解析 (2,0,3)， 点 P 到平面 的距离为 d .PA |PA n|n| | 4 3|5 552已知长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，棱 A1A5，AB 12，那么直线 B1C1 到平面A1BCD1 的距离是( )A5 B. 132C. D86013答案 C解析 解法一：B 1C1BC，且 B1C1平面 A1BCD1，BC平面 A1BCD1，B 1C1平面 A1BCD1.从而点 B1 到平
2、面 A1BCD1 的距离即为所求过点 B1 作 B1EA 1B 于 E 点BC平面 A1ABB1，且 B1E平面 A1ABB1，BCB 1E.又 BCA 1BB，B 1E平面 A1BCD1，在 Rt A1B1B 中，B1E ，A1B1B1BA1B 51252 122 6013因此直线 B1C1 和平面 A1BCD1 的距离为 .6013解法二：以 D 为原点， 、 、 的方向为 x、y 、z 轴正方向建立空间直角坐标系，DA DC DD1 则 C(0,12,0)、D 1(0,0,5)，设 B(x,12,0)、B 1(x,12,5) ( x0)，设平面 A1BCD1 的法向量 n( a，b，c
3、)，由 n ，n 得BC CD1 n (a，b，c )(x, 0,0)ax0，a0，BC n ( a，b，c)(0，12,5)12b5c0，CD1 b c，可取 n(0,5,12)， (0,0，5) ，512 B1B B 1 到平面 A1BCD1 的距离 d .|B1B n|n| 60133正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，则平面 AB1D1 与平面 BDC1 的距离为( )A. B. 2 3C. D.23 33答案 D解析 以 A 为原点， AB、AD、AA 1 分别为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)、D(0,1,0)、C 1(1,1,1)、B
4、 1(1,0,1)、D 1(0,1,1)设平面 AB1D1 的法向量为 n(x，y ，z )，则Error!，Error!，令 z1，则 n(1,1 ，1)，显然 n 0，n 0，BD BC1 n 也是平面 BDC1 的法向量，平面 AB1D1 平面 BDC1，其距离为 d .|AB n|n| 334正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 a，点 M 在 AC1 上且 ，N 为 BB1 的中点，AMMC1 12则|MN |的长为 ( )A. a B. a216 66C. a D. a156 153答案 A解析 设 a， b， c，则| a|b| |c| a，a bbcca 0，A1B1
5、A1D1 A1A 由条件知， MN AN AM ( )12AB AB1 13AC1 ( ) ( )12AB AB AA1 13AA1 A1B1 A1D1 (2ac) (c ab) a b c，12 13 23 13 16| |2 2 (2ab c)2MN (23a 13b 16c) 19 12 (4|a|2|b| 2 |c|24ab 2acbc)19 14 ，| | a.21a236 MN 216二、填空题5等腰 RtABC 斜边 BC 上的高 AD1，以 AD 为折痕将ABD 与ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出以下结论：BDAC；BAC60；异面直线 AB 与 CD 之间的距离为
6、 ；22点 D 到平面 ABC 的距离为 ；33直线 AC 与平面 ABD 所成的角为 45.其中正确结论的序号是_答案 解析 AD BD，ADCD，平面 ABD平面 ACD， BDC90，BD平面ACD，BDAC，正确；又知 ADBD CD1， ABC 为正三角形，BAC60 ，正确；ABC 边长为 ，.S ABC ，由 VABDC V DABC 得232( 11)1 h，h ，故正确；CD平面 ABD，CAD 为直线13 12 13 32 33AC 与平面 ABD 所成的角，易知CAD45，故正确；以 D 为原点，DB 、DC、DA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，易知
7、A(0,0,1)、B(1,0,0)、C(0,1,0)， (1,0 ，1)、 (0,1，1) 、 (0,1,0)，设 n (x，y，z)，由AB AC DC n 0，n 0 得 xz0，y0，令 z1 得 n(1,0,1)，异面直线 AB 与 DC 之间AB DC 的距离 d ，故正确|AC n|n| 226平行六面体 ABCDA 1B1C1D1 中，AB1，AD2，AA 13，BAD120，BAA 1DAA 160，则 AC1 的长为_答案 21解析 ，AC1 AB AD AA1 | |2( )2.AC1 AB AD AA1 2 2 22 2 2 AB AD AA1 AB AD AB AA1
8、AD AA1 1 22 23 22| | |cos ， 2| | |cos ， AB AD AB AD AB AA1 AB AA1 2| | |cos ， 14212cos1202 13cos60223cos60AD AA1 AD AA1 21，| | ，即 AC1 .AC1 21 21三、解答题7三棱柱 ABCA 1B1C1 是各条棱长均为 a 的正三棱柱，D 是侧棱 CC1 的中点(1)求证：平面 AB1D平面 ABB1A1；(2)求点 C 到平面 AB1D 的距离解析 (1)证明：如图所示，取 AB1 中点 M，则 DM DC ，又 .CA AM DM DC1 C1B1 B1M 2 .D
9、M CA C1B1 CA CB 2 ( ) 0,2 ( )( )| |2| |20，DM AA1 CA CB AA1 DM AB CA CB CB CA CB CA DM AA1，DMAB.DM平面 ABB1A1.DM 平面 AB1D，平面 AB1D平面 ABB1A1.(2)解：A 1BDM，A 1BAB 1.A 1B平面 AB1D. 是平面 AB1D 的一个法向量A1B 点 C 到平面 AB1D 的距离为d |AC A1B |A1B | |AC A1A AB |2a a.|AC AB |2a12a22a 248.如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截得到的，其
10、中AB 4，BC2 ，CC 13，BE1，AEC 1F 为平行四边形(1)求 BF 的长；(2)求点 C 到平面 AEC1F 的距离解析 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0,0,0)、B(2,4,0)、A(2,0,0)、C(0,4,0) 、E(2,4,1)、C 1(0,4,3)，设 F(0,0，z) 四边形 AEC1F 为平行四边形，由 得， (2,0，z )( 2,0,2)，AF EC1 z2.F(0,0,2) (2，4,2)BF 于是| |2 .即 BF 的长为 2 .BF 6 6(2)设 n1 为平面 AEC1F 的法向量，显然 n1 不垂直于平面 ADF，故可设 n1(x，
11、y,1)，Error!，Error!，即Error!，Error!.又 (0,0,3)，设 与 n1 的夹角为 ，则 cos CC1 CC1 CC1 n1|CC1 |n1|331 116 1.43333C 到平面 AEC1F 的距离为d| |cos3 .CC1 43333 43311一、选择题1已知向量 n(1,0，1)与平面 垂直，且 经过点 A(2,3,1)，则点 P(4,3,2)到 的距离为( )A. B.32 22C. D.2322答案 B解析 (2,0，1)，又 n 与 垂直，所以 P 到 的距离为PA ，故选 B.| 2，0， 11，0， 1|12 12 222正方体 ABCDA
12、1B1C1D1 的棱长为 1，O 是 A1C1 的中点，则 O 到平面 ABC1D1 的距离为( )A. B. 32 24C. D.12 33答案 B解析 以 、 、 为正交基底建立空间直角坐标系，则DA DC DD1 A1(1,0,1)、C 1(0,1,1)， ，平面 ABC1D1 的C1O 12C1A1 (12， 12，0)法向量 (1,0,1) ，点 O 到平面 ABC1D1 的距离DA1 d .|DA1 C1O |DA1 |122 243二面角 l 等于 120，A、B 是棱 l 上两点，AC、BD 分别在半平面 、 内，ACl，BD l，且 ABACBD 1，则 CD 的长等于( )
13、A. B.2 3C2 D. 5答案 C解析 如图二面角 l 等于 120， 与 夹角为 60.CA BD 由题设知， ， ，| | | |1，| |2| |2| |2|CA AB AB BD AB AC BD CD CA AB BD CA |2| |22 2 2 32cos604，| |2.AB BD CA AB AB BD CA BD CD 4在棱长为 a 的正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，M 是 AA1 的中点，则点 A1 到平面 MBD的距离是( )A. a B. a66 306C. a D. a34 63答案 A解析 如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系，正方体棱长为 a，则
14、 A1(a,0，a)、 A(a,0,0)、M( a,0， a)、B (a，a,0)、D(0，0,0)，12设 n(x，y，z )为平面 BMD 的法向量，则 n 0，且 n 0，BM DM 而 (0 ，a， a)， (a,0， a)，BM 12 DM 12所以Error!，所以Error!，令 z2，则 n (1,1,2)， (a,0，a)，DA1 则 A1 到平面 BDM 的距离是 d a.|DA n|n| 66二、填空题5在正三棱柱 ABCA 1B1C1 中，所有棱长均为 1，则点 B1 到平面 ABC1 的距离为_答案217解析 解法一：建立如图所示的空间直角坐标系，则 C(0,0,0)
15、、A 、B(0,1,0)、(32，12，0)B1(0,1,1)、C 1(0,0,1)，则 、 (0,1,0)、 (0,1 ，1)，C1A ( 32，12， 1) C1B1 C1B 设平面 ABC1 的法向量为 n (x，y,1)，则有Error!，解得 n ，(33，1，1)则 d .|C1B1 n|n| |113 1 1 217解法二：VB 1ABC1VABB 1C1，VABB1C1 SBB 1C1 AB ，13 32 312又VB 1ABC1 SABC 1h，SABC 1 AB ，13 12 172 174h .2176在底面是直角梯形的四棱锥 PABCD 中，侧棱 PA底面ABCD， B
16、CAD，ABC 90 ，PAABBC2，AD 1，则 AD 到平面 PBC 的距离为_答案 2解析 由已知 AB、AD、AP 两两垂直以 A 为坐标原点 AB、AD、AP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)、B (2,0,0)、C(2,2,0)、P(0,0,2)， (2,0 ，2)PB (0,2,0)，设平面 PBC 的法向量为 n( a，b，c)，则Error!，BC n(1,0,1)，又 (2,0,0) ，AB d .|AB n|n| 2三、解答题7.如图所示，已知边长为 4 的正三角形 ABC 中，E、F 分别为 BC 和 AC 的中点，2PA 平面 A
17、BC，且 PA2，设平面 过 PF 且与 AE 平行，求 AE 与平面 间的距离解析 设 、 、 的单位向量分别为 e1、e 2、e 3，选取e 1，e 2，e 3作为空间向量AP AE EC 的一组基底，易知e1e2e 2e3e 3e10，2e 1， 2 e2， 2 e3，AP AE 6 EC 2 PF PA AF PA 12AC ( )2e 1 e2 e3，PA 12AE EC 6 2设 nxe 1ye 2e 3是平面 的一个法向量，则 n ，n ，Error!，AE PF 即Error!，Error!，Error!.n e1e 3.22直线 AE 与平面 间的距离为d .|AP n|n|2e122e1 e3| 22e1|2 |e3|2 2338如图，已知直四棱柱 ABCDABC D中，四边形 ABCD 为正方形，AA 2AB2，E 为棱 CC 的中点(1)求证：AE平面 BDE；(2)设 F 为 AD 中点，G 为棱 BB上一点，且 BG BB，求证：FG 平面 BDE.14证明 (1)以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DD 所在直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A(1,0,2)、E(0,1,1)、F( ，0,0)、G (1,1， )、B(1,1,0) 、12 12D(0,0,0)，
