2018年安徽省合肥市高三第一次教学质量检测数学文试题（PDF版）.rar

高三数学试题（文科）答案 第1 页（共4页） 合肥市2018年高三第一次教学质量检测 数学试题（文科）参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C A C D A C D C A C D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 1 14. 12− 15. 62 16. 32327 p 三、解答题： 17.（Ⅰ）根据正弦定理，由 2coscoscoscosbCaBbAB=+ 可得 ( )( )2sincossincossincoscoscossincossincoscossinBCABBABBABBABAB=+=⋅+=+， 即sincoscossinBCBC= ，故 ( )sin0BC−=，由 ( ),0,BC p∈ 得 ( ),BC pp−∈− ， 故BC= ，所以 ABC∆ 是等腰三角形； ……6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知bc= ，22222227cos2228bcabaAbabcb+−−===⇒= . 又因为 ABC∆ 的周长为 55abca++==，得 1a = ， 2b = . ……10分 故 ABC∆ 的面积211715sin2212 84SbcA ==×××−= ． ……12分 （也可通过求出等腰三角形底边上的高计算面积） 18.（Ⅰ）由表可知，该商场使用移动支付的顾客的比例为105718012= ， 若当天该商场有12000人购物，则估计该商场要准备环保购物袋12000 7 700012×= 个； ……5分 （Ⅱ）按年龄分层抽样时，抽样比例为45301515 15:17+++ = ，所以应从[20，30）内抽取3人，从[30，40）内抽取2人，从[40，50）内抽取1人，从[50，60）内抽取1人. ……7分 记选出年龄在[20，30）的3人为 , , ABC，其他4人为abcd，，， ，7个人中选取2人赠送额外礼品，有以下情况： ABACAaAbAcAd，，，，，， BCBaBbBcBd，，，， ， CaCbCcCd，，， ， abacad，，， bcbd， ， cd . 高三数学试题（文科）答案 第2 页（共4页） 共有21种不同的情况，其中获得额外礼品的2人都在[20，30）的情况有3种，……10分 所以，获得额外礼品的2人年龄都在[20，30)内的概率为 31217= . ……12分 19.（Ⅰ）证明：设AC与BD交于点N ，则N 为AC的中点， ∴ //MNEC . ∵ ,M EFCECEFC⊄⊂平面平面, ∴ //MNEFC平面 . ……3分 Q BF ⊥平面ABCD，DE ⊥平面ABCD,且BFDE= ， ∴ //BFDE， ∴BDEF为平行四边形， //BDEF∴ . ,B EFCEFEFC⊄⊂Q 平面平面 ， ∴ //BDEFC平面 . 又 MNBDN∩=Q ， ∴平面BDM ∥平面EFC . ……6分 （Ⅱ）连接ENFN， .在正方形ABCD中，ACBD⊥ , 又Q BF ⊥平面ABCD，∴ BFAC⊥ . Q BFBDB∩=， ∴平面BDEF，且垂足为N ， ……9分 ∴ ACEFV − = 11122223323NEFACS⋅⋅=××××=V ， ∴三棱锥ACEF− 的体积为23 . ……12分 注：第（Ⅱ）题用补体法求解，应相应给分. 20.（Ⅰ）由抛物线定义知，点P到抛物线E的准线的距离为5. Q抛物线E的准线为 2py =− ，∴ 452p+=, ……3分 解得 2p = ，∴抛物线的方程为 2 4xy= ……5分 （Ⅱ）由已知得，直线 1 :1lykx=+. 由 2 14ykxxy=+ =消去y得 2 440xkx−−=， 这时， ( )21610k∆=+恒成立， ( ) ( )222||116141ABkkk=++=+. ……7分 同理，直线 2 :1lykx=−，由 2 14ykxxy=− =消去y得 2 440xkx−+=， 由 ( )21610k∆=−得 2 1k ， ( ) ( )( )2222||1161411CDkkkk=+−=+−， 又Q直线 12,ll间的距离221dk=+， NA BC D EFM 高三数学试题（文科）答案 第3 页（共4页） 则四边形ABDC的面积 ( )12SdABCD=⋅⋅+=( )22411kk++−. ……10分 解方程 ( ) ( )22411431kk++−=+得， 2k 有唯一实数解2（满足大于1）， ∴满足条件的k的值为 2± . ……12分 21.（Ⅰ） ()fx的定义域为(0,)+∞ ，222(1)1()(1)xaxfxxx+−+′ =+ . ……1分 考虑 2 2(1)10yxaxx=+−+， . ①当 0∆≤ ，即02a≤≤时， ()0fx′ ≥ 恒成立， ()fx在(0,)+∞ 上单调递增； ……3分 ②当 0∆ ，即 2a 或 0a 恒成立，此时 ()fx在(0,+∞)上单调递增； 若 2a ，则 2212120aaaaaa−+−−−−， 此时 2()0012fxxaaa′ ⇒−+−; 22()01212fxaaaxaaa′ 时， ()fx的单调递增区间为 ( )22(012)12aaaaaa−−−−+−+∞，，，单调递减区间为 22(1212)aaaaaa−−−−+−， . ……6分 （Ⅱ）当 1a = 时， 1() 2xfx +≤ 1()02xfx +⇔−≤. 令 1()() 2xgxfx +=− 21ln 12xx x +=+−+ , ……7分 322221212(1)(2)().(1)22(1)2(1)xxxxxgxx x xx−−−−++′ =−−==+++ 当1x 时， ()0gx′ ， ……10分 ()gx∴ 在(0 1)， 上单调递增，在(1,)+∞ 上单调递减，即当 1x = 时， ()gx取得最大值， ……11分 故 ( )()10gxg≤=，即 1() 2xfx +≤ 成立，得证. ……12分 22.（Ⅰ）由 2cos0rq− ＝ 得： 2 2cos0rrq− ＝ . 因为 222cosxyxrrq=+=， ，所以 2220xyx+−=， 即曲线 2C 的普通方程为 22(1)1xy−+=． ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，圆 2C 的圆心为 2C (1 0)， ，半径为1. 设曲线 1C 上的动点 (3cos 2sin)M qq， ， 由动点N 在圆 2C 上可得： min2min||||1MNMC=−. ……6分 高三数学试题（文科）答案 第4 页（共4页） 2222||(3cos1)4sin5cos6cos5MC qqqq=−+=−+Q ……8分 当 3cos 5q=时， 2min 45|| 5MC = ， min2min45 ||||115MNMC∴=−=−. ……10分 23.（Ⅰ） ()()1121211fxfxxx−+≤⇔−−+≤， ……1分 1221211xxx ≥⇔−−−≤或112212211xxx−−++ 即可. ……6分 由于 ()2121122112212xxxxxx−++=−++≥−++=， ……8分 当且仅当()()12210xx−+≥，即当 11,22x∈−时等号成立，故 2m. 所以，m的取值范围是()2, +∞ ． ……10分 1 合肥市2018年高三第一次教学质量检测 数学试题(文科) (考试时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)已知集合 1{|}2MxRx=∈= − +≤， ；，则 [(1)]ff = A. 12− B.2 C.4 D.11 (3)已知i为虚数单位，则( )( )2342iii+−=− A.5 B.5i C. 71255i−− D. 71255i−+ (4)已知等差数列 }{ na ，若 102 =a ， 15 =a ，则 }{ na 的前7项的和等于 A.112 B.51 C.28 D.18 (5)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是 A. 114 B. 112 C. 17 D. 16 (6)函数 ( )ln2yx=−的大致图像为 21122 2-1 132112 21-1A． B． 43211232 2 4 6-1 121122 2-1 1C． D． (7)执行下列程序框图，若输入的n等于10，则输出的结果是 A.2 B. 3− C. 12− D.13 2 (8)将函数 cossinyxx=−的图像先向右平移 ( )0jj 个单位，再将图像上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到 cos2sin2yxx=+的图像，则 aj， 的可能取值为 A. 22 apj ==， B. 3 28 apj ==， C. 3182apj ==， D. 122apj ==， (9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 A.518p + B.618p + C.86p + D.106p + (10)已知数列 }{ na 的前n项和为 nS ，若 naS nn 323 −= ，则 2018a = A. 201821− B. 201836− C.20181722 − D.201811033 − (11)已知直线210xy−+=与曲线 xyaex=+相切，其中e为自然对数的底数，则实数 a的值是 A.e B.2e C.1 D.2 (12)如图，椭圆222 14xya +=的焦点为 21 , FF ，过 1F 的直线交椭圆于MN， 两点，交y 轴于点H .若 1,FH是线段MN的三等分点，则 2FMN∆ 的周长为 A.20 B.10 C. 52 D. 54 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置. (13)若实数xy， 满足0100xyxyy−≥+−≥ ≥，则 2zxy=+ 的最小值为__________． (14)已知平面向量abrr， 满足||1 ||2 ||3abab==+=rrrr，， ，则ar在br方向上的投影等于 . (15)若双曲线 ( )2222100xy abab−=， 的一条渐近线被圆22650xyx+−+=所截得的弦的长为 2，则该双曲线的离心率等于 . (16)如图，已知平面四边形ABCD满足 2ABAD==， 6090AC∠=°∠=°， ，将 ABD∆沿对角线BD翻折，使平面ABD ⊥平面CBD，则四面体ABCD外接球的体积为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分) 在 ABC∆ 中，角ABC， ， 所对的边分别为abc，， ， 2coscoscoscosbCaBbAB=+ . (Ⅰ)求证： ABC∆ 是等腰三角形； (Ⅱ)若 7cos 8A = ，且 ABC∆ 的周长为5，求 ABC∆ 的面积． 3 (18)(本小题满分12分) 一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况.调查人员从年龄在[20，60]内的顾客中，随机抽取了180人，调查结果如下表： 年龄(岁) 类型 [ )2030 ， [ )3040 ， [ )4050 ， [ ]5060 ， 使用 45人 30人 15人 15人 未使用 0人 10人 20人 45人 (Ⅰ)为推广移动支付，商场准备对使用移动支付的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该商场预计有12000人购物，试根据上述数据估计，该商场当天应准备多少个环保购物袋？ (Ⅱ)某机构从被调查的使用移动支付的顾客中，按分层抽样的方式抽取7人作跟踪调查，并给其中2人赠送额外礼品，求获得额外礼品的2人年龄都在[20，30)内的概率． (19)(本小题满分12分) 如图，在多面体ABCDEF 中， ABCD是正方形，BF ⊥平面ABCD，DE ⊥平面ABCD，BFDE= ，点 M 为棱AE的中点. (Ⅰ)求证：平面BDM ∥平面EFC； (Ⅱ)若 12ABBF==， ，求三棱锥ACEF− 的体积. (20)(本小题满分12分) 已知抛物线 2 2(0)Expyp=： 上一点P的纵坐标为4，且点P到焦点F 的距离为5. (Ⅰ)求抛物线E的方程； (Ⅱ)设斜率为k的两条平行直线 12 ll， 分别经过点F 和(0 1)H −， ，如图. 1l 与抛物线E交于AB、 两点， 2l 与抛物线E交于CD、 两点.问：是否存在实数k，使得四边形ABDC的面积为434+ ？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． (21)(本小题满分12分) 已知函数 2()ln()1afxxaRx=+∈+ ． (Ⅰ)求函数 ()yfx= 的单调区间； (Ⅱ)当 1a = 时，求证： 1() 2xfx +≤ ． 4 请考生在第(22)、(23)题中任意选择一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号后的方框涂黑. (22)(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，曲线 1 3cos: 2sinxC y qq= =(q为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 2 :2cos0C rq−＝ . (Ⅰ)求曲线 2C 的普通方程； (Ⅱ)若曲线 1C 上有一动点M ，曲线 2C 上有一动点N ，求||MN 的最小值. (23)(本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) 21fxx=−． (Ⅰ)解关于x的不等式 ( ) ( )11fxfx−+≤； (Ⅱ)若关于x的不等式 ( ) ( )1fxmfx−+的解集不是空集，求m的取值范围.