1、行程问题、相遇问题和追及问题的解题技巧 一、行程问题、相遇问题和追及问题的核心公式： 行程问题最核心的公式“速度=路程时间” 。由此可以演变为相遇问题和追及问题。其中： 相遇时间=相遇距离速度和， 追及时间=追及距离速度差。 速度和=快速+慢速 速度差= 快速-慢速二、相遇距离、追及距离、速度和（差）及相遇（追及）时间的确定 第一：相遇时间和追及时间是指甲乙在完成相遇（追及）任务时共同走的时间。 第二：在甲乙同时走时，它们之间的距离才是相遇距离（追及距离）分为： 相遇距离甲与乙在相同时间内走的距离 之和；S=S1+S2甲 S1 S2 乙 A C B 追及距离甲与乙在相同时间内走的距离 之差甲
2、S1 乙 S2 A B C 在相同时间内 S 甲=AC ， S 乙=BC 距离差 AB =S 甲- S 乙第三： 在甲乙同时走之前，不管是甲乙谁先走，走的方向如何？走的距离是多少？都不影响相遇时间和追及时间，只是引起相遇距离和追及距离的变化，具体变化都应视情况从开始相距的距离中加减。简单的有以下几种情况：三、例题： （一）相遇问题 （1）A、B 两地相距 1000 千米，甲车从 A 地开出，每小时行 120 千米，乙车从 B 地开出，每小时走 80 千米。若两车从 A、B 两地同时开出，相向而行，T 小时相遇， 则可列方程为 T =1000/ （120+80） 。 甲 S1 S2 乙 A C
3、B 解析一： 此题为相遇问题； 甲乙共同走的时间为 T 小时；甲乙在同时走时相距 1000 千米，也就是说甲乙相遇的距离为 1000 千米； 利用公式：相遇时间=相遇距离速度和 根据等量关系列等式 T =1000/（120+80）解析二： 甲乙相距的距离是由甲乙在相同的时间内共同走完的。相距的距离=甲车走的距离+乙车走的距离 根据等量关系列等式 1000=120*T+80*T （2）A、B 两地相距 1000 千米，甲车从 A 地开出，每小时行 120 千米，乙车从 B 地开出，每小时走 80 千米。若甲车先从 A 地向 B 开出 30 分钟后，甲乙两车再相向而行，T 小时相遇， 则可列方程为
4、 1000-120*30/60=（120+80）*T 甲 S1 乙 A C D B解析一： 此题为相遇问题； 甲乙共同走的时间为 T 小时；由于甲车先向乙走 30 分钟，使甲乙间的实际距离变短，甲乙在同时走时实际相距（1000-120*30/60）千米，也就是说甲乙相遇的距离实为 940 千米； 利用公式：相遇时间=相遇距离速度和 根据等量关系列等式 T=（1000-120*30/60）/（120+80）解析二： 甲车先走 20 分钟到 C 点，这时甲乙两车实际相距距离 CB 为（1000-120*30/60）千米，CB间的距离是由甲乙在相同的时间内共同走完的。相遇距离=（开始两车相距的距离-
5、甲车先走的距离） ，相遇距离=（甲车的速度+乙车的速度）*T （1000-120*30/60）=（120+80）*T （3）A、B 两地相距 1000 千米，甲车从 A 地开出，每小时行 120 千米，乙车从 B 地开出，每小时走 80 千米。若乙车先从 B 地向 A 开出 20 分钟后，甲乙两车再相向而行，T 小时相遇，则可列方程为 1000-120*20/60=（120+80）*T 甲 相遇 乙乙先走 乙 A D C B 5 解析一： 此题为相遇问题； 甲乙共同走的时间为 T 小时； 甲乙在同时走时相距 AC（1000-120*20/60）千米，也就是说甲乙相遇的距离实为 960 千米；
6、利用公式：相遇时间=相遇距离速度和 根据等量关系列等式 T=（1000-120*20/60）/（120+80） （4）A、B 两地相距 1000 千米，甲车从 A 地开出，每小时行 120 千米，乙车从 B 地开出，每小时走 80 千米。若甲车先从 A 地背向 B 开出 10 分钟后到 C（或乙车先从 B 地背向 A开出 10 分钟后到 D） ，甲乙两车再相向而行， T 小时相遇，则可列方程为T=（1000+120*10/60 ）/（120+80） 甲 乙 C A B D 解析一： 此题为相遇问题； 甲乙共同走的时间为 T 小时；由于甲车先背向乙走了 10 分钟，使甲乙间的实际距离变长，甲乙在
7、同时向相而行时实际相距（1000+120*10/60）千米，也就是说甲乙相遇的距离实为 1020 千米； 利用公式：相遇时间=相遇距离速度和 根据等量关系列等式 T=（1000+120*10/60）/（120+80） 解析二： 乙车先背向甲而行同甲5）A、B 两地相距 1000 千米，甲车从 A 地开出，每小时行 120 千米，乙车从 B 地开出，每小时走 80 千米。若甲车先从 A 背向乙走 10 分钟到 C，乙车也从 B 背向甲走 30 分钟到D 后，甲乙两车再相向而行， T 小时相遇， 则可列方程为 T=（1000+120*10/60+80*30/60）/ （120+80） 甲 乙 C
8、A B D 解析一此题为相遇问题； 甲乙共同走的时间为 T 小时；由于甲乙两车先分别背向而行走了 10 分钟和 30 分钟，使甲乙间的实际距离变长，甲乙在同时走时实际相距（1000+120*10/60+80*30/60）千米，也就是说甲乙相遇的距离实为 CD=1060 千米； 利用公式：相遇时间=相遇距离速度和 根据等量关系列等式 T=（1000+120*10/60+80*30/60）/ （120+80 ） 归纳总结：不管甲乙两车在同时走之前谁先行（或同时行） ， 只要是相向而行，就会造成实际相遇距离变短，在确定相遇距离时，需用原始相距距离减去某车先行距离；只要是相背而行，就会造成实际相遇距离
9、变长，在确定相遇距离时，需用原始相距距离加上某车先行距离；二）追及问题 （1）A、B 两地相距 1000 千米，甲车从 A 地开出，每小时行 120 千米，乙车从 B 地开出，每小时走 80 千米。若甲乙两车同时开出，同向而行，甲（快车）在乙（慢车）后面，T 小时后快车追上乙车，可列方程为 T=1000/ （120-80） 解析一： 甲 S1 乙 A B C 此题为追及问题； 甲乙共同走的时间为 T 小时； 在甲乙同时走时相距 1000 千米，也就是说甲乙追及的距离为 1000 千米； 利用公式：追及时间=追及距离速度差。 根据等量关系列等式 T=1000/（120-80）解析二： 甲乙在同时
10、出发前相距 1000 千米为甲追上乙多走的距离，应确定为追及距离 甲每小时比乙多走了（120-80）千米， 求追及时间，实际上是求 1000 千米中有 T 个（120-80） （2）若甲乙两车同时从 A 地出发，甲车的速度为每小时行 120 千米，乙车的速度为每小时走 80 千米。乙（慢车）在（甲）快车后面，同向而行，T 小时后甲与乙相距 900 千米，则可列方程为 T=900/（120-80） 解析一： 此题为追及问题； 甲乙共同走的时间为 T 小时； 由于甲乙速度不同，造成甲乙经 T 小时后相距 900 千米，也就是说甲乙追及的距离为900 千米； 利用公式：追及时间=追及距离速度差。利用
11、公式：追及时间=追及距离速度差。 根据等量关系列等式 T=900/（120-80） （3）若甲乙两车在长方形的跑道上同时从 A 地同向而行，甲车的速度为每小时行 120 千米，乙车的速度为每小时走 80 千米。已知长方形跑道的周长为 500 千米，T 小时后甲与乙相遇，则可列方程为 T=500/（120-80）解析一： 此题为追及问题； 甲乙共同走的时间为 T 小时； A由于甲乙速度不同，只有甲经 T 小时多走一圈后才能追上乙，也就是说甲乙追及的距离为长方形的周长 500 千米； 利用公式：追及时间=追及距离速度差。 根据等量关系列等式 T=500/（120-80） （4）甲乙同时从 A 地以
12、 40 千米/小时速度同向出发，15 分钟后，甲车因油量不足以 90 千米/小时需返回到 A 地加油，乙车继续原速前行，甲车在 A 地加油用了 10 分钟，随后甲车又以 90 千米/小时速度用了 T 小时追上乙车，可列方程为： 甲乙 S1 乙 S2 A B C解析一： 此题为追及问题； 甲追乙共同走的时间为 T 小时； 由于甲乙同行 15 分钟产生距离 AB=40*（15/60 ） ，甲在返回 A 地所用时间 40*（15/60）/90 小时和加油时间（10/60）小时乙车在依然前行，前行的距离为 BC=40*【40*（15/60） /90+10/60】千米；则甲车追乙车实际距离为 AC=40
13、*（15/60）+40*【40*（15/60）/90+10/60】 甲乙两车的速度差为（90-40）千米/小时 利用公式：追及时间=追及距离速度差。 根据等量关系列等式 T=40* （15/60 ）+40*【40*（15/60 /90+10/60 】 / （90-40 ） 归纳总结：解追及问题的关键也在于确定追及时间和追及距离，具体同相遇问题。 相遇问题：同时出发，相向而行。 追击问题：同时出发，同向而行速度和相遇时间= 总路程。 速度差 追击时间= 路程差设路程为 L，速度为 V1,V2,时间为 t，则：相遇：t=L/(V1+V2) 追及：t=L/(V1-V2)不必死记公式，只要理解了，随时
14、可以列方程求解行程问题解析在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题;二、追及问题; 三、相离问题; 四、过桥问题等。行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人(或事物)的数量和运动方向上。相遇(相离) 问题和追及问题当中参与者必须是两个人(或事物) 以上; 如果它们的运动方向相反，则为相遇(相离) 问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。相遇问题两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。这类问题即为相遇问题。相遇问题的模型为：甲
15、从 A 地到 B 地，乙从 B 地到 A 地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了 A、B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么：A，B 两地的路程=(甲的速度+乙的速度)相遇时间= 速度和相遇时间基本公式有：两地距离=速度和相遇时间相遇时间=两地距离 速度和速度和=两地距离相遇时间二次相遇问题的模型为：甲从 A 地出发，乙从 B 地出发相向而行，两人在C 地相遇，相遇后甲继续走到 B 地后返回，乙继续走到 A 地后返回，第二次在D 地相遇。则有：第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。相遇问题的核心是“速度和”问题。利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解
16、题。相离问题两个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离(速度和)。基本公式有：两地距离=速度和相离时间相离时间=两地距离 速度和速度和=两地距离相离时间相遇(相离 )问题的基本数量关系： 速度和相遇 (相离)时间=相遇(相离)路程在相遇(相离) 问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。追及问题两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。有
17、时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。基本公式有：追及(或领先 )的路程 速度差=追及时间速度差追及时间=追及(或领先)的路程追及(或领先 )的路程 追及时间=速度差要正确解答有关“行程问题”，必须弄清物体运动的具体情况。如：运动的方向(相向、相背、同向)，出发的时间(同时、不同时)，出发的地点(同地、不同地)、运动的路线(封闭、不封闭)，运动的结果(相遇、相距多少、追及)
