1、章末总结知识点一 空间向量的计算空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展，主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算，是用向量法求解立体几何问题的基础【例 1】沿着正四面体 OABC 的三条棱 、 、 的方向有大小等于 1、2 和 3 的AOB OC 三个力 f1，f 2，f 3.试求此三个力的合力 f 的大小以及此合力与三条棱夹角的余弦值知识点二 证明平行、垂直关系空间图形中的平行、垂直问题是立体几何当中最重要的问题之一，利用空间向量证明平行和垂直问题，主要是运用直线的方向向量和平面的法向量，借助空间中已有的一些关于平行和垂直的定理，再通过向量运算来解决例 2 如
2、图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M、N 分别为 AB、B 1C 的中点(1)用向量法证明平面 A1BD 平面 B1CD1；(2)用向量法证明 MN面 A1BD.例 3 如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，P 是侧棱 CC1 上的一点，CPm.试确定 m 使得直线 AP 与平面 BDD1B1 所成的角为 60.例 4 正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 BB1、CD 的中点，求证：平面 AED平面 A1FD1.知识点三 空间向量与空间角求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角，一般有两种方法：即几何法和向量法，几何法求角时，需要先作出(或
3、证出) 所求空间角的平面角，费时费力，难度很大而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量即可求解，体现了向量法极大的优越性例 5 如图所示，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB5，AD8，AA 14，M 为 B1C1 上一点且 B1M2，点 N 在线段 A1D 上，A 1DAN .(1)cos ， ；AAM (2)求直线 AD 与平面 ANM 所成角的余弦值；(3)求平面 ANM 与平面 ABCD 所成角的余弦值知识点四 空间向量与空间距离近年来，对距离的考查主要体现在两点间的距离和点到平面的距离，两点间的距离可以直接代入向量模的公式求解，点面距可以借助直线的方向向量与平面的法
4、向量求解，或者利用等积求高的方法求解例 6 如图，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形，PA AD 2，M、N 分别是 AB、PC的中点(1)求二面角 PCDB 的大小；(2)求证：平面 MND平面 PCD；(3)求点 P 到平面 MND 的距离章末总结重点解读例 1 解 如图所示，用 a，b，c 分别代表棱 、 、 上的三个单位向量，OA OB OC 则 f1a，f 22b，f 33c，则 ff 1f 2f 3a2b3c，|f| 2(a2b3c)(a2b3c)|a |2 4|b|29|c| 24ab6ac12bc144cos 606cos 6012 cos 601423625，|f
5、|5，即所求合力的大小为 5.且 cosf ，a fa|f|a| |a|2 2ab 3ac5 ，1 1 325 710同理可得：cosf，b ，cosf ，c .45 910例 2 证明 (1)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中， ， ，BD AD AB B1D1 A1D1 A1B1 又 ， ，AD A1D1 AB A1B1 .BDB 1D1.BD B1D1 同理可证 A1BD 1C，又 BDA1BB，B 1D1D1CD 1，所以平面 A1BD平面 B1CD1.(2) MN MB BC CN ( )12AB AD 12CB CC1 ( )12AB AD 12 AD AA1 .12AB 12
6、AD 12AA1 设 a， b， c，AB AD AA1 则 (abc)MN 12又 ba，BD AD AB (abc)(ba)MN BD 12 (b2a 2cbca)12又A 1AAD ，A 1AAB，cb0，ca0.又|b |a|，b 2a 2，b 2 a20. 0，MNBD .MN BD 同理可证，MNA 1B，又 A1BBDB，MN平面 A1BD.例 3 解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)，B(1,1,0) ，P (0,1，m )，C(0,1,0)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，D 1(0,0,1)则 ( 1，1,0) ，BD (0,0,1)，BB1 (1,
7、1，m)，AP (1,1,0)AC 又由 0， 0 知， 为平面 BB1D1D 的一个法向量AC BD AC BB1 AC 设 AP 与平面 BB1D1D 所成的角为 ，则 sin |cos ， |AP AC .22 m2 2依题意得 sin 60 ，22 2m2 2 32解得 m .33故当 m 时，直线 AP 与平面 BDD1B1 所成角为 60.33例 4 证明 如图，建立空间直角坐标系 Dxyz.设正方体棱长为 1，则 E 、D 1(0,0,1)、(1，1，12)F 、A (1,0,0)(0，12，0) (1,0,0) ， ，DA D1A1 DE (1，1，12) .D1F (0，12
8、， 1)设 m(x 1，y 1，z 1)，n(x 2，y 2，z 2)分别是平面 AED 和 A1FD1 的一个法向量Error!.令 y11，得 m(0,1 ，2)又由 Error!，令 z21，得 n(0,2,1) mn(0,1 ，2)(0,2,1)0 ，m n，故平面 AED平面 A1FD1.例 5 解 (1)建立空间直角坐标系( 如图)则 A(0,0,0)，A 1(0,0,4)，D(0,8,0)，M (5,2,4) (5,2,4)，AM (0,8，4)A1D 016160，AM A1D .AM A1D cos ， 0.A1D AM (2)A 1DAM，A 1DAN，且 AMANA， 平
9、面 ANM，A1D (0,8，4)是平面 ANM 的一个法向量A1D 又 (0,8,0)， | |4 ，| |8，AD A1D 5 AD 64，A1D AD cos ， .A1D AD 64458 25 255AD 与平面 ANM 所成角的余弦值为 .55(3)平面 ANM 的法向量是 (0,8 ，4)，A1D 平面 ABCD 的法向量是 a(0,0,1)，cos ，a .A1D 445 55平面 ANM 与平面 ABCD 所成角的余弦值为 .55例 6 (1)解 PA平面 ABCD，由 ABCD 是正方形知 ADCD .CD面 PAD，PD CD.PDA 是二面角 PCDB 的平面角PAAD
10、 ，PDA45，即二面角 PCDB 的大小为 45.(2)如图，建立空间直角坐标系，则 P(0,0,2)，D (0,2,0)，C(2,2,0)，M (1,0,0)，N 是 PC 的中点，N(1,1,1) ， (0,1,1)， (1,1， 1)，MN ND (0,2，2)PD 设平面 MND 的一个法向量为 m(x 1，y 1，z 1)，平面 PCD 的一个法向量为n(x 2，y 2，z 2)m 0，m 0，MN ND 即有Error!令 z11，得 x12，y 11.m(2，1,1)同理，由 n 0，n 0，ND PD 即有Error!令 z21，得 x20，y 21，n(0,1,1)mn20(1)1110，m n.平面 MND平面 PCD.(3)设 P 到平面 MND 的距离为 d.由(2)知平面 MND 的法向量 m( 2，1,1)， m(0,2 ， 2)(2，1,1)4，PD | m|4，PD 又|m | ， 22 12 12 6d .46 263即点 P 到平面 MND 的距离为 .263
