1、13.2 含有一个量词的命题的否定学习目标 1.通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定知识链接你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？(1)所有矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)xR，x 22x10.答：(1)存在一个矩形不是平行四边形；(2)存在一个素数不是奇数；(3)x 0R，x 2x 011，使 x22x 3 0；(2)p：有的实数没有平方根；(3)p：我们班上有的学生不会用电脑解 (1) 綈
2、 p：x1，x 22x30.(2) 綈 p：所有的实数都有平方根(3) 綈 p：我们班上所有的学生都会用电脑规律方法 存在性命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词即 p：xM ，p(x )成立綈 p：x M ，綈 p(x)成立跟踪演练 2 写出下列存在性命题的否定：(1)p：x 0R，x 2x 020；20(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：有一个素数含三个正因数解 (1) 綈 p：xR，x 22x20.(2) 綈 p：所有的三角形都不是等边三角形(3) 綈 p：每一个素数都不含三个正因数要点三 存在性命题、全称命题的综合应用例 3 已知函数 f(x)4x 2
3、2(p2) x2p 2p1 在区间 1,1上至少存在一个实数 c，使得f(c)0.求实数 p 的取值范围解 如图，在区间1,1 中至少存在一个实数 c，使得 f(c)0 的否定是在1,1上的所有实数 x，都有f(x)0 恒成立又由二次函数的图象特征可知，Error! 即Error!即Error!p 或 p3.32故 p 的取值范围是 .( 3，32)规律方法 通常对于“至多” “至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免烦杂的运算跟踪演练 3 若xR ，f (x)( a21) x是单调减函数，则 a 的取值范围是_答案 ( ，1)(1 ，
4、)2 2解析 依题意有：00 x N *，(x1) 20xR，lg x 0 恒成立，故是真命题；中命题是全称命题，当x1 时，(x1) 20，故是假命题；中命题是存在性命题，当 x1 时，lg x0，故是真命题；中命题是存在性命题，依据正切函数定义，可知是真命题4命题“零向量与任意向量共线”的否定为_答案 有的向量与零向量不共线解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线” ，是全称命题，其否定为存在性命题：“有的向量与零向量不共线” 对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为
5、恰当的全称量词(3)否定结论：原命题中的“是” “有” “存在” “成立”等改为 “不是” “没有” “不存在”“不成立”等(4)无量词的全称命题要先补回量词再否定一、基础达标1下列命题中，不是全称命题的是_abba；xR,2x1 是奇数；若 sin x ，则 x30 ；12平行四边形的对角线互相平分答案 解析 是存在性命题2下列全称命题中真命题的个数为_末位是 0 的整数，可以被 2 整除；角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；正四面体中两侧面的夹角相等答案 3解析 为真命题；由角平分线的性质知是真命题；是真命题3下列存在性命题是假命题的是_有些不相似的三角形面积相等；存在一个实数 x，使
6、 x2x10；存在实数 a，使函数 yaxb 的值随 x 的增大而增大； 有一个实数的倒数是它本身答案 解析 对于任意的 xR ，x 2x1(x )2 0 恒成立12 344命题“一次函数都是单调函数”的否定是_答案 有些一次函数不是单调函数解析 命题的否定只对结论进行否定， “都是”的否定是“不都是” ，即“有些” 5命题“对任意 xR ，都有 x20”的否定为_答案 存在 xR ，使得 x20解析 全称命题的否定是存在性命题6已知命题 p：“a1”是“x0，x 2”的充要条件，命题 q：xR ，x 2x10.则ax下列结论中正确的是_命题“pq”是真命题 命题“p綈 q”是真命题 命题“綈
7、 pq”是真命题 命题“綈 p綈 q”是假命题答案 解析 a1x x 2 2，ax 1x x1x显然 a2 时也能推出“x0，x 2”成立，ax所以“a1”是“x0，x 2”的充分不必要条件，ax故 p 是假命题，而 q 是真命题，故正确7判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为 180；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形解 (1)是全称命题且为真命题命题的否定：三角形的内角和不全为 180，即存在一个三角形其内角和不等于 180.(2)是全称命题且为假命题命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下(3)是存在性命题且为真命题命题的
8、否定：任意一个四边形都是平行四边形二、能力提升8命题“对任意 xR ，| x2| |x4|3”的否定是_答案 存在 xR ，使得| x2|x4| 3解析 由定义知命题的否定为“存在 xR ，使得|x2| | x4| 3” 9已知命题 q：“三角形有且仅有一个外接圆”则綈 q 为“_” 答案 存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆解析 全称命题的否定是存在性命题10已知 p(x)：x 22xm0，如果 p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数 m 的取值范围是_答案 3,8)解析 因为 p(1)是假命题，所以 12m 0，解得 m3.又因为 p(2)是真命题，所以 44m 0，解得
9、 m0 或 xb0” ，其中 a、b 是常数(1)写出命题 p 的否定；(2)当 a、b 满足什么条件时，命题 p 的否定为真？解 (1)命题 p 的否定：对任意实数 x，有 xa0 且 x b0.(2)要使命题 p 的否定为真，需要使不等式组Error!的解集不为空集，通过画数轴可看出，a、b 应满足的条件是 b0 成立”为真，试求参数 a 的取值范围解 由已知得綈 p：x1,2，x 22ax2a0 成立设 f(x)x 22ax 2a，则 Error!Error!解得 a3，綈 p 为假，a3，即 a 的取值范围是( 3，)三、探究与创新13已知命题 p：xR, 4x2 x1 m 0，若綈 p 是假命题，求实数 m 的取值范围解 綈 p 是假命题，p 是真命题也就是xR，有 m(4 x2 x1 )，令 f(x)(4 x2 x1 )(2 x1) 21，对任意 xR，f (x)1.m 的取值范围是 m1.
