1、高二数学教案主备人 授课人 授课日期课题 S11-1.3 全称量词与存在量词（二）量词否定 课型 新授教学目标：利用日常生活中的例子和数学的命题介绍对量词命题的否定，使学生进一步理解全称量词、存在量词的作用.教学重点：全称量词与存在量词命题间的转化；教学难点：隐蔽性否定命题的确定；课 型：新授课教学手段：多媒体教学过程 备课札记一、创设情境数学命题中出现“全部”、 “所有” 、 “一切”、 “任何”、 “任意”、 “每一个 ”等与“存在着” 、 “有” 、 “有些”、 “某个” 、 “至少有一个” 等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ”与“ ”来表示） ；由这样的
2、量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。在全称命题与存在性命题的逻辑关系中， 都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症,pq结所在。二、活动尝试问题 1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数；（3）xR，x 2-2x+10分析：（1） ，否定：存在一个矩形不是平行四边形；M,p(x),()（2） ，否定：存在一个素数不是奇数；,() xM,p()（3） ，否定：xR，x 2-2x+10；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析： ,()UUAB()UUAB四
3、、数学理论1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题 P： xM,有 P（x）成立；其否定命题P 为：xM,使 P（x）不成立。存在性命题 P：xM，使 P（x ）成立；其否定命题P 为： xM,有 P（x）不成立。用符号语言表示：P:M, p(x）否定为 P: M, P（x）P:M, p(x）否定为 P: M, P（x）在具体操作中就是从命题 P 把全称性的量词改成存在性的量词，存在性的量词改成全称性的量词，并把量词作用范围进行否定。即须遵循下面法则：否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定.2.关键量词的否定词语 是 一定是 都是 大于 小于 且词语的否定 不是一
4、定不是 不都是小于或等于大于或等于 或词语 必有一 个 至少有 n 个 至多有 一个 所有 x 成立 所有 x 不成立词语的否定一个也没有至多有n-1 个至少有两个存在一个x 不成立存在有一个成立五、巩固运用例 1 写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p：xR，x 2x+1 0；（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p： xR， x2 x+10；分析：（1） P：有的人不晨练；（ 2） xR，x 2x +10；（3）存在平行四边形，它的的对边不相等；（4）xR，x 2x+1 0；例 2 写出下列命题的否定。（1） 所有自然数的平方是正数。 （2） 任何实数 x 都是方程 5x
5、-12=0 的根。 （3） 对任意实数 x，存在实数 y，使 x+y0. （4） 有些质数是奇数。 解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。 （2）的否定：存在实数 x 不是方程 5x-12=0 的根。 （3）的否定：存在实数 x,对所有实数 y，有 x+y0。 （4）的否定：所有的质数都不是奇数。 解题中会遇到省略了“所有，任何，任意 ”等量词的简化形式，如 “若x3，则 x29”。在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。 例 3 写出下列命题的否定。 （1） 若 x24 则 x2.。 （2） 若 m0,则 x2+x-m=0 有实数
6、根。 （3） 可以被 5 整除的整数，末位是 0。 （4） 被 8 整除的数能被 4 整除。 （5） 若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 解（1）否定：存在实数 ，虽然满足 4 ，但 2。或者说：存在小0x20x0于或等于 2 的数 ，满足 4 。 （完整表达为对任意的实数 x, 若 x24 2则 x2）（2）否定：虽然实数 m0,但存在一个 ，使 + -m=0 无实数根。0x20x（原意表达：对任意实数 m,若 m0,则 x2+x-m=0 有实数根。 ）（3）否定：存在一个可以被 5 整除的整数，其末位不是 0。（4）否定：存在一个数能被 8 整除，但不能被 4 整除.(原意表达为所有
7、能被 8 整除的数都能被 4 整除)（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。 （原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。 ）例 4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。 （1）p：若 xy, 则 5x5y；（2）p：若 x2+x2,则 x2-x2；（3）p：正方形的四条边相等；（4）p：已知 a,b 为实数，若 x2+ax+b0 有非空实解集，则 a2-4b0。解：（1） P：若 xy，则 5x5y； 假命题否命题：若 xy，则 5x5y；真命题（2） P：若 x2+x2，则 x2-x2；真命题否命题：若 x2+x2，则
8、x2-x2） ；假命题。（3） P：存在一个四边形，尽管它是正方形，然而四条边中至少有两条边不相等；假命题。 否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。假命题。（4） P：存在两个实数 a,b，虽然满足 x2+ax+b0 有非空实解集，但使 a2-4b0。假命题。否命题：已知 a,b 为实数，若 x2+ax+b0 没有非空实解集，则 a2-4b0。真命题。评注：命题的否定与否命题是完全不同的概念。其理由：1任何命题均有否定，无论是真命题还是假命题；而否命题仅针对命题“若 P 则 q”提出来的。2命题的否定（非）是原命题的矛盾命题，两者的真假性必然是一真一假，一假一真；而否命题与原命题
9、可能是同真同假，也可能是一真一假。3 原命题“若 P 则 q” 的形式，它的非命题 “若 p，则 q”；而它的否命题为 “若p，则q” ，既否定条件又否定结论。六、回顾反思在教学中，务必理清各类型命题形式结构、性质关系，才能真正准确地完整地表达出命题的否定，才能避犯逻辑性错误，才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上，达到培养和发展学生的逻辑思维能力。七、课后练习1命题 p：存在实数 m，使方程 x2mx10 有实数根，则“非 p”形式的命题是（ ）A.存在实数 m，使得方程 x2mx10 无实根；B.不存在实数 m，使得方程 x2mx10 有实根；C.对任意的实数 m，使得方程 x2mx10 有
10、实根；D.至多有一个实数 m，使得方程 x2mx10 有实根；2命题“xR，x 2-x+30”的否定是 3 “末位数字是 0 或 5 的整数能被 5 整除”的否定形式是 否命题是 4写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）p：mR，方程 x2+x-m=0 必有实根； （2）q：R，使得 x2+x+10； 5写出下列命题的“非 P”命题，并判断其真假：（1）若 m1，则方程 x2-2x+m=0 有实数根（2）平方和为 0 的两个实数都为 0（3）若 是锐角三角形， 则 的任何一个内角是锐角ABCABC（4）若 abc=0，则 a,b,c 中至少有一为 0（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则 x1,x2八、参考答案：1 B2 xR，x 2-x+303否定形式：末位数是 0 或 5 的整数，不能被 5 整除否命题：末位数不是 0 且不是 5 的整数，不能被 5 整除4 （1）p：mR，方程 x2+x-m=0 无实根；真命题。（2）q：R，使得 x2+x+10；真命题。5 若 m1，则方程 x2-2x+m=0 无实数根，(真)；平方和为 0 的两个实数不都为 0(假)；若 是锐角三角形， 则 的任何一个内角不都是锐角(假) ；ABCABC若 abc=0，则 a,b,c 中没有一个为 0(假) ；若(x-1)(x-2)=0，则 或 ，(真) 1x2
