1、初三数学复习 数与式第一课时 实数的有关概念【知识要点】（一）实数的有关概念（1）实数的分类当然还可以分为：正实数、零、负实数。有理数还可以分为：正有理数，零，负有理数（2）数轴：数轴是研究实数的重要工具，是在数与式的学习中，实现数形结合的载体，数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，实数与数轴上的点是一一对应的，我们还可以利用这种一、一对应关系来比较两个实数的大小。（3）绝对值绝 对 值 的 代 数 意 义 ： |()a0绝对值的几何意义：一个数的绝对值是这个数在数轴上的对应点到原点的距离。（4）相反数、倒数实 数 的 相 反 数 记 为 ， 非 零 实 数 的 倒 数 记 为 ， 零 没 有
2、 倒 数 。aaa1a若 a、b 两个数为互为相反数，则 a+b=0。若 m、n 两个数互为倒数，则 mn=1。（5）三种非负数： |()aa， ， 都 表 示 非 负 数 。20“几个非负数的和等于零，则必定每个非负数都同时为零”的结论常用于化简，求值。（6）平方根、算术平方根、立方根的概念。如果一个数的平方等于 a，这个数就叫做 a 的平方根一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根a(a0)的平方根记作 一个正数 a 的正的平方根，无 限 不 循 环 小 数无 理 数 负 分 数正 分 数分 数 负 整 数零正 整 数整 数有 理 数实 数叫做
3、a 的算术平方根a(a0)的算术平方根记作 （7）科学计数法、有效数字和近似值的概念。1.近似数： 一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位2.有效数字： 一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字3.科学记数法： 把一个数用 (1 10，n 为整数) 的形式记数的方法叫科学记数法【典型例题：】P2 例 1、(2012 贵州六盘水，5，3 分)数字 2， 13， ， 38， cos45， 0.32中无理数的个数是 （ ）A1 B2 C3 D4点评：此题主要考查了无理数的定义，其中：（1）有理数都可以化为小数，其中整数可以看
4、作小数点后面是零的小数，例如 5=5.0；分数都可以化为有限小数或无限循环小数（2）无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数（3）有限小数和无限循环小数都可以化为分数，也就是说，一切有理数都可以用分数来表示；而无限不环小数不能化为分数，它是无理数P2 例 4、 （2012湖北省恩施市，题号 16 分值 4）观察下表：根据表中数的排列规律，B+D=_.例题补充、 （2012 河北省 17,3 分）17、某数学活动小组的 20 位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加 1，第 1 位同学报 1，第 2 位同学报 1，这样得到的 20 个数的积为_.
5、第二课时：实数的运算及比较大小【知识要点】一、实数的运算1.加法： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得 0；一个数同 0 相加，仍得这个数2.减法： 减去一个数等于加上这个数的相反数3.乘法： 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负几个数相乘，有一个因数为0，积就为04.除法： 除以一个数，等于乘上这个数的倒数两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数都得05.乘方与开方(1)an
6、所表示的意义是 n 个 a 相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方(3)零指数与负指数二、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于 0，负数都小于 0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数 a、b，若 a-b0 ab； a-b=0 a=b； a-b0 a b.4.对于实数 a，b，c ，若 ab，bc，则 ac.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果 ab0，a 2b 2 则 ab ；或利用倒数转化：如比较 与
7、 .三、实数运算顺序加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算这三级运算的顺序是三、二、一如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算四、实数的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc【典型例题：】P3 例 3（2012 山东省聊城，10，3 分）如右图所示的数轴上，点 B 与点 C 关于点 A 对称，A、B 两点对应的实数是 和-1，则点 C 所对应的实数是（ ）A. 1+ 3 B. 2+ 3 C. 2 3-1 D. 2 3+1
8、P4 例 4(2012 广东汕头，21，7 分)观察下列等式：第 1 个等式：a 1= = （1 ） ；第 2 个等式：a 2= = （ ） ；第 3 个等式：a 3= = （ ） ；第 4 个等式：a 4= = （ ） ；请解答下列问题：（1）按以上规律列出第 5 个等式：a 5= = ；（2）用含有 n 的代数式表示第 n 个等式：a n= = （n 为正整数） ；（3）求 a1+a2+a3+a4+a100的值分析： （1） （2）观察知，找第一个等号后面的式子规律是关键：分子不变，为 1；分母是两个连续奇数的乘积，它们与式子序号之间的关系为 序号的 2 倍减 1 和序号的 2倍加 1 （
9、3）运用变化规律计算第三课时：整式与因式分解（1）：【整式知识梳理】代数式的分类1.整式有关概念（1）单项式：只含有 的积的代数式叫做单项式。单项式中_叫做这个单项式的系数；单项式中_叫做这个单项式的次数；（2）多项式：几个 的和，叫做多项式。_ 叫做常数项。多项式中_的次数，就是这个多项式的次数。多项式中_的个数，就是这个多项式的项数。2.同类项、合并同类项（1）同类项：_ 叫做同类项；（2）合并同类项：_ 叫做合并同类项；（3）合并同类项法则： （4）去括号法则：括号前是“”号，_ 括号前是“”号，_ （5）添括号法则：添括号后，括号前是“+”号，插到括号里的各项的符号都 ；括号前是“”号
10、，括到括号里的各项的符号都 。3.整式的运算（1）整式的加减法：运算实质上就是合并同类项，遇到括号要先去括号。（2）整式的乘除法：4.幂的运算：同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。即： （ , 都是正整数） 。nma幂的乘方，底数不变，指数相乘。即： （ , 都是正整数） 。nma积的乘方等于每一个因数乘方的积。即： （ 是正整数）b同底数幂相除，底数不变，指数相减。即： （ ） ， nm， （ ）0ap是 正 整 数pa,05、整式的乘法：（1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。（2）单项式乘以多项式： 。（3）乘法公式：平方差：
11、 。完全平方公式： 。6.整式的除法：（1）单项式相除：把它们的系数、相同字母分别相除，作为商的因式；对于无 理 式 分 式 多 项 式单 项 式整 式有 理 式代 数 式只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式，相同字母相除要用到同底数幂的运算性质。（2）多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加7.代数式的化简求值含有绝对值的代数式的化简，通常可利用数轴的直观性；整式的化简求值常常要灵活运用配方法、换元法、整体代换思想和构造思想；分式的化简求值一般可对分子、分母的多项式因式分解、约分。再运用分式的性质化简计算；二次根式的化简求值一般应先考虑能否利
12、用二次根式的性质，配方法、乘法公式等化简计算。（2） 【因式分解知识梳理】1分解因式：把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式2分解困式的方法：提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法运用公式法：平方差公式: ；完全平方公式: ；3分解因式的步骤：（1）分解 因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法 分解（2）在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式；若是三项，可考虑用完全平方公式；若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。
13、【典型例题：】P6例4、分解因式（x-1） 2-2（x-1）+1 的结果是（ ）A （x-1） （x-2） Bx 2 C （x+1） 2 D （x-2） 2 P6 例 5( 2012 年浙江省宁波市,20,6)同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1） 第 5 个图形有多少颗黑色棋子？（2） 第几个图形有 2013 颗棋子？说明理由。第 1个第 2个第 3个第 4个第四课时 分式【整式知识梳理】1分式有关概念（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。对于一个分式来说：当_时分式有意义。当_时分式没有意义。只有在同时满足_，且_这两个条件时，分式的值才是零。（2）最简分式：一个分式的分子与分
14、母_时，叫做最简分式。（3）约分：把一个分式的分子与分母的_约去，叫做分式的约分。将一个分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母_，然后约去分子与分母的_。（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与_相等的_的分式叫做分式的通分。通分的关键是确定几个分式的_ 。（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：当分母是多项式时，一般应先 ；如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；若分母的系数是负数，一般先把“”号提到分式本身的前边。2分式性质：（1
15、）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的值 （2）符号法则：_ 、_ 与_的符号， 改变其中任何两个，分式的值不变。即：3.分式的运算： 注意：为运算简便， 若分式的分子与分母的各项系数是分数或小数时，一般要化为整数。若分式的分子与分母的最高次项系数是负数时，一般要化为正数。（1）分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减， ，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先 ，化为 的分式，然后再按 进行计算（2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_做积的分子，_做积的分母，公式：_；分式除以分式，把除式的分子、分母_后，与被除式相乘，公式： ；（3）分式乘方是_，公式_。4分
16、式的混合运算顺序，先 ，再算 ，最后算 ，有括号先算括号内。5对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值【典型例题：】类型一：分式的基本性质例2、（2012浙江省义乌市，8，3分）下列计算错误的是( )A B C D类型二：分式化简求值例、2012 广东肇庆，20，7）先化简，后求值： 1)1(2x，其中 x=-4ba2.0yx32 1abc321第五课时 数的开方与二次根式【知识梳理】1.二次根式：形如 （a0）的式子叫做二次根式。a注意：（1）在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 a0 是 为二次根式
17、的前提条件，如 ， ，等是二次根式，而a521x， 等都不是二次根式。52x（2）二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时， 有意义，是二次根式，所以要使a二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。（3）二次根式 （a0）的非负性 （a0）表示 a 的算术平方根，也就是说， （a0）是一个aa a非负数，即 0（a0） 。2.、最简二次根式：同时满足：被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号） ；被开方数中含能开得尽方的因数或因式。这样的二次根式叫做最简二次根式。3.、同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式。
18、4.、二次根式的性质（1） （a0）2()a描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注意：二次根式的性质公式 （a0）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过2()a来应用：若 a0，则 ，如： ， 。22()21()（2） 2(0)a描述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。注意：、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本身，2a即 ；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即2(0)；1.431.725.36 72.46； ； ；、 中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值， 一定有意义；2 2
19、、化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。a（3） 与 的异同点2()不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而 表a2 2()a 2a示一个实数 a 的平方的算术平方根；在 中 ，而 中 a 可以是正实数，0，负实数。但2()2与 都是非负数，即 ， 。因而它的运算的结果是有差别的，2() 20a（a0） ，而 、相同点：当被开方数都是非负数，即 a0 时，()= ；a0 时， 无意义，而 。2()2()a2a5、二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除） ，将被开方数相乘（除） ，所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式（a0，b0） ； （b0，a0） abba（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算【典型例题：】类型一：二次根式概念类型二：二次根式的计算类型三：二次根式的比较大小类型四：二次根式的非负性
