1、3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义明目标、知重点 1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题1复数加法与减法的运算法则(1)设 z1 abi，z 2cdi 是任意两个复数，则 z1z 2(ac) (bd)i，z 1z 2( ac) (bd)i.(2)对任意 z1，z 2，z 3C，有 z1z 2z 2z 1，(z1z 2)z 3z 1(z 2z 3)2复数加减法的几何意义如图：设复数 z1，z 2 对应向量分别为 1， 2，四边形 OZ1ZZ2 为平行四边形，则与 z1z 2 对OZ OZ 应的向量是 ，与 z1z 2
2、 对应的向量是 .OZ Z2Z1 情境导学我们学习过实数的加减运算，复数如何进行加减运算？我们知道向量加法的几何意义，那么复数加法的几何意义是什么呢？探究点一 复数加减法的运算思考 1 我们规定复数的加法法则如下：设 z1abi，z 2cdi 是任意两个复数，那么(abi)(cd i)(ac )(bd)i.那么两个复数的和是个什么数，它的值唯一确定吗？答 仍然是个复数，且是一个确定的复数；思考 2 当 b0，d0 时，与实数加法法则一致吗？答 一致思考 3 复数加法的实质是什么？类似于实数的哪种运算方法？答 实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类似于实数运算中的合并同类项思考 4 实数的加法
3、有交换律、结合律，复数的加法满足这些运算律吗？并试着证明答 满足，对任意的 z1，z 2，z 3C，有交换律：z 1z 2z 2z 1.结合律：(z 1z 2)z 3z 1(z 2z 3)证明：设 z1abi，z 2cdi，z 1z 2(ac)(bd)i，z 2z 1( ca) (db)i，显然，z 1z 2z 2z 1，同理可得(z 1z 2)z 3z 1(z 2z 3)思考 5 类比于复数的加法法则，试着给出复数的减法法则答 (abi) ( cdi)( ac)(bd)i.例 1 计算：(1)(12i)(2i)( 2i)(12i)；(2)1(i i 2)(12i)( 12i)解 (1)原式(
4、1221)(2 112)i2.(2)原式1(i 1)(12i)(12i)(1111)(1 22)i2i.反思与感悟 复数的加减法运算，就是实部与实部相加减做实部，虚部与虚部相加减作虚部，同时也把 i 看作字母，类比多项式加减中的合并同类项跟踪训练 1 计算：(1)2i(32i)3(13i)；(2)(a2 bi)(3a4bi)5i( a，bR)解 (1)原式2i(3 2i3 9i)2i11i9i.(2)原式2a6bi5i2a(6b5)i.探究点二 复数加减法的几何意义思考 1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答 如图，设 ， 分别与复数 abi
5、，cdi 对应，OZ1 OZ2 则有 (a，b)， (c，d)，OZ1 OZ2 由向量加法的几何意义 (ac，bd)，OZ1 OZ2 所以 与复数(ac )(bd)i 对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行OZ1 OZ2 思考 2 怎样作出与复数 z1z 2 对应的向量？答 z 1z 2 可以看作 z1( z 2)因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与 z1z 2 对应的向量(如图)图中 对应复数 z1， 对应复OZ1 OZ2 数 z2，则 对应复数 z1z 2.Z2Z1 例 2 如图所示，平行四边形 OABC 的顶点 O，A，C 分别表示 0,3
6、2i，24i.求：(1) 表示的复数；AO (2)对角线 表示的复数；CA (3)对角线 表示的复数OB 解 (1)因为 ，所以 表示的复数为32i.AO OA AO (2)因为 ，所以对角线 表示的复数为(32i)(24i)52i.CA OA OC CA (3)因为对角线 ，所以对角线 表示的复数为(32i)(24i)16i.OB OA OC OB 反思与感悟 复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用跟踪训练 2 复数 z112i ，z 22i，z 312i，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数解 设复数 z1，z 2，
7、z 3 在复平面内所对应的点分别为 A，B，C，正方形的第四个顶点 D 对应的复数为 xyi(x，yR)，如图则 (xy i)(1 2i)(x1)(y 2)i，AD OD OA (12i)( 2i)13i.BC OC OB ，AD BC (x1)(y2)i13i.Error!，解得Error!，故点 D 对应的复数为 2i.探究点三 复数加减法的综合应用例 3 已知|z 1| |z2|z 1z 2|1，求|z 1z 2|.解 方法一 设 z1abi，z 2cdi(a，b，c，dR)，|z 1|z 2|z 1 z2|1，a 2b 2c 2d 21，(ac) 2(bd) 21由得 2ac2bd1，
8、|z 1z 2| (a c)2 (b d)2 .a2 c2 b2 d2 2ac 2bd 3方法二 设 O 为坐标原点，z1，z 2，z 1z 2 对应的点分别为 A，B，C.|z 1|z 2|z 1 z2|1，OAB 是边长为 1 的正三角形，四边形 OACB 是一个内角为 60，边长为 1 的菱形，且|z 1z 2|是菱形的较长的对角线 OC 的长，|z 1z 2| |OC .|OA |2 |AC |2 2|OA |AC |cos 120 3反思与感悟 (1)设出复数 zxy i(x，yR)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y 满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数
9、化”思想的应用(2)在复平面内，z 1，z 2 对应的点为 A，B，z 1z 2 对应的点为 C，O 为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形；若|z 1z 2|z 1z 2|，则四边形 OACB 为矩形；若|z 1|z 2|，则四边形 OACB 为菱形；若|z 1|z 2|且|z 1z 2|z 1z 2|，则四边形 OACB 为正方形跟踪训练 3 本例中，若条件变成|z 1|z 2|1，|z 1z 2| .求|z 1z 2|.2解 由|z 1|z 2|1，|z 1z 2| ，2知 z1，z 2，z 1z 2 对应的点是一个边长为 1 的正方形的三个顶点，所求|z 1z 2|是这个正方形的一条
10、对角线长，所以|z 1 z2| .21复数 z12 i，z 2 2i，则 z1z 2 等于( )12 12A0 B. i32 52C. i D. i52 52 52 32答案 C解析 z 1z 2(2 )( 2)i i.12 12 52 522若 z32i4i，则 z 等于( )A1i B13iC1i D13i答案 B解析 z4i(32i)13i.3在复平面内，O 是原点， ， ， 表示的复数分别为2i ，32i,1 5i，则 表示的OA OC AB BC 复数为( )A28i B66iC44i D42i答案 C解析 ( )44i.BC OC OB OC AB OA 4若|z 1|z 1|，则
11、复数 z 对应的点在( )A实轴上 B虚轴上C第一象限 D第二象限答案 B解析 |z 1| |z1|，点 Z 到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点 Z 在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上5已知复数 z1(a 22)(a4)i，z 2a(a 22)i( aR)，且 z1z 2 为纯虚数，则 a_.答案 1解析 z 1z 2(a 2a2)(a4a 22)i(aR)为纯虚数，Error!，解得 a1.呈重点、现规律1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加法的逆运算2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则一、基础过关1
12、若复数 z 满足 zi33i，则 z 等于( )A0 B2i C6 D62i答案 D解析 z3i(i3)62i.2复数 ii 2 在复平面内表示的点在( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 B解析 ii 21i，对应的点在第二象限3复数 z13i，z 21i，则 z1z 2 等于( )A2 B22iC42i D42i答案 C4设 z12bi，z 2ai，当 z1z 20 时，复数 abi 为( )A1i B2iC3 D2i答案 D解析 由Error!得Error!，abi2i.5已知|z |3，且 z3i 是纯虚数，则 z 等于( )A3i B3i C3i D4i答案 B解析
13、设 zabi(a、bR)，则 z3iabi3ia(b3)i 为纯虚数，a0，b30，又|b|3，b3，z3i.6计算：(12i)( 23i)(3 4i)(45i)(2 0082 009i)(2 0092 010i)(2 0102 011i)解 原式(12342 0082 0092 010)(23452 0092 0102 011)i1 0051 005i.7计算：(1)( 7i5)(98i)(32i)；(2)( i)(2i)( i)13 12 43 32(3)已知 z123i，z 212i，求 z1z 2，z 1z 2.解 (1)( 7i5)(98i)(32i)7i598i32i(593) (
14、782)i 1i.(2)( i)(2i)( i)13 12 43 32 i2i i13 12 43 32( 2 )( 1 )i1 i.13 43 12 32(3)z1z 223i(12i)15i，z1z 223i(12i)3i.二、能力提升8如果一个复数与它的模的和为 5 i，那么这个复数是_3答案 i115 3解析 设这个复数为 xy i(x，yR)xyi 5 i，x2 y2 3Error!，Error!，xy i i.115 39.若|z 2|z 2|，则|z1| 的最小值是_答案 1解析 由|z 2| |z2|，知 z 对应点的轨迹是到 (2,0)与到(2,0)距离相等的点，即虚轴|z1
15、|表示 z 对应的点与 (1,0)的距离|z1| min1.10.设 mR，复数 z1 ( m15)i，z 22m(m3)i ，若 z1z 2 是虚数，求 m 的取值m2 mm 2范围解 z 1 (m15)i，z 22m(m3)i，m2 mm 2z 1z 2 ( m 15)m( m3)i(m2 mm 2 2) (m 22m15)i.m2 m 4m 2z 1z 2 为虚数，m 22m150 且 m2，解得 m5，m3 且 m2(mR)11复平面内有 A，B，C 三点，点 A 对应的复数是 2i，向量 对应的复数是 12i ，向量BA 对应的复数是 3i，求 C 点在复平面内的坐标BC 解 ，AC
16、 BC BA 对应的复数为(3i)(1 2i)23i，AC 设 C(x，y)，则(x yi) (2i) 23i，xyi(2i)(2 3i)42i，故 x4，y2.C 点在复平面内的坐标为 (4，2) 12.已知 ABCD 是复平面内的平行四边形，且 A，B，C 三点对应的复数分别是13i，i,2i，求点 D 对应的复数解 方法一 设 D 点对应的复数为 xyi ( x，yR)，则 D(x， y)，又由已知 A(1,3)，B(0，1)，C(2,1) AC 中点为 ，BD 中点为 .(32，2) (x2，y 12 )平行四边形对角线互相平分，Error!，Error!.即点 D 对应的复数为 35
17、i.方法二 设 D 点对应的复数为 xyi ( x，yR)则 对应的复数为(x yi) (13i)AD (x1)(y3)i，又 对应的复数为(2i)(i)22i，BC 由于 .(x 1)(y 3)i22i.AD BC Error!，Error!.即点 D 对应的复数为 35i.三、探究与拓展13.在复平面内 A，B，C 三点对应的复数分别为 1,2i，12i.(1)求 ， ， 对应的复数；AB BC AC (2)判断ABC 的形状；(3)求ABC 的面积解 (1) 对应的复数为 2i11i，AB 对应的复数为12i(2i)3i，BC 对应的复数为12i122i，AC (2)| | ，| | ，| | 2 ，AB 2 BC 10 AC 8 2| |2| |2| |2，ABC 为直角三角形AB AC BC (3)SABC 2 2.12 2 2
