1、第二章 2.2 第 2 课时一、选择题1已知双曲线的离心率为 2，焦点是(4,0) 、(4,0)，则双曲线方程为( )A. 1 B. 1x24 y212 x212 y24C. 1 D. 1x210 y26 x26 y210答案 A解析 e 2，由 c4 得 a2.ca所以 b2c 2a 212.因为焦点在 x 轴上，所以双曲线方程为 1.x24 y2122(2015安徽文，6)下列双曲线中，渐近线方程为 y2x 的是( )Ax 2 1 B. y 21y24 x24Cx 2 1 D. y 21y22 x22答案 A解析 由双曲线的渐近线的公式可得选项 A 的渐近线方程为 y2x，故选 A.3(2
2、015天津文，5)已知双曲线 1(a0，b0)的一个焦点为 F(2,0)，且双曲x2a2 y2b2线的渐近线与圆(x 2) 2y 2 3 相切，则双曲线的方程为( )A. 1 B. 1x29 y213 x213 y29C. y 21 Dx 2 1x23 y23答案 D解析 由双曲线的渐近线 bxay 0 与圆( x2) 2y 23 相切得 ，由 c2ba2 b2 32，解得 a1，b ，故选 D.a2 b2 34如果双曲线 1 的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )x2a2 y2b2A. B2 2C. D.23 2答案 A解析 双曲线 1 的渐近线方程为 y x，又两渐近线互相垂直，x
3、2a2 y2b2 baab，c a，e .a2 b2 2ca 25双曲线 C： 1(a0，b0)的离心率为 2，焦点到渐近线的距离为 ，则 Cx2a2 y2b2 3的焦距等于( )A2 B2 2C4 D4 2答案 C解析 双曲线的一条渐近线方程为 0，即 bxay 0，焦点(c,0) 到渐近线的距xa yb离为 ，b ，又 2，c 2a 2b 2，c2，故双曲线的焦距为 2c4.bca2 b2 bcc 3 3 ca6已知双曲线 1(a0，b0)的一条渐近线平行于直线 l：y2x10，双曲线x2a2 y2b2的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为 ( )A. 1 B. 1x25 y220 x
4、220 y25C. 1 D. 13x225 3y2100 3x2100 3y225答案 A解析 双曲线的渐近线方程为 y x，由题意得 2.又双曲线的一个焦点在直线ba bay2x10 上，2c100，c 5.由Error!，得Error!.故双曲线方程为 1.x25 y220二、填空题7(2015新课标文，15)已知双曲线过点 (4， )，且渐近线方程为 y x，则该双312曲线的标准方程为_答案 y 21x24解析 根据双曲线渐近线方程为 y x，可设双曲线的方程 y 2m，把(4 ， )代12 x24 3入 y 2m 得 m1.所以双曲线的方程为 y 21.x24 x248双曲线 1 的
5、离心率为 ，则 m 等于_x216 y2m 54答案 9解析 由已知得 a4，b ，c ，又 e ， ，m 9.m 16 m54 16 m4 54三、解答题9求一条渐近线方程是 3x4y0，一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程解析 双曲线的一条渐近线方程为 3x4y 0，设双曲线的方程为 ，x216 y29由题意知 0，169 16 ， .1625所求的双曲线方程为 1.x225625y214425一、选择题1双曲线 1 的一个焦点到一条渐近线的距离等于( )x29 y216A. B33C4 D2答案 C解析 焦点坐标为(5,0)，渐近线方程为 y x，43一个焦点(5,0)到渐近线 y x
6、的距离为 4.432若实数 k 满足 01C11答案 C解析 方程 x2(k 1)y 2k1，可化为 1，双曲线的焦点在 x 轴上，x2k 1 y2k 1k 1k10 且 0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，其一条渐近线方程为x22 y2b2yx，点 P( ，y 0)在该双曲线上，则 ( )3 PF1 PF2 A12 B2C0 D4答案 C解析 本小题主要考查双曲线的方程及双曲线的性质由题意得 b22，F 1(2,0)，F 2(2,0)，又点 P( ，y 0)在双曲线上，y 1，3 20 (2 ，y 0)(2 ，y 0)PF1 PF2 3 31y 0，故选 C.20二、填空题5(2015山东
7、文，15)过双曲线 C： 1( a0，b0)的右焦点作一条与其渐近x2a2 y2b2线平行的直线，交 C 于点 P.若点 P 的横坐标为 2a，则 C 的离心率为_答案 2 3解析 双曲线 1 的右焦点为(c,0)不妨设所作直线与双曲线的渐近线 y xx2a2 y2b2 ba平行，其方程为 y (xc )，代入 1 求得点 P 的横坐标为 x ，由ba x2a2 y2b2 a2 c22c2a，得( )24 1 0，解之得 2 ， 2 (舍去，因为离心率 1) ，故a2 c22c ca ca ca 3 ca 3 ca双曲线的离心率为 2 .36已知双曲线 C1： 1(a0，b0)与双曲线 C2：
8、 1 有相同的渐近线，x2a2 y2b2 x24 y216且 C1 的右焦点为 F( ，0)，则 a_，b_.5答案 1 2解析 本题考查双曲线的性质由 F( ，0)知 a2b 25，又两双曲线渐近线相同，5则 ，a 21，b 24，a1，b2.b2a2 164三、解答题7已知双曲线的中心在原点，焦点 F1、F 2 在坐标轴上，离心率为 ，且过点(4 ，2)10(1)求此双曲线的方程；(2)若点 M(3，m)在双曲线上，求证 MF1MF 2；(3)求F 1MF2 的面积解析 (1)因为 e ，所以双曲线为等轴双曲线，所以可设双曲线方程为2x2y 2( 0) ，因为过点(4 ， )，所以 161
9、0，即 6，所以双曲线方程为10x2y 26.(2)易知 F1(2 ，0)、F 2(2 ，0) ，3 3所以 kMF1 ，kMF 2 ，m3 23 m3 23所以 kMF1kMF2 ，m29 12 m23因为点(3，m) 在双曲线上，所以 9m 26，所以，m 23，故 kMF1kMF21，所以 MF1MF 2.(3)在F 1MF2 中，底|F 1F2|4 ，3F1F2 上的高 h|m| ，3所以 SF 1MF2 |F1F2|m|6.128双曲线 1(a1，b0)的焦距为 2c，直线 l 过点(a,0) 和(0，b)，且点(1,0) 到直x2a2 y2b2线 l 的距离与点(1,0)到直线 l
10、 的距离之和 s c，求双曲线离心率 e 的取值范围45解析 直线 l 的方程为 1，xa yb即 bxayab0.由点到直线的距离公式，且 a1，得点(1,0)到直线 l 的距离 d1 ，点( 1,0)到ba 1a2 b2直线 l 的距离d2 .ba 1a2 b2sd 1d 2 .2aba2 b2 2abc由 s c，得 c，即 5a 2c 2.45 2abc 45 c2 a2e ，5 2e 2，25( e21)4e 4，ca e2 1即 4e425e 2250， e 25( e1) e .54 52 59斜率为 2 的直线 l 在双曲线 1 上截得的弦长为 ，求 l 的方程x23 y22
11、6解析 设直线 l 的方程为 y2xm，由Error!，得 10x212mx3(m 22)0.(*)设直线 l 与双曲线交于 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)两点，由根与系数的关系，得x1x 2 m，x 1x2 (m2 2)65 310|AB| 2 (x1x 2)2(y 1y 2)25(x 1x 2)25(x 1x 2)24x 1x25 m24 (m22)3625 310|AB| ， m26(m 22)6.6365m 215，m .15由(*)式得 24m 2240，把 m 代入上式，得 0，15m 的值为 ，15所求 l 的方程为 y2x .15点评 弦长公式：斜率为 k(k0)的直线 l 与双曲线相交于 A(x1，y 1)、B(x 2，y 2)，则|AB| |x1x 2|1 k2 1 k2x1 x22 4x1x2 |y1y 2| .1 1k2 1 1k2y1 y22 4y1y2
