1、习题课 空间几何体一、选择题(每个 5 分，共 30 分)1一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A. B.12 13C. D156答案：C解析：由三视图可知该几何体是由一个正方体截去一个三棱锥而得到，其直观图如图所示，其中正方体的棱长为 1，则正方体的体积为 1，截掉的三棱锥的体积为 111 ，所以该几何体的体积为 1 ，选 C.13 12 16 16 562下列四个命题中正确命题的个数是( )底面是矩形的平行六面体是长方体；棱长相等的直四棱柱是正方体；有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；对角线相等的平行六面体是直平行六面体A3 B2C1 D0答案：C解析：本
2、题主要涉及到直平行六面体、长方体的概念问题如果底面是矩形但侧棱不垂直于底面，这时的四棱柱就不是直平行六面体，所以命题是错误命题如果底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体，所以命题是错误命题命题也是错误命题，因为若两条侧棱垂直于底面一边可推出两个相对侧面是矩形，但是不能推出侧棱与底面垂直命题是正确命题，由对角线相等，可得出平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，这个平行六面体是直平行六面体故选 C.3已知某圆柱的侧面展开图是边长为 2a，a 的矩形，则该圆柱的体积为( )A. 或 B.a32 a3 2a3C. D. 或a3 a3 2a3答案：A解析：设圆柱的母线长为 l，底
3、面圆的半径为 r，则当 l 2a 时，2ra，r ，这a2时 V 圆柱 2a 2 ；当 la 时，2r2a，r ，这时 V 圆柱 a 2 .综上，该(a2) a32 a (a) a3圆柱的体积为 或 .a32 a34一个圆锥的底面积为 9，母线长为 5，则它的高为( )A4 B3C. D.5 7答案：A解析：易知底面圆的半径 r3，由勾股定理 h2r 2l 2，得 h4.5有下列命题：从投影的角度看，三视图画出的直观图是在平行投影下画出来的空间图形；平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；空间几何体在平行投影与中心投影下有不同的表现形式其中正确的命题有( )A1 个 B2 个C3
4、 个 D0 个答案：D6甲、乙、丙、丁四人分别面对面地坐在一张四方形桌子旁边，桌上一张纸上写着数字“9” ，甲说他看到的是“6”，乙说他看到的是“ 6”丙说他看到的是“ 9” ，丁说他看到的是“9” 则下列说法中正确的是( )A甲在丁的对面，乙在甲的左边，丙在丁的右面B丙在乙的对面，丙的左边是甲，右边是乙C甲在乙的对面，甲的右边是丙，左边是丁D甲在丁的对面，乙在甲的右边，丙在丁的右边答案：D解析：桌上一张纸上写着数字 9，则看到 9 的人应坐在桌子的正面，看到 6 的人应坐在他的对面，如图所示由此便可判断乙在左侧，而丙应在右侧所以乙应在甲的右边所以选D.二、填空题(每个 5 分，共 15 分)
5、7用 6 根长度相等的火柴搭成边长等于火柴长的正三角形，最多能搭成_个答案：4解析：考虑正四面体8已知半径为 5 的球的两个平行截面圆的周长分别为 6 和 8，则这两个截面间的距离为_答案：1 或 7解析：若两个平行截面在球心的同侧，则两个截面间的距离为 1；52 32 52 42若两个平行截面在球心的异侧，则两个截面间的距离为 7.52 32 52 429一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积是_，体积是_答案：24 cm 2 12 cm 3解析：由三视图可知该几何体是底面直径为 6 cm，母线长为 5 cm 的圆锥，故 S 表 rl r224(cm 2)，同时
6、求出圆锥的高为 4 cm，故体积为 r2h12(cm 3)13三、解答题10(15 分) 把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是 1：4，母线长是 10 cm，求圆锥的母线长解：设圆锥的母线长为 x cm，作圆锥的轴截面，如右图在 Rt SOA 中，OAOA，SA： SA OA ：OA .即(x10) ：x1 ：4，解得 x13 .13圆锥的母线长为 13 cm.1311(20 分) 如图所示，在多面体 FEABCD 中，已知 ABCD 是边长为 1 的正方形，且ADE，BCF 均为正三角形，EFAB，EF2，求该多面体的体积 V.解：如图所示，分别过 A，B 作 EF 的垂线 AG，BH，垂足分别为 G，H.连接DG，CH ，容易求得 EGHF .12所以 AGGD BHHC ，32SAGD S BHC 1 ，12 22 24VV EADG V FBHC V AGD BHC 2 1(131224) 24 .2312(20 分) 如图，在正三棱锥 PABC 中，APB30，侧棱长为 a，E，F 分别是PB， PC 上的点，求 AEF 周长的最小值解：将正三棱锥 PABC 沿棱 PA 展开可得如图所示的图形，易知当 A，E，F，A(A) 共线时，AEF 的周长最小在展开图中，APA90，故APA是等腰直角三角形，因此所求的AEF 周长的最小值即 AA的长，为 a.2
