1、22.2 椭圆的几何性质(一)学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形 .2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图知识链接观察椭圆 1 (ab0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭x2a2 y2b2圆上哪些点比较特殊？答：(1)范围：axa，byb；(2)对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴、原点都对称；(3)特殊点：顶点 A1(a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，b)，B 2(0，b)预习导引1椭圆的几何性质焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上图形标准方程 1(a b0)x2a2 y2b2 1(a b0)y2
2、a2 x2b2范围axa ，by bbxb ，ay a顶点A1( a,0)，A 2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0) ，B 2(b,0)轴长 短轴长2b，长轴长2a焦点 ( ，0)a2 b2 (0， )a2 b2焦距 F1F22 a2 b2对称性 对称轴：x 轴、y 轴 对称中心：原点离心率 e (0,1)ca2.离心率的作用当椭圆的离心率越接近于 1，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近于 0，则椭圆越接近于圆要点一 椭圆的几何性质例 1 求椭圆 9x216y 2144 的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标解 已知方程化成标准方程为 1，x
3、216 y29于是 a4，b3，c ，16 9 7椭圆的长轴长和短轴长分别是 2a8 和 2b6，离心率 e ，ca 74又知焦点在 x 轴上，两个焦点坐标分别是 F1( ，0)和 F2( ，0) ，7 7四个顶点坐标分别是 A1(4,0)，A 2(4,0)，B 1(0，3) 和 B2(0,3)规律方法 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用 a，b，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量跟踪演练 1 求椭圆 m2x24m 2y21 (m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解 椭圆的方程 m2x24m 2y21 ( m0)可转
4、化为 1.x21m2y214m2m 2 ，椭圆的焦点在 x 轴上，并且长半轴长 a ，短半轴长 b ，半1m2 14m2 1m 12m焦距长 c .32m椭圆的长轴长 2a ，短轴长 2b ，2m 1m焦点坐标为( ，0)，( ，0) ，32m 32m顶点坐标为( ，0)，( ，0) ，(0， )，(0， )1m 1m 12m 12m离心率 e .ca32m1m 32要点二 由椭圆的几何性质求方程例 2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，若其离心率为 ，焦距为 8；12(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 .3解 (1
5、)由题意知，2c8，c4，e ，a8，ca 4a 12从而 b2a 2c 248，椭圆的标准方程是 1.y264 x248(2)由已知得Error!Error!从而 b29，所求椭圆的标准方程为 1 或 1.x212 y29 x29 y212规律方法 在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组) 确定 a，b.跟踪演练 2 已知椭圆过点(3,0)，离心率 e ，求椭圆的标准方程63解 所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)，点(3,0) 为椭圆的一个顶点当椭圆的焦点在 x 轴上时，(3,0)为右顶
6、点，则 a3，e ， c a 3 ，ca 63 63 63 6b 2a 2c 23 2( )2963，6椭圆的标准方程为 1.x29 y23当椭圆的焦点在 y 轴上时，(3,0)为右顶点，则 b3，e ， c a，ca 63 63b 2a 2c 2a 2 a2 a2，23 13a 23b 227，椭圆的标准方程为 1.y227 x29综上可知，椭圆的标准方程是 1 或 1.x29 y23 y227 x29要点三 求椭圆的离心率例 3 如图所示，F 1，F 2 分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的 ，求椭圆的离心23率解 设椭圆的长半轴、短半轴
7、、半焦距长分别为 a，b，c.则焦点为 F1( c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为( c， b)，23则MF 1F2 为直角三角形在 Rt MF1F2 中， F1F MF MF ，2 2 21即 4c2 b2MF .49 21而 MF1MF 2 b2a，4c2 49b2 23整理得 3c23a 22ab.又 c2a 2b 2，所以 3b2a.所以 .b2a2 49所以 e2 1 ，所以 e .c2a2 a2 b2a2 b2a2 59 53规律方法 求椭圆离心率的方法：直接求出 a 和 c，再求 e ，也可利用 e 求解ca 1 b2a2若 a 和 c 不能直接求出，则看是否可利用条件得
8、到 a 和 c 的齐次等式关系，然后整理成 的ca形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率 e 的方程，进而求解跟踪演练 3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1，F 2 在 x 轴上，A，B是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且 PF1x 轴，PF 2AB ，求此椭圆的离心率解 设椭圆的方程为 1 (a b0)x2a2 y2b2如题图所示，则有 F1(c,0)，F 2(c,0)，A(0，b) ，B (a,0)，直线 PF1 的方程为 xc ，代入方程 1，得 y ，P(c， )x2a2 y2b2 b2a b2a又 PF2AB，PF 1F2 AOB. ， ，b2c.PF1F1F2 AOOB b2
9、2ac bab 24c 2，a 2c 24c 2， .c2a2 15e 2 ，即 e ，椭圆的离心率为 .15 55 551椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是 (10,0)，则焦点坐标为_答案 (0， )69解析 由题意知椭圆焦点在 y 轴上，且 a13，b10，则 c ，故焦点坐标为a2 b2 69(0， )692若椭圆中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2，离心率为 ，则椭圆的标准方程为13_答案 1x29 y28解析 c1，e ，a3，b 23 218.13焦点在 x 轴上，椭圆的标准方程为 1.x29 y283若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数
10、列，则该椭圆的离心率是_答案 35解析 由题意有 2a2c2(2b) ，即 ac 2b，又 c2a 2b 2，消去 b 整理得5c23a 22ac，即 5e22e30，e 或 e1(舍去)354设 F1，F 2 是椭圆 E： 1(ab0)的左，右焦点，P 为直线 x 上一点，x2a2 y2b2 3a2F2PF1 是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为_答案 34解析 由题意可得 PF2F 1F2，2( ac)2c，3a4c，e .32 341.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式2根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量” ，常用的方
11、法是待定系数法在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率 e、焦距3求椭圆的离心率要注意函数与方程的思想、数形结合思想的应用一、基础达标1已知点(3,2)在椭圆 1 上，则下列说法正确的是 _(填序号)x2a2 y2b2点(3，2)不在椭圆上；点(3，2) 不在椭圆上；点( 3,2)在椭圆上；无法判断点(3，2) 、(3，2)、(3,2)是否在椭圆上答案 解析 由椭圆的对称性知( 3,2)必在椭圆上2椭圆 25x29y 2225 的长轴长、短轴长、离心率依次是_答案 10、6、0.8解析 把椭圆的方程写成标准方程为 1，知x29 y225a5，b3
12、，c4.2a10,2b6， 0.8.ca3椭圆 x24y 21 的离心率为_答案 32解析 将椭圆方程 x24y 21 化为标准方程 x2 1，则 a21，b 2 ，即 a1，c y214 14 ，故离心率 e .a2 b232 ca 324过椭圆 1 (ab0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F 2 为右焦点，若x2a2 y2b2F 1PF260，则椭圆的离心率为 _答案 33解析 记 F1F22c ，则由题设条件，知 PF1 ，PF 2 ，2c3 4c3则椭圆的离心率 e .2c2a F1F2PF1 PF2 2c2c3 4c3 335椭圆 x2my 21 的焦点在 y 轴上
13、，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值是_答案 14解析 由题意可得 2 22，解得 m .1m 146椭圆 1 和 k(k0，a0，b0)具有相同的 _x2a2 y2b2 x2a2 y2b2答案 离心率解析 不妨设 ab0，则椭圆 k 的离心率x2a2 y2b2e2 .ka2 kb2ka2 a2 b2a2而椭圆 1 的离心率 e1 .x2a2 y2b2 a2 b2a27已知椭圆方程为 4x29y 236，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解 把椭圆的方程化为标准方程 1.x29 y24可知此椭圆的焦点在 x 轴上，且长半轴长 a3，短半轴长 b2；又得半焦距 c .a2 b2
14、9 4 5因此，椭圆的长轴长 2a6，短轴长 2b4；两个焦点的坐标分别是( ，0)，( ，0) ；四5 5个顶点的坐标分别是(3，0)，(3,0)，(0，2) ，(0,2)；离心率 e .ca 53二、能力提升8若椭圆 1 的焦点在 x 轴上，过点(1， )作圆 x2y 21 的切线，切点分别为x2a2 y2b2 12A，B，直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_答案 1x25 y24解析 x1 是圆 x2y 21 的一条切线椭圆的右焦点为 (1,0)，即 c1.设 P(1， )，则 kOP ，OPAB，k AB2，则直线 AB 的方程为 y2( x1)，它与 y12 12
15、轴的交点为(0,2)b2，a 2b 2c 25，故椭圆的方程为 1.x25 y249若椭圆 x2my 21 的离心率为 ，则 m_.32答案 或 414解析 方程化为 x2 1，则有 m0 且 m1.y21m当 1 时，依题意有 ，解得 m .1m1m 11m 32 14综上，m 或 4.1410设椭圆的两个焦点分别为 F1、F 2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P，若F 1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是_答案 12解析 因为F 1PF2 为等腰直角三角形，所以 PF2F 1F22c，PF 12 c，又由椭圆定义知2PF1PF 22a，所以 2 c2c2a，即( 1)ca，
16、2 2于是 e 1.ca 12 1 211分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是 ，长轴长是 6.23(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6.解 (1)设椭圆的方程为 1 (ab0)或 1 (ab0)x2a2 y2b2 y2a2 x2b2由已知得 2a6，e ，a3，c2.ca 23b 2a 2c 2945.椭圆方程为 1 或 1.x29 y25 x25 y29(2)设椭圆方程为 1 ( ab0)x2a2 y2b2如图所示，A 1FA2 为一等腰直角三角形，OF 为斜边 A1A2 上的中线(高 )，且 OFc，A 1A22b，cb3，a 2b 2c
17、218，故所求椭圆的方程为 1.x218 y2912已知椭圆 1(ab0)的两个焦点分别为 F1(c,0)，F 2(c,0)(c0)，过点 E( ，0) 的x2a2 y2b2 a2c直线与椭圆相交于点 A，B 两点，且 F1AF 2B，F 1A2F 2B，求椭圆的离心率解 由 F1AF 2B，F 1A2F 2B，得 ，EF2EF1 F2BF1A 12从而 ，整理，a2c ca2c c 12得 a23c 2.故离心率 e .ca 33三、探究与创新13已知椭圆 E 的中心是坐标原点 O，两个焦点分别为 A(1，0)，B(1,0)，一个顶点为H(2,0)(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)对于 x 轴上的点 P(t,0)，椭圆 E 上存在点 M，使得 MPMH ，求实数 t 的取值范围解 (1)由题意可得，c1，a2，
