1、1解一元一次方程去括号(1)意义：在解方程过程中，为了便于移项、合并同类项，将括号去掉(2)依据：去括号法则：括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项都不改变符号；括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉，括号里各项都改变符号(3)解一元一次方程的步骤： .去 括 号 移 项 合 并 同 类 项 系 数 化 为 1谈重点 去括号 括号前面是“”号时，去掉括号后，括号内的各项均要改变符号，不能只改变括号内第一项或前几项的符号，而忘记改变其余的符号当括号前是数字因数时，应利用分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括号，以免发生错误遇到多层括号一般由里到外，逐层去括号，也可由外到里【
2、例 1】 去括号解下列方程：(1)x12(2 x7)；(2)3(x1)2( x2)2 x3.分析：先去括号，变为前面所学类型方程，再移项、合并同类项、系数化为 1 求解解：(1) x12(2 x7)，去括号，得 x14 x14.移项，得4 x x141.合并同类项，得3 x15.系数化为 1，得 x5.(2)3(x1)2( x2)2 x3，去括号，得 3x32 x42 x3.来源:学优 WWW.ZK5U.COM化简，得 x12 x3.移项，得 x2 x31.合并同类项，得 x4.系数化为 1，得 x4.2解一元一次方程去分母(1)目的：将方程中的分母化去，把系数化为整数，便于计算(2)依据：等
3、式的性质 2.(3)方法：方程两边同时都乘以所有分母的最小公倍数，约去分母，变为不含分母的方程谈重点 去分母 等式两边每项都同时乘以分母的“最小公倍数” ，没分母的项也要乘以最小公倍数去分母后分子是多项式的一定要用括号括起来(4)解一元一次方程的步骤解一元一次方程的一般步骤有：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.具体见下表：变形名称 具体做法 变形依据 注意事项去分母方程左右两边的每一项都乘以各分母的最小公倍数等式的基本性质 2不能有漏乘不含分母的项；分子是多项式的去掉分母后，要加小括号去括号可由小到大，或由大到小去括号乘法对加法的分配律；去括号的法则不要漏乘括号内的项；括号前是“
4、”号的，去括号时括号内的所有项都要变号移项移项就是将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边.等式的基本性质 1 移项要变号合并同类项将方程化为 ax b 的最简形式合并同类项的法则只将系数相加，字母及其指数不变化系数为 1方程的左右两边同时除以未知数系数或乘以未知数系数的倒数等式的基本性质 2 分子、分母不能颠倒谈重点 解一元一次方程的步骤 值得注意的是：(1)这些步骤在解方程时不一定全部都用到，也不一定按照顺序进行，可根据方程的形式，灵活安排步骤；(2)为了避免错误，可将解出的结果代入原方程进行检验【例 2】 解下列方程：(1) 1 ；2y 14 y 26(2) 2 .x 13 x
5、 26 4 x2分析：(1)方程两边同乘以 4 和 6 的最小公倍数 12，去掉分母(2)方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数 6 去掉分母解：(1) 1 ，2y 14 y 26去分母，得 3(2y1)122( y2)去括号，得 6y3122 y4.移项，得 6y2 y4312.合并同类项，得 4y11.系数化为 1，得 y .114(2) 2 ，x 13 x 26 4 x2去分母，得 2(x1)( x2)123(4 x)去括号，得 2x2 x212123 x.化简，得 x43 x.移项，得 x3 x4.合并同类项，得2 x4.系数化为 1，得 x2.注意：去分母时一定不要漏乘不含分母的项哦3
6、解含有小数分母的方程(1)意义：有些方程分子、分母中含有小数(分数)，可根据分数的性质，将分子、分母化为整数，变为含整数分母的方程，再去分母，逐步化简，解出方程(2)依据：分数的性质(分数的分子分母同乘以或除以一个不为 0 的数，分数的值不变)(3)方法：根据实际，一般把单个含小数分母的式子的分子、分母同乘以 10 或 100，化为整数分母(4)与去分母的异同：去分母根据的是等式的性质，两边同乘，去掉分母，两边的值改变，只是左右两边还相等，化小数分母为整数分母，根据的是分数的性质，分子分母同乘，是局部变化，值不变【例 3】 解方程：(1) .2x0.3 53 1.6 4x0.4(2) .x 4
7、2 0.2x 0.30.5 0.02x0.01分析：根据分数的基本性质，将含小数分母的式子，分子、分母同乘以 10(或 100)，把小数分母化为整数分母解：(1)化为整数分母，得 ，2x100.310 53 (1.6 4x)100.410即 .20x3 53 16 40x4化简，得 410 x.20x3 53去分母并解方程，得 x .750(2)化为整数分母，得 2 x.x 42 2x 35去分母，得 5(x4)2(2 x3)2 x10.解方程，得 x .26114.行程问题行程问题是应用题中最常见、应用最多，分类和变化最多的一类题(1)相关量及关系：路程 s、速度 v、时间 t， s vt，
8、以及由此变化得到的 v ； t .st sv(2)行程问题中常用等量关系：必须是路程路程，速度速度，时间时间行程问题一般都有两种情况，分别有甲、乙各自的路程、时间、速度，但绝大多数情况下，甲、乙的路程与路程、时间与时间、速度与速度之间又互相联系(3)分类：分类多，形式多样，变化也多，主要有相遇问题、追击问题、往返问题、航行问题、环形问题等(4)关键词：同时、同地、相向而行、背向而行，先出发、后出发、晚几小时到达、每小时多行、返回、相遇、相距、.(5)注意点：行程问题中，不管甲、乙两种情况之间有何联系，甲的路程甲的时间甲的速度，甲的速度甲的路程甲的时间，不能出现甲的速度乙的路程乙的时间这样的问题
9、，即使甲、乙的路程、速度、时间相等，但也是各自的路程、速度、时间(6)解法：一般根据题意，用线段画出示意图，分析两种情况，从相互关系和自身关系两方面考虑，列方程解决【例 41】 甲、乙两站路程为 360 km，一列慢车从甲站开出，每小时行 48 km；一列快车从乙站开出，每小时行 72 km.(1)两车同时开出，相向而行，多少小时相遇？(2)若快车先开出 25 分钟，慢车再出发，两车相向而行，慢车开出多少小时后两车相遇？分析：(1)设两车开出 x 小时后相遇根据“慢车所走的路程快车所走的路程总路程”可列方程(2)设慢车行驶 x 小时相遇，根据“慢车所走的路程快车所走的路程总路程”可列方程解：(
10、1)设两车开出 x 小时后相遇，根据题意，得 48x72 x360，解得 x3.答：两车开出 3 小时后相遇(2)设慢车开出 x 小时后相遇，根据题意，得 48x72 x72 360，解得 x2 .512 34答：慢车开出 2 小时后两车相遇34【例 42】 甲、乙两人分别从 A， B 两地同时相向出发，在离 B 地 6 千米处相遇后又继续前进，甲到 B 地，乙到 A 地后，都立即返回，又在离 A 地 8 千米处相遇，求 A， B 两地间的距离分析：用常规方法解决本题具有一定难度，如下图，若把两个运动过程一起处理，第一次相遇，甲、乙两人合走一个全程，对应乙走 6 千米；第二次相遇，甲、乙两人合
11、走了三个全程，故乙共走了 3618 千米，从另一个角度看，乙共走了一个全程加 8 千米，所以这两个路程是相等的解：设 A， B 两地间的距离为 x 千米，第二次相遇时乙共走了( x8)千米，所以x836， x10.答： A， B 两地间的距离为 10 千米 ,5形积问题(1)常用的体积公式：长方体的体积长宽高；正方体的体积棱长棱长棱长；圆柱体的体积底面积高 r2h；来源:学优圆锥体的体积 底面积高 r2h.13 13(2)常用的面积、周长公式：长方形的面积长宽；长方形的周长2(长宽)；正方形的面积边长边长；正方形的周长边长4；三角形的面积 底高；12平行四边形的面积底高；梯形的面积 (上底下底
12、)高；12圆的面积 r2，圆的周长2 r .(3)形积变化中的等量关系：形积变化问题中，图形的形状和体积会发生变化，但应用题中一定有相等关系分以下几种情况：形状发生了变化，体积不变其相等关系是：变化前图形的体积变化后图形的体积形状、面积发生了变化，周长不变其相等关系是：变化前图形的周长变化后图形的周长形状、体积不同根据题意找出体积之间的关系，即为相等关系(4)应用题中相等关系的找法：认真分析题意，找出已知数和未知数；抓住题目中反映相等关系的关键词；掌握基本问题的常用关系式；通过画图、列表等方法找相等关系 【例 51】 墙上钉着一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图中实线所示小明将梯形下底的钉子去掉
13、，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图中虚线所示小明所钉长方形的长、宽各为多少？分析：饰物形状变化前后有两个不变的量，一个是周长，另一个是变化前梯形的上底和变化后长方形的宽根据题意可设长方形的长为 x，则长方形的周长为 2x210，梯形的周长为 101010610652，则 2x2052，从而解得 x16.解：设小明所钉长方形的长为 x，根据题意得：2x2101010610610，整理得，2 x2052，解得 x16.由于饰物变化前后长度为 10 的边没有变化，所以长方形的宽为 10.答：长方形的长为 16，宽为 10.【例 52】 用一个底面半径是 40 毫米，高为 120 毫米的圆柱形玻璃杯向
14、一个底面半径为 100 毫米的大圆柱形玻璃杯中倒水，倒了满满 10 杯水后，大玻璃杯的液面离杯口还有10 毫米，则大玻璃杯的高度是多少？分析：根据“小圆柱体的体积10大圆柱形玻璃杯中水的体积”列方程求解解：设大玻璃杯的高度是 x 毫米，根据题意，得100 2(x10)40 212010.解这个方程，得 x202.答：大玻璃杯的高为 202 毫米【例 53】 将内直径为 20 cm 的圆柱形水桶中的全部水倒入一个长、宽、高分别为30 cm,20 cm,80 cm 的长方形铁盒中，正好倒满，求圆柱形水桶的高( 取 3.14)分析：由于水的体积不变，可知两个容器的容积相同所以本题的相等关系是：圆柱的
15、容积长方体的容积解：设圆柱形水桶高 x cm.根据题意，得 2x302080.解得 x 152.87.(202) 480答：圆柱形水桶高约 152.87 cm.6.巧解一元一次方程来源:W解一元一次方程的一般步骤是：有分母的先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.可有些方程有自己独特的特点，因此它们虽然可以用常规解法解出，但根据方程自身特点，巧妙、灵活运用不同的计算方式和计算手段，可以简化解题过程，能快速准确地解出方程，解决问题如：方程 3(x1) (x1)2( x1) (x1)可以不先去括13 12号，而把( x1)，( x1)分别看成一个整体进行移项、合并同类项，得 (x1)
16、(x1)，72 73再去分母，得 3(x1)2( x1)，进而去求解等因此解方程过程中，要注意观察，灵活运用，要勇于突破、创新，最简便、最快捷的解法就是最好的方法【例 6】 解下列方程：(1)0.7x0.62.3 x；(2) x x ；(3) x2.1513 29 213 169 3223(x4 1) 2分析：(1)两边同乘以 10 化为整系数解决会更简单；(2)先不去分母，先移项、合并同类项，同分母分数相加，从而简化计算过程；(3)根据分配律从外向内去括号更简便解：(1)方程两边同乘以 10，得 7x623 x.移项，得23 x7 x6.合并同类项，得16 x6.系数化为 1，得 x .38
17、(2)移项，得 x x .1513 213 169 29合并同类项，得 x2.(3)去括号，得 3 x2.去括号、化简，得 x42.34移项、合并同类项，得 x6.34系数化为 1，得 x8.7劳力调配问题劳力调配问题是应用题中常见的一种题型，这类问题的特点在于两方面的量都在发生变化，变化后原数量之间的大小关系也变化，主要有三种情况：一种是内部调整，由一方调入另一方，核心等量关系是甲增加的数目等于乙减少的数目，另一种外来加入，又分为都变化和只一方变化，第三种调出变化，也分为都调出或一方调出不论那种情况，搞清人数的变化并用式子表示是关键，一般根据变化后的倍数关系列出方程常见题型：(1)既有调入又
18、有调出都变化；(2)只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；(3)只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变【例 7】 某次义务劳动，有甲、乙两个工地，甲工地有 27 人在劳动，乙工地有 19 人在劳动现在又有 20 人来参加义务劳动，要使甲工地人数为乙工地人数的 2 倍问应分别调往甲、乙两工地各多少人？分析：设应调往甲工地 x 人，则调往乙工地(20 x)人甲、乙两工地在增加人员前后的人数如下表：甲工地人数 乙工地人数原来 27 19增加人数后 27 x 19(20 x)根据“甲工地人数为乙工地人数的 2 倍”列方程解：设应调往甲工地 x 人，则调往乙工地(20 x)人，根据题意，得27 x
19、219(20 x)，去括号，得 27 x38402 x，解得 x17.答：应调往甲工地 17 人，调往乙工地 3 人8.分段型问题应用分段型一元一次方程的应用是指同一个未知量在不同的范围内，限制条件不同的一类应用题它是日常生活中常见的一种实用型的题型，经常出现在水电费的收取、打的收费、旅游优惠、购物优惠、个人所得税的收取等实际问题中这类问题往往描述比较复杂，数据量多，且变化多，解决这类问题的关键，先要确定所给的数据所处的分段，然后要根据它的分段收费情况，分类解决如：某地出租车的收费标准是：起步价 10 元(3 千米以内)；3 千米到 6 千米，每千米 2 元；6 千米之外，每千米 1.8 元那
20、么若某人乘车行驶了 x 千米的路程，他“打的” x 千米的费用分为三种情况：(1)当 x6 时，需支付 10321.8( x6)161.8 x10.8(1.8 x5.2)元析规律 分段型问题 分段型收费问题要分段讨论解决，总收费是各段收费之和，具体计算过程中，一般后面收费时，要除去前面已收费部分，即不重复收费，这点一定要注意这也是分段型问题的关键【例 8】 甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果价格如下表：购买苹果数 不超过 30 千克 30 千克以上但不超过 50 千克 50 千克以上每千克价格 3 元 2.5 元 2 元甲班分两次共购买苹果 70 千克(第二次多于第一次)，共付出 189 元
21、，乙班则一次购买苹果 70 千克(1)乙班比甲班少付出多少元？(2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克？分析：(1)由于乙班一次购买苹果 70 千克，价格一定是 2 元/千克，求得乙班购买 70千克苹果的金额，相减求出乙班比甲班少付出的金额(2)要求甲班第一次、第二次分别购买苹果的数量，由表中提供的信息，需分段(三种情况)讨论：两次都是 30 千克以上但不超过 50 千克；第一次不超过 30 千克，第二次 30 千克以上但不超过 50 千克；第一次不超过 30 千克，第二次 50 千克以上解：(1)乙班一次购买苹果 70 千克共付金额 702140(元)，而 18914049(元)，所以乙
22、班比甲班少付出 49 元(2)设第一次购买 x 千克下面分三段讨论：若两次都是 30 千克以上但不超过 50 千克，则根据题意，得 2.5x2.5(70 x)189，显然方程无解；第一次不超过 30 千克，第二次 30 千克以上但不超过 50 千克，则根据题意，得3x2.5(70 x)189，解得 x28，则 70 x42.第一次不超过 30 千克，第二次 50 千克以上，则根据题意，得 3x2(70 x)189，解得 x4930，不符实际答：甲班第一次购买 28 千克，第二次购买 42 千克9.火车过桥类问题解法在行程问题中，计算路程一般不考虑交通工具的实际长短，但因火车长度较大，在一些过桥
23、、穿越隧道的应用题中往往要考虑火车车身的长度这类题目主要出现在两类问题中：一类是火车过桥或过隧道问题，另一类是行军队伍问题，题目一般都告诉火车的长度和队伍的长度解法：这类问题归类于行程问题，所以解法基本相似，因为整列火车离开桥面才算离开，所以在解决问题中考虑车身的长度，实际行驶路程要加上车长或减车长解决即可【例 9】 已知某一铁桥长 1 000 米，今有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用 1 分钟，整列火车完全在桥上的时间是 40 秒求火车的速度和长度分析：由题意可知，整列火车完全在桥上时，实际的行驶路程桥长车长，完全过桥所行使的路程桥长车长，可设车长为 x 米，根据速度相等列方程，求出车长，再求速度，也可以设车速为 y 千米/秒，根据桥长相等列方程：40 y20060 y200 求出速度，再求车长解：设火车车身长 x 米，根据题意，得 .解得 x200.1 000 x40 1 000 x60所以车速是 20(米/秒)1 000 x60 1 000 20060答：火车的速度是 20 米/秒，长度是 200 米
