1、第 1 页 共 17 页2019 届吉林省吉林市高三上学期第一次调研测试数学（文）科试题一、单选题1设集合 ，则A B C D 【答案】C【解析】直接求 得解.【详解】因为集合 ，所以 = .故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2若 为第二象限角，则A B C D 【答案】A【解析】利用诱导公式求得 ，再根据 为第二象限角求出 最后根据同角三角函数基本关系式可得 .【详解】，又 为第二象限角， 则 故选 A.【点睛】第 2 页 共 17 页本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，属基础题.3在下列给出的四个结论中，正确的结论是A 已
2、知函数 在区间 内有零点，则B 是 与 的等比中项C 若 是不共线的向量，且 ，则 D 已知角 终边经过点 ，则【答案】C【解析】逐一判断每一个命题的真假得解.【详解】A. 已知函数 在区间 内有零点，不一定有 ，还有可能 .所以该选项错误; B. 是 与 的等比中项是错误的，因为 与 的等比中项是 ；C. 若 是不共线的向量，且 ，所以 ，所以 ，所以该选项是正确的；D. 已知角 终边经过点 ，则 ，所以该选项是错误的.故答案为：C【点睛】本题主要考查零点定理和等比中项，考查向量共线和任意角的三角函数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4已知四边形 是平行四边形，点 为边 的中
3、点，则A B C D 【答案】A【解析】由平面向量的加法法则运算即可.【详解】第 3 页 共 17 页如图，过 E 作 由向量加法的平行四边形法则可知 故选 A.【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.5若公差为 的等差数列 的前 项和为 ,且 成等比数列，则A B C D 【答案】B【解析】先求出 ，再求 .【详解】因为 成等比数列，所以所以故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查等差数列和等比数列的通项，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等差数列的前 项和公式：一般已知 时，用公式 ，已知 时，用公式6已知 , 则 的值为A B C D 第 4
4、页 共 17 页【答案】C【解析】直接利用两角和的正切函数化简求解即可【详解】,则故选：C【点睛】本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力7已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则A B C D 【答案】B【解析】先转化为求- ，再代入求解.【详解】=- .故答案为：B【点睛】本题主要考查奇函数的性质和对数指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.8在小正方形边长为 1 的正方形网格中, 向量 的大小与方向如图所示，则向量所成角的余弦值是 第 5 页 共 17 页A B C D 【答案】B【解析】如图所示，建立直角坐标系，不妨取 ，利用向量夹角公式、数量积运算
5、性质、平行四边形面积计算公式即可得出【详解】如图所示，建立直角坐标系，不妨取 ，则 故选 B.【点睛】本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题9中国古代数学著作算法统综 中有这样的一个问题： “三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地 ”，请问此人第 2 天走的路程为A 24 里 B 48 里 C 72 里 D 96 里第 6 页 共 17 页【答案】D【解析
6、】由题意可知，每天走的路程里数构成以 为公比的等比数列，由 S6=378 求得首项，再由等比数列的通项公式求得 a2 的值，即可得该人第 2 天走的路程里数，可得答案【详解】根据题意，记每天走的路程里数为a n，可知a n是公比 q= 的等比数列，由 S6=378，得 S6= =378，解可得 a1=192，则 a2=a1q=192 =96；即此人第二天走的路程里数为 96；故答案为：D【点睛】本题考查等比数列的前 n 项公式的应用，关键是正确分析题意，确定等比数列的数学模型10已知等边 的边长为 2，则A B C D 【答案】A【解析】直接利用向量的模的计算公式求解.【详解】由题得 =故答案
7、为：A【点睛】第 7 页 共 17 页本题主要考查向量的模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11函数 的图象大致是A B C D 【答案】C【解析】判断 f（x）的奇偶性，及 f（x）的函数值的符号即可得出答案【详解】函数的定义域为 ， f（x）是奇函数，故 f（x）的图象关于原点对称，当 x0 时， ，当 0x1 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）0，故选：C【点睛】本题考查了函数的图象判断，一般从奇偶性、单调性、零点和函数值等方面判断，属于中档题12将函数 的图象所有点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移 个单位长度，最后得到图
8、象对应的函数为奇函数，则 的最小值为A B C D 第 8 页 共 17 页【答案】D【解析】根据函数 的图象变换规律，利用余弦函数图象的对称性和诱导公式，求得 的最小值【详解】由已知 将函数 的图象所有点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，可得 的图象；再把所得的图象向右平移 （ 0）个单位长度，可得 的图象；根据所得函数的图象对应的函数为奇函数， ，则 解得 ；令 k=-1，可得 的最小正值是 故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换规律以及余弦函数的图象与对称性问题，是中档题二、填空题13已知向量 若 ，则 _ .【答案】【解析】根据题意，由向量的坐标计算公式计算可得 的坐标，
9、进而由向量垂直与向量数量积的关系可得 ，即可得答案第 9 页 共 17 页【详解】已知向量 ，则 若 ，则即 .故答案为 .【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算以及向量的坐标计算，关键掌握向量数量积的坐标计算公式14已知 中，角 的对边分别为 若 且 ， 则_ .【答案】3；【解析】根据余弦定理，即可求得 a 的值【详解】因为 a=3b，b= a；又 c= ，且 cosC= ，c 2=a2+b22abcosC，5=a 2+ a22a a ，化简得 a2=9，解得 a=3故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题第 10 页 共 17 页15设函数 ，若 ，则实数 的取值范围是
10、_ .【答案】 ；【解析】对 m 分 m1 和 m1 两种情况讨论，即得 m 的取值范围.【详解】当 m1 时，lnm1=lne,所以 me,因为 m1，所以 me.当 m1 时，1-m1,所以 m0,因为 m1，所以 m0.所以 m 的取值范围为:故答案为：【点睛】本题主要考查分段函数和解不等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.16已知数列 是等差数列，前 项和为 ，满足 ，给出下列四个结论： ； ； ； 最小.其中一定正确的结论是_ （只填序号）.【答案】【解析】逐一判断每一个命题的真假得解.【详解】由题得， 所以该命题是真命题；， ，不一定为零，所以该命题是假命题；， ，
11、所以该命题是真命题.故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的通项和求和，考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.三、解答题17已知数列 ,点 在直线 上.第 11 页 共 17 页（1 ）求证：数列 是等差数列；（2 ）设 ，求数列 的前 20 项和 .【答案】(1)见解析(2)330【解析】（1）由已知： ，作差 ，即可证明；（2）由（1）知： 公差 ，当 时， ；当 时， 所以 ，即可求出.【详解】解：（1）由已知： 因为 （ ） 所以数列 是公差为 3 的等差数列 （2）由（1）知： 公差 ，当 时， ；当 时， 所以=【点睛】本题考查等差数列的证明，及求等差
12、数列的前 和，属基础题.18已知函数 .（1 ）求函数 的最小正周期；（2 ）当 时，求函数 的最大值与最小值.第 12 页 共 17 页【答案】(1) (2) 最大值为 ，最小值为【解析】（1）利用二倍角公式和诱导公式对函数的解析式进行化简整理，进而利用三角函数的周期公式求得函数的最小正周期（2）根据（1）中函数 f（x）的解析式确定 g（x）的解析式，利用两角和公式进行化简整理，进而利用正弦函数的性质求得 g（x）的最大值和最小值【详解】解：（1） ， 所以函数 的最小正周期为 （2） 因为 ，所以所以 所以函数 的最大值为 ，最小值为【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和
13、公式和二倍角公式的化简求值，以及三角函数的值域考查了学生综合运用所学知识的能力19设 为数列 的前 项和，已知 （1 ）证明： 为等比数列；（2 ）求 的通项公式，并判断 是否成等差数列？说明理由.【答案】 （1）见解析（2） , ， ， 成等差数列【解析】（1）直接利用定义证明 即得证.(2) 由（1）求 ，再计算得到 ，再计算 ，即 ， ， 成等差数列【详解】（1）证明： 第 13 页 共 17 页由题意知 ， ， 是首项为 2，公比为 2 的等比数列 （2）由（1）知， ， ， ， ，即 ， ， 成等差数列【点睛】（1）本题主要考查等比数列性质的证明，考查等比数列的通项的求法和分组求和，
14、意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 有一类数列 ，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列 是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.这叫分组求和法.20在 中，角 的对边分别为 且 .（1 ）若 求 的值；（2 ）若 ，且 的面积 ，求 和 的值【答案】(1) (2) 【解析】（1）先由余弦定理求得 ，再由正弦定理计算即可得到所求值；（2）运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简可得 sinA+sinB=5sinC，运用正弦定理和三角形的面积公式可得 a，b 的方程组，解方程
15、即可得到所求值【详解】解：（1）由余弦定理第 14 页 共 17 页由正弦定理 得 （2）由已知得：所以 - 又 所以 -由解得【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题21已知函数 .（1 ）当 时，求函数 的极值；（2 ）当 时，若对任意 都有 ，求实数 的取值范围.【答案】(1) ， (2) 【解析】（1）把 a=1 代入，找出导函数为 0 的自变量，看在自变量左右两侧导函数的符号来求极值即可（2）先根据导函数的解析式确定函数 f（x）的单调性，然后根据 a 的不同范围进行讨论进而确定其答案【详解】解：（1）当 时，所以
16、当 时， ， 为增函数时， ， 为减函数时， ， 为增函数第 15 页 共 17 页所以 ， （2） （ ） 所以 在 上单调递增；在 上单调递减；在 上单调递增； 当 时，函数 在 上单调递增所以函数 在 上的最大值是由题意得 ，解得： ，因为 , 所以此时 的值不存在 当 时， ，此时 在 上递增，在 上递减所以函数 在 上的最大值是由题意得 ，解得： 综上 的取值范围是【点睛】本题涉及到利用导函数求极值利用导函数求极值时，须先求导函数为 0 的根，再根据导函数为 0 的根左右两侧的符号来求极大值和极小值22设函数 .（1 ）当 时，求函数 的单调区间；（2 ）求函数 的极值.【答案】 （
17、1）递增区间为 ， ；递减区间是 （2）见解析【解析】直接利用导数求函数的单调区间.（2）对 a 分四种情况讨论求函数 的极值.【详解】（1） 的定义域为 ，当 时， 第 16 页 共 17 页所以当 时， ，函数 单调递增当 时， ，函数 单调递减当 时， ，函数 单调递增 综上，函数 递增区间为 ， ；递减区间是 （2） 当 时， ，函数 单调递增，函数 单调递减.所以 在区间 上有极大值 ，无极小值 当 时， ， 单调递增； ，单调递减； ， 单调递增所以 ， . 当 时， 在区间 上有 ，单调递增，无极值 当 时， ， 单调递增； ，单调递减； ， 单调递增所以 ， . 综上,当 时， 极大值为 ，无极小值；当 时， 极大值为 ，极小值为 ；当 时， 无极值；第 17 页 共 17 页当 时， 极大值为 ，极小值为【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
