1、22 直接证明与间接证明22.1 直接证明学习目标 1.了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法 .2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题知识链接1综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？答 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想” 2必修 5 中基本不等式 (a0，b0)是怎样证明的？a b2 ab答 要证 ，a b2 ab只需证 ab2 ，ab只需证 ab2 0，ab只需证( )20，a b因为( )20 显然成立，所以原不等式成立a b预习导引1
2、直接证明直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明通常称为直接证明综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式2综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止，这种证明方法通常称为综合法3分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明方法通常称为分析法.要点一 综合法的应用例 1 已知 a，b 是正数，且 ab1，求证： 4.1a 1b证明 方法一 a，b 是正数且 ab1，ab2 ， ， 4.ab ab12 1a 1b a bab 1ab方法二 a
3、，b 是正数，ab2 0，ab 2 0，1a 1b 1ab(ab) 4.(1a 1b)又 ab1， 4.1a 1b方法三 1 122 4.当且仅当 ab 时，取“” 1a 1b a ba a bb ba ab baab规律方法 利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件( 包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的优化解法(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过
4、程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结优化解法跟踪演练 1 在ABC 中，三个内角 A、B、C 对应的边分别为 a、b、c，且 A、B、C 成等差数列，a、b、c 成等比数列，求证：ABC 为等边三角形证明 由 A、B、C 成等差数列，有 2BAC.因为 A、B 、C 为ABC 的内角，所以 ABC . 由，得 B .3由 a、b、c 成等比数列，有 b2ac.由余弦定理及，可得 b2a 2c 22ac cosBa 2c 2ac .再由，得 a2c 2ac ac ，即(ac )20，因此 ac ，从而有 AC.由，得 ABC .所以ABC 为等边三角形3要点二 分析法的
5、应用例 2 设 a，b 为实数，求证： (ab)a2 b222证明 当 ab0 时， 0，a2 b2 (ab)成立a2 b222当 ab0 时，用分析法证明如下：要证 (ab)，a2 b222只需证( )2 2，a2 b2 22(a b)即证 a2b 2 (a2b 22ab)，即证 a2b 22ab.12a 2b 22ab 对一切实数恒成立， (ab)成立综上所述，不等式得证a2 b222规律方法 分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是
6、可以逆推的它的常见书写表达式是“要证只需”或“” 跟踪演练 2 如图所示，SA平面 ABC，ABBC ，过 A 作 SB 的垂线，垂足为 E，过 E 作SC 的垂线，垂足为 F.求证：AFSC.证明 要证 AFSC，只需证 SC平面 AEF，只需证 AESC(因为 EFSC) ，只需证 AE平面 SBC，只需证 AEBC (因为 AESB) ，只需证 BC平面 SAB，只需证 BCSA(因为 ABBC) 由 SA平面 ABC 可知上式成立，所以 AFSC.要点三 综合法和分析法的综合应用例 3 已知 a、b、c 是不全相等的正数，且 0abc.a b2 b c2 a c2由公式 0， 0， 0
7、，a b2 ab b c2 bc a c2 ac又a，b，c 是不全相等的正数， abc.a b2 b c2 a c2 a2b2c2即 abc 成立a b2 b c2 a c2log x log x log x b；b a；a b2 ab aba b2b a；b a .a b2 ab a b2 ab答案 3求证： g(x)恒成立，则实数 b4 x2的取值范围是_答案 (2 ，)10解析 由已知得3x b，h(x) 4 x22所以 h(x)6x 2b .4 x2h(x)g(x)恒成立，即 6x2b ，4 x2 4 x23xb 恒成立4 x2在同一坐标系内，画出直线 y3xb 及半圆 y (如图所
8、示) ，4 x2可得 2，即 b2 ，故答案为(2 ，) b10 10 107在ABC 中，三边 a，b，c 成等比数列，求证：acos 2 ccos 2 b.C2 A2 32证明 左边 a(1 cosC)2 c(1 cosA)2 (ac) (acosCc cosA)12 12 (ac) (a c )12 12 a2 b2 c22ab b2 c2 a22bc (ac) b 12 12 ac b2b b右边b2 32acos 2 ccos 2 b.C2 A2 32二、能力提升8设 0 xa，ab c.29p ，q (m，n，a，b，c ，d 均为正数)，则 p，q 的大小关系为ab cd ma
9、ncbm dn_答案 pq解析 q ab madn nbcm cd ab 2abcd cd p.ab cd10.如图所示，在直四棱柱 A1B1C1D1ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件_时，有 A1CB 1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形) 答案 对角线互相垂直解析 本题答案不惟一，要证 A1CB 1D1，只需证 B1D1垂直于 A1C 所在的平面 A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以 B1D1CC 1，故只需证 B1D1A 1C1即可11已知 a0，b0， 1.求证： .1b 1a 1 a 11 b证明 要证 成立，1 a11 b只需证 1a ，
10、11 b只需证(1a)(1 b)1(1b 0)，即 1baab1，abab，只需证 1，即 1.a bab 1b 1a由已知 a0， 1 成立，1b 1a 成立1 a11 b12求证抛物线 y22px (p0)，以过焦点的弦为直径的圆必与 x 相切p2证明 如图，作 AA、BB 垂直准线，取 AB 的中点 M，作 MM垂直准线要证明以 AB 为直径的圆与准线相切，只需证 MM AB12由抛物线的定义：AAAF，BB BF，所以 ABAABB，因此只需证 MM (AABB) ，12根据梯形的中位线定理可知上式是成立的所以以过焦点的弦为直径的圆必与 x 相切p2三、探究与创新13设数列a n的前
11、n 项和为 Sn，已知 a11， a n 1 n2n ，nN *.2Snn 13 23(1)求 a2的值；(2)求数列a n的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有 .1a1 1a2 1an 74(1)解 当 n1 时，2a 1a 2 1 2，2S11 13 23解得 a24.(2)解 2S nna n1 n3n 2 n，13 23当 n2 时，2S n1 (n1)a n (n1) 3(n1) 2 (n1)，13 23得 2anna n1 (n1)a nn 2n，整理得 nan1 (n1)a nn( n1) ，即 1， 1，当 n1 时，an 1n 1 ann an 1n 1 ann 211.a22 a11所以数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列ann所以 n，即 ann 2.ann所以数列a n的通项公式为 ann 2，nN *.(3)证明 因为 (n2)，1an 1n2 1(n 1)n 1n 1 1n
