1、3.6 勾股定理【教学内容】湘教版八年级数学上册第 9598 页 一、教学目标1 . 知识与技能：使学生掌握勾股定理，培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。2过程与方法：了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。3情感、态度与价值观：介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点1重点：勾股定理的内容及证明。2难点：勾股定理的证明。3难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。水退了，人们要重新画出田
2、地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。三、教学过程（一） 、新课引入已知树高 6 米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距8 米，那么猫头鹰至少飞过多少米？（二） 、探究定理1、画一画：让学生动手画一个直角边长为 3cm 和 4cm 的直角ABC,用刻度尺量出 AB 的长。以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“
3、把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。 ”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是 3，长的直角边（股）的长是 4，那么斜边（弦）的长是5。2、做一做（1） 、如图 1、以这个直角三角形的三边为边作三个正方形，探究这三个正方形的面积之间有什么关系。正方形 P Q R面积 9 16 25思考：问题 1：这三个正方形的面积分别为多少？你是怎么求的？问题 2：这三个正方形的面积之间满足一个什么等式？ 图 1问题 3：正方形的面积等于边长的平方，那么它们的面积用边长代入得到一个什么等式？问题 4：我们前面说过：在直角三角形中， 我们把较短的直角边叫勾，较长的直角
4、边叫股， 斜边叫弦，那么勾股弦之间满足一个什么等式？（2） 、再画一个两直角边为 5 和 12 的直角ABC，用刻度尺量 AB 的长。这个三角形的三边也满足勾 2+股 2=弦 2吗？3、议一议对于任意的直角三角形也有这个性质吗？4、猜一猜直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。即在ABC 中，C=90，A、B、C 的对边为 a、b、c，有a2b 2=c2【过渡语】猜想的结论是否正确须经过严格论证。证明该结论很难，许多数学家经过艰辛的努力，已想出很多种巧妙的证法，下面让大家体验一下其中的一种证法：我国三国时期的数学家赵爽创造的一种证法。5、探一探（小组活动）、请同学们拿出准备好的 4 个全等
5、的直角三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，三边QP R分别标好 a,b,c，拼出一个边长为 c 的正方形，利用面积相等进行证明（赵爽弦图，如图 2） 。【小组合作探究】 ，思考：问题 1：你拼的四边形是正方形吗？为什么？问题 2：图中分别有几个正方形？几个直角三角形？问题 3：大正方形由哪几个图形构成？问题 4：它们的面积之间满足什么样的关系？问题 5：分别怎么来表示它们的面积？、证明：如图 2 左（赵爽弦图）所示，其等量关系为：4S +S 小正 =S 大正 即 4 21ab（ba） 2=c2，化简可证。右图证明请同学们课后自己思考，教材第 9697 页有另一种证法，请同学们现在用 2 分钟看完
6、。6、归纳总结勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即在ABC 中，C=90，A、B、C 的对边为 a、b、c，有a2b 2=c2。我国称这个结论为“勾股定理” ，西方称它为“毕达哥拉斯定理” ，为什么呢？（1）介绍周髀算经中西周的商高（公元一千多年前）发现了勾三股四弦五 这个规律（2）介绍西方毕达哥拉斯于公元前 582493 时期发现了勾股定理；cb aD CA BcbCaBAbbbbccccaaaa图 3图 2（3）对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上（4）反思：公式变形：说明：直角三角形的边长为正数，所以取算术平方根。问题 1：勾股定理对所有的三角形都适用吗
7、？为什么？问题 2：勾股定理的条件是什么？结论是什么？结论：勾股定理揭示了在直角三角形中已知任意二边可以求第三边。（三） 、勾股定理的应用1、例题分析：例 1、如图 4，在ABC 中，C90 0，AB=17,AC=8，求 BC 的长。 分析：在这个直角三角形中，已知斜边和条直角边，求另一条直角边。根据勾股定 理可得 BC= 2ABC= 2178=15 方法小结：利用勾股定理建立方程。2、练习：在一个直角三角形中有二边分别是 3 和 4，那么另一边一定是 5 吗？（小组合作探究）（四）解决问题：已知树高 6 米，在树梢上有一猫头鹰，猫头鹰从树梢斜飞落地抓老鼠，落点与树根相距 8 米，那么猫头鹰至
8、少飞过多少米？c2=a2 + b2a2=c2 b2 b2 =c2-a2acb2a2b= c2-a26A解：如图5，在直角 ABC中AC = 6 , BC =8图 4CAB（五）小结： 1、本节课我们经历了怎样的过程？ 2、本节课我们学到了什么？3、学了本节课后我们有什么感想？（六）拓展练习：如图 6，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形 G的边长为 7cm,则正方形 A，B，C，D 的面积之和 为_cm 2。 （七）作业：1、教科书第 98 页练习 2、查资料找勾股定理其他证法。四、教学反思新课程改革要求我们：将数学教学置身于学生自主探究与合作交流的数学活动中；
9、将知识的获取与能力的培养置身于学生形式各异的探索经历中；关注学生探索过程中的情感体验，并发展实践能力及创新意识。为学生的终身学习及可持续发展奠定坚实的基础。为此我在教学设计中注重了以下几点：一、让学生主动想学上这节课前一个星期教师布置给学生任务：查有关勾股定理的资料（可上网查，也可查B C8所以 AB2 = AC2 + BC2= 62 + 82= 100所以 AB = 10答：猫头鹰 至少要飞10米. 图 5阅报刊、书籍）.提前两三天由几位学生汇总(教师可适当指导)。这样可使学生在上这节课前就对勾股定理历史背景有全面的理解，从而使学生认识到勾股定理的重要性，学习勾股定理是非常必要的，激发学生的
10、学习兴趣，对学生也是一次爱国主义教育，培养民族自豪感，激励他们奋发向上同时培养学生的自学能力及归类总结能力。二、在课堂教学中，始终注重学生的自主探究首先，创设情境，由实例引入，激发学生的学习兴趣，然后通过动手操作、大胆猜想、勇于验证等一系列自主探究、合作交流活动得出定理，并运用定理进一步巩固提高。体现了学生是数学学习的主人，人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。对于拼图验证，学生还没有接触过，所以在教学中教师给予学生适当指导与鼓励。充分体现了教师是学生数学学习的组织者、引导者、合作者。三、教会学生思维，培养学生多种能力课前查资料，培养学生的自学能力及归类总
11、结能力；课上的探究培养学生的动手动脑的能力、观察能力、猜想归纳总结的能力、合作交流的能力四、注重了数学应用意识的培养数学来源于实践，而又应用于实践。因此从实例引入，最后通过定理解决引例中的问题，并在定理的应用中，让学生举生活中的例子，充分体现了数学的应用价值。整节课都是在生生互动、师生互动的和谐气氛中进行的，在教师的鼓励、引导下学生进行了自主学习。学生上讲台表达自己的思路、解法，体验了数形结合的数学思想方法，培养了细心观察、认真思考的态度。但本节课拼图验证的方法以前学生没接触过，稍嫌吃力。另在举勾股定理在生活中的例子时，学生思路不够开阔。以后要多培养学生实验操作能力及应用拓展能力，使学生思路更开阔学优%中考 ，网
