1、1.2 有理数1有理数(1)定义：整数和分数统称为有理数(2)分类：按定义分类：有理数Error!按性质分类(正负性)：有理数Error!(3)理解：分类标准不同，分类结果也不一样；有理数的另一个概念：形如(m， n 为整数，且 n0)的数是有理数，整数可以看作是分母为 1 的数，小数(有限或无限mn循环)都可以化为分数，所以所有的有理数都可以写成分数的形式(4)集合：所有的正数在一起组成正数集合，所有的负数在一起组成负数集合，0 既不属于正数集合也不属于负数集合破疑点 有理数的理解 因为有限小数和无限循环小数都可以化为分数，所以有限小数和无限循环小数都是分数；按以上两种有理数的分类方式，我们
2、一般不把整数看作是分母为 1 的分数把整数和分数看作是不同类的数； 不是有理数，它是无限不循环小数，它可以取近似值为 3.14，但它不同于 3.14.【例 1】 把下列各数填入它所属的集合圈内：15， ，5， ， ，0.1，5.32，80,123,2.333.19 215 138分析：0.1，5.32,2.333 都是小学里学的小数，都能化为分数，归为分数类，其中5.32 又是负数，所以5.32 为负分数应注意在分类中要分清范围，不重不漏集合是具有某种特定性质的事物的总体，所以要加省略号解：2数轴的概念及画法(1)概念：一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化” ，通常用一条直线上的点表示
3、数，这条直线叫做数轴(2)三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可原点：在直线上任取一个点表示数 0，这个点叫做原点；正方向：规定直线上从原点向右(或向上)的方向为正方向，从原点向左(或向下)的方向为负方向；单位长度：选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3，原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，.(3)数轴的概念包含的意思：数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；原点的位置、单位长度大小的确定都是根据实际而定的一般取向右的方向为正方向原点是数轴的“基准点” (4)数轴的画法：要正确迅速地画出数轴，可按以下步骤进行：“画”就是
4、先画一条水平的直线；“取”就是在直线上选取一点表示原点(原点表示的数是 0)；“选”就是选择向右的方向为正方向(用箭头表示)，那么相反的方向，即从原点向左为负方向，然后选取适当的长度作为单位长度，用细短线在直线上画出；“标”就是从原点向右，依次标出 1,2，3，；从原点向左，依次标出1，2，3，.画数轴的步骤可简单归纳为“一画、二取、三选、四标” 解技巧 数轴的画法 画数轴时根据实际问题的需要可选取不同的数作为单位长度，同一数轴上的单位长度必须一致【例 2】 下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里分析：数轴三要素是画数轴必不可少的因素，三者同时具备，缺一不可，这也是初学画数轴时，判断数轴是
5、否正确的依据解：错，正方向标错；错，没有正方向；正确；错，没有单位长度；错，单位长度不统一；错，标错数字警误区 画数轴常出现的错误 (1)没有标明方向；(2)没有原点；(3)单位长度不一致；(4)负数的排列错误3.数轴上的点与有理数的关系(1)数对应点：每一个有理数都可以用数轴上的点表示出来，整数可以直接找到对应的整数点，分数可以分成多少份(分母的份数)，取其中的分子数份(2)点表示数：数轴上的每一个点都表示一个数(不仅仅是有理数)(3)一一对应：每个点都表示唯一的一个数，每个数都有唯一的对应点(4)理解：借助于数轴把数直观的排列在一条直线上，便于归类、比较若设 a 为一个正数，则数轴上表示数
6、 a 的点在原点的右边，与原点的距离是 a 个单位长度，表示 a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a 个单位长度谈重点 数轴上的点与有理数的关系 正数用原点右边的点表示，反过来原点右边的点都表示正数；负数用原点左边的点表示，反过来原点左边的点都表示负数；0 用原点表示，原点表示 0.【例 3】 下列语句：数轴上的点仅能表示整数；数轴是一条直线；数轴上的一个点只能表示一个数；数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；数轴上的点所表示的数都是有理数正确的说法有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：结合数轴上的点与有理数的特点，是错误的；中可以含有 0，中应该是所有的有理数都可以在数轴
7、上找出对应的点，但数轴上的点并不都表示有理数，以后学习的无理数也可以用数轴上的点表示所以、也错误，只有、是正确的，故选 B.答案：B所有有理数都可以在数轴上找到座位，但每个座位表示的数不一定是有理数4相反数(1)定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数特别地，0 的相反数是 0.(2)对称性：两个互为相反数的数，在数轴上的对应点(0 除外)，都在原点两旁，是距离原点相等的两个点即：互为相反数的两个数在数轴上的对应点关于原点对称，这两点到原点的距离相等解技巧 相反数的求法 在正数前面添上一个“”号，就得到这个正数的相反数，是一个负数；把负数前的“”号去掉，就得到这个负数的相反数，是一个正数；我们
8、把 a 的相反数记为 a.a 表示任意一个数，可以是正数、负数和 0.【例 4】 3 的相反数是_，5.8 是_的相反数， a 的相反数是_， a b 的相反数是_，0 的相反数是_解析：只有符号不同的两个数互为相反数，所以只改变符号即可，其中 a b 是一个数，是个整体，所以要加括号答案：3 5.8 a ( a b) 05运用相反数化简符号(1)理解：在任意一个数前面添上“”号，新的数就是原数的相反数如：5 的相反数表示为(5)，而 5 的相反数就是5，所以(5)5；5 的相反数表示为(5)，我们知道5 的相反数是 5，所以(5)5，因此运用相反数可以进行符号化简：(10)10，(6)6 等
9、；(2)分类：简单的符号化简共有 3 种情况：( a) a；( a) a；( a) a.(3)延伸：( a) a；( a) a 等00，表示 0 的相反数是 0.【例 5】 化简下列各符号：(1)(2)；(2)(5)；(3)(6)(共 n 个负号)解析：化简的法则是：结果的符号与负号的个数有关，有偶数个负号时，结果为正；有奇数个负号时，结果为负答案：(1)2；(2)5；(3)当 n 为偶数时，为 6；当 n 为奇数时，为6.6.绝对值(1)定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值(2)表示：数 a 的绝对值表示为| a|.(3)求法：一个正数的绝对值是它本身；一个负
10、数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0.用字母表示为：如果 a0，那么| a| a；如果 a0，那么| a|0；如果 a0，那么|a| a.归纳为| a|Error!来源:学优 WWW.ZK5U.COM谈重点 绝对值的理解 确定一个非零数的绝对值首先应看这个数是正数还是负数，是正数则是它本身，是负数则是它的相反数，特别是字母表示的数更应先确定正负，再去绝对值号；由定义可知，任何数的绝对值都是非负数，所以不存在绝对值是负数的数；绝对值是一个正数的数有两个，它们互为相反数【例 6】 绝对值为 4 的数是( )A4 B4C4 D2解析：绝对值是 4 的数有两个，4 和4.来源:学优 WWW.ZK
11、5U.COM不要弄错哦，绝对值为一个正数的数有两个，它们互为相反数答案：A7数的大小的比较(1)借助数轴比较数的大小：数轴上的点表示的数从左往右逐渐增大，并且右边的数总比左边的数大(2)正数、0、负数大小的比较：正数大于 0,0 大于负数，正数大于负数(3)用绝对值比较两个负数的大小：两个负数相比较，绝对值大的反而小解技巧 数的大小比较方法选择 数的比较一般有四种情况：正数、负数、0 的比较，直接按法则；正数之间的比较，符合小学认知，大就是大；两个负数大小的比较，一是比较绝对值的大小，绝对值大的反而小，二是表示在数轴上比较大小，右边的数总比左边的大；不是最简数，化为最简后再比较大小【例 7】
12、用“” “” “”填空：7_5；0.1_0.01； _ ；0_3.14；89 87 _0.25；14|3.2|_(3.2)解析：、为正数、负数、0 的大小比较，很显然 ，03.14；、89 87为两负数大小的比较，根据绝对值大的反而小知：75；0.10.01；是两正数的比较， 0.25；需要化简后比较，|3.2|3.2，(3.2)3.2，所以14|3.2|(3.2)答案： 谈重点 比较大小 异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值8有理数分类的应用延伸(1)按照不同的分类方法，数可以分为不同的类，但是无论按哪种方法分类，都必须全面、严密，不重不漏；(2)类似于某
13、同学是某学校、某年级、某班的学生一样，数的范围也有大小，比如：8 是有理数中的整数类，又是整数中的负整数，所以每个数既是大类别中的数，又归为不同的子类别；目前所学数中 不是有理数破疑点 0 的理解 0 既不是正数也不是负数，它是有理数，是整数，也是自然数；0 和正整数统称为自然数，没有负自然数；整数和分数中有正整数、0、负整数、正分数、负分数之分【例 8】 在下表适当的空格里画上“”号.有理数 整数 分数 正整数 负分数 自然数9 是2.35 是0 是5 是分析：正是由于数的范围大小不同，所以数归为不同的类如：9 是有理数，也是整数、是整数中的负整数，2.35 是有理数，也是分数，是分数中的负
14、分数解：有理数 整数 分数 正整数 负分数 自然数9 是 2.35 是 0 是 5 是 9绝对值的化简和计算化简绝对值符号主要根据绝对值的非负性，解题时看清楚“”号在绝对值符号的里面还是外面如果“”号在绝对值符号的里面，化简时把“”号去掉；如果“”号在绝对值符号的外面，化简时不能把“”号去掉解技巧 去绝对值的关键 化简绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的数是正数还是负数【例 9】 化简(1) ；(2)|24|；|23|(3) ；(4)|(7.5)|.| ( 312)|分析：先判断数的符号，再求绝对值解：(1) ；|23| 23(2)|24|24；(3) 3 ；| ( 312)| 12(4)|(
15、7.5)|7.5.10.数轴上两点间的距离与点表示的数之间的关系(1)数轴使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形的内在联系；正是这种联系，使得数轴上两点之间的距离与所表示的数之间存在密切关系(2)数轴上表示数 a 的点与原点之间的距离：当 a 为一个正数时，它与原点的距离是 a个单位长度，当 a 是负数时，它与原点的距离是| a|个单位长度；当 a 是 0 时，距离为 0；(3)注意：到某一点距离等于 a(a 是正数)的点有两个，在点的左右两侧各一个解技巧 数形结合求距离 解决此类问题的最好方法是画出数轴，并表示出所求的数，再求两点间的距离【例 101】 在数轴上，表示2 的点与原点的
16、距离是_；表示 的点与原点72的距离是_解析：2 在原点的左侧，到原点的距离是 2 个单位长度， 到原点的距离是 个单位72 72长度答案：2 72【例 102】 数轴上点 A 到原点 0 的距离等于 6，点 B 到原点 0 的距离等于 4，则A，B 两点之间的最大距离是_解析：如图，在数轴上，A 点到原点的距离是 6，所以 A 点可以是6,6 表示的点，即图中的 A1，A 2点，B 点是4,4 表示的点，即 B1，B 2点，A，B 两点之间的最大距离就是 A1B2或 A2B1的长度，它们相等，都是 6410，所以 A，B 两点之间的最大距离是 10 个单位长度答案：1011.字母表示的数的绝
17、对值的求法应用因为用字母所表示的数既可以是正数也可以是负数，还可以是 0，它具有不确定性，而求绝对值首先要考虑的就是符号，因此求字母表示的数的绝对值时，必须考虑题目中给定的条件，若有限定条件，就按限定条件求出，若没有限定条件，则要分正、负、0 三种情况讨论解技巧 绝对值的求法 限制型逆用求法，如：| a|6，那么 a6；开放型分类讨论求法：如求| x| x 的值，当 x0 时，| x| x，所以| x| x x x2 x，当 x0 时，|x| x，原式0，当 x0 时，原式0.化简型求法：如：|a|8|，| a|8|，| a|8|都能化为| a|8|8 解决【例 111】 如果| a|5，|
18、b|4， a b，那么 a_， b_.解析：因为5 的绝对值都是 5，所以 a5 或5，同样由| b|4 得 b4，当a5 时，54，54，所以 b4 都能使 a b 成立，而当 a5 时，54，54，所以 b4 都不能满足条件 a b，所以 a5， b4.答案：5 4【例 112】 若| a| b|，则 a， b 的关系是( )A a b B a bC a b 或 a b D a0 且 b0解析：方法一：因为绝对值相等，所以数 a， b 就数字部分看(不考虑符号)应该完全相同，只是符号有正、负两种情况，组合会有 4 种情况，当同正或同负时，两数的符号相同，数字部分又完全一样，所以相等，即 a
19、 b，异号时，两数只有符号不同，所以两数互为相反数，即 a b，所以两数要么相等，要么互为相反数，故选 C.方法二：此题还可以选择一些特殊的值，如 a2,3，5，那么相对应的b2，3，5，从而得到 a 与 b 的值同号时相等，异号时互为相反数，即 a b或 a b.答案：C12利用数轴解决生活中的实际问题本节知识常与运动问题结合在一起，利用数形结合将运动问题解决这种利用数形结合解决问题的方法是中考考查的热点题型之一数轴是一种数学工具，它使数和数轴上的点建立了对应关系，揭示了数与形之间的内在联系，也为我们研究问题提供了新的方法数轴是联系数与形的桥梁，是数形结合的具体体现，利用数轴可以解决生活中的
20、许多问题运用数轴可以直观表示点的移动，正确找出数在数轴上的对应点，会由数轴上的点的位置确定对应的数，是解决这类问题的关键【例 12】 超市、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，超市在书店西边20 米处，玩具店位于书店东边 50 米处小明从书店出来沿街向东走了 50 米，接着又向东走了80 米，此时小明的位置在何处？在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置，以及小明最后的位置分析：书店处于超市和玩具店之间，且书店与玩具店之间的距离是 50 米，书店与超市之间的距离是 20 米，这样可以画出数轴，即可表示出小明最后的位置解决点的移动问题，可画出数轴，在数轴上表示点的移动，关键是确定原点，最后的
21、点相对于原点来说，若在原点的右侧，表示的是正数，若在原点的左侧，则表示的是负数解：根据题意可以画出如图所示的数轴，小明位于超市西边 10 米处13.利用绝对值解决实际问题绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题，主要有以下两类：(1)判断物体或产品的质量用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好方法：求每个数的绝对值；比较所求绝对值的大小；根据“绝对值小的越接近标准”作出判断(2)利用绝对值求距离路程问题中，当出现用“” “”号表示带方向的路程，求最后实际路程时，实际上是求绝对值的和方法：求各个数的绝对值；求所有数的绝对值的和；写出答案
22、【例 131】 某汽车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取 6 件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检查结果如下：1 2 3 4 5 60.5 0.3 0.15 0.1 0 0.2用绝对值的知识说明哪个零件的质量最好？分析：质量的好坏取决于质量偏离标准质量的绝对值，即偏离橡胶垫的标准质量的绝对值越小，越接近标准，其质量就越好解：因为|0.5|0.3|0.2|0.15|0.1|0|，所以第 5 个零件的质量最好【例 132】 一天上午，出租车司机小王在东西走向的中山路上运营，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行车里程如下(单位：千米)：15，3，12，11，
23、13，3，12，18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米？解：|15|3|12|11|13|3|12|18|1531211133121887(千米)答：小王将最后一位乘客送到目的地时共行驶了 87 千米14.特殊值法的妙用(1)作用：字母表示数是代数的核心，用字母表示数为我们研究数学规律和方法提供了很多便利，但由于字母表示数的抽象性和不确定性，使含有字母的数的运算和大小的比较，变的复杂且不容易理解，取特殊值法为我们提供了简便的解法，也便于理解同时也揭示出由特殊到一般的探索过程(2)方法技巧：特殊值法取特殊值时，所取的值一定要符合题目要求，在所规定的范围内；要尽量简便，一般选取
24、较小或较简单的数，以简化计算过程；取适当的个数，并且按一定规律或顺序取值，以便于发现规律，正确解决问题；赋值要全面，要考虑周全，考虑各种适合的可能，这也是特殊值法得到的结论是否正确的关键特别要注意一些特殊数，如：0，1 等如例 142 中要按大于 1，等于 1，小于 1 三种情况分类讨论取值，从而全面了解了在 x 为正数条件下的各种情况【例 141】 若 a0， b0，且| a| b|，试用“”号连接 a， b， a， b.分析：常规解法要考虑各数值的正负，还要考虑绝对值的大小，借助于数轴解决但用特殊值法，在满足 a0， b0，且| a| b|的条件下，可以取 a2， b5，这时， a2， b
25、5，由于5225，所以 b a a b；同样可以再取一次别的数，当 a6， b7 时， a6， b7，由于7667，所以 b a a b；由此可知四个数的大小关系是 b a a b.解： b a a b.【例 142】 若 x 是正数，试比较 x 与 的大小1x分析：分三种情况列举取值，当 x1 时， x 的倒数 1，倒数等于原数，即 x ；当1x 1xx2,3,4，时， x 的倒数 分别为 ，此时原数都大于它的倒数，即 x ；当1x 121314 1xx ，或取小数 0.6,0.7，时， x 的倒数 分别为：2,3，或 ， ，此121334 1x 43 106 107时原数都小于倒数，即 x
26、 ，因此以 1 为分界，包括 1，共三种情况1x解：当 x1 时， x ；当 x1 时， x ；当 x1 时， x .1x 1x 1x15.借助数轴比较数的大小的应用对于简单的数的比较，如正数之间，正负数、0 之间数的大小的比较可以直接写出，但对于较多的数，或复杂的数的比较，有时候借助数轴会更简单，更直观，也便于理解，(1)依据：数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大(2)分类：具体的数的大小的比较，初学负数，特别是对于多个相近负数的比较，运用数轴会更准确、直观同时能培养学生的数感字母表示的数的大小的比较：根据数轴上字母表示的数的位置，根据相反数、绝对值意义，标出所求数的位置(所求数表示的点)
27、，再根据数轴上的点所表示数的大小规律，写出所求数的大小关系【例 151】 比较下列各数的大小：1.5，0.5，3.5，5.解：将这些数在数轴上表示出来，如图，从数轴上可以看出53.51.50.5.【例 152】 数 a， b 在数轴上的位置如图所示，下面所给的四个选项中正确的是( )A b a B| a| b|C a b D b a解析：因为 a0， b0，所以 b a，故排除 A；因为表示 b 的点到原点的距离比表示a 的点到原点的距离大，根据绝对值的定义可得| a| b|，故排除 B；在数轴上将 a、 b 的位置表示出来，如图所示，显然有 b a0 a b，故排除 C，故只有 D 正确答案：D
