1、2.3.2 双曲线的几何性质课时目标 了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，会根据几何性质求双曲线方程，及学会由双曲线的方程研究几何性质双曲线的几何性质标准方程 1x2a2 y2b2(a0，b0) 1y2a2 x2b2(a0，b0)图形焦点焦距范围对称性顶点轴长 实轴长_，虚轴长_离心率性质渐近线一、填空题1双曲线 1 的焦点到渐近线的距离为_x24 y2122下列曲线中离心率为 的是_(填序号)62 1； 1；x22 y24 x24 y22 1； 1.x24 y26 x24 y2103双曲线与椭圆 4x2y 21 有相同的焦点，它的一条渐近线方程为 y x，则双曲2线的方
2、程为_4在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线中心在原点，焦点在 y 轴上，一条渐近线方程为 x2y0，则它的离心率为_5已知双曲线 1 (a0，b0)的左、右焦点分别为 F1、F 2，点 P 在双曲线的右x2a2 y2b2支上，且 PF14PF 2，则此双曲线的离心率 e 的最大值为_6两个正数 a、b 的等差中项是 ，一个等比中项是 ，且 ab，则双曲线 152 6 x2a2 y2b2的离心率 e_.7在ABC 中，a，b，c 分别是A ，B，C 的对边，且 a10，cb6，则顶点 A 运动的轨迹方程为_ 8与双曲线 1 有共同的渐近线，并且经过点(3，2 )的双曲线方程为x29 y216
3、3_二、解答题9根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)经过点 ，且一条渐近线为 4x3y0；(154，3)(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为 .310.过双曲线 1 (a0，b0)的右焦点 F 作双曲线斜率大于零的渐近线的垂线 l，x2a2 y2b2垂足为 P，设 l 与双曲线的左、右两支相交于点 A、B.(1)求证：点 P 在直线 x 上；a2c(2)求双曲线的离心率 e 的取值范围；能力提升11设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果直线 FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_12设双曲线 C： y 21 (a0)与直线 l：x
4、y1 相交于两个不同的点 A、B.x2a2(1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围；（2）若设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且 ，求 a 的值PA 512PB 1双曲线 1 (a0，b0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为x2a2 y2b2(a，0)，实轴长为 2a，虚轴长为 2b；其上任一点 P(x，y)的横坐标均满足|x|a.2双曲线的离心率 e 的取值范围是(1，)，其中 c2a 2b 2，且 ，离ca ba e2 1心率 e 越大，双曲线的开口越大可以通过 a、b、c 的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围3双曲线 1 (a0，b0)的渐近线方程为 y x，也可记
5、为 0；与双x2a2 y2b2 ba x2a2 y2b2曲线 1 具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为 ( 0)x2a2 y2b2 x2a2 y2b223.2 双曲线的几何性质知识梳理标准方程 1x2a2 y2b2(a0，b0) 1y2a2 x2b2(a0，b0)图形焦点 F1(c,0)，F 2(c,0) F1(0， c)，F 2(0，c)焦距 |F1F2|2c范围 xa 或 xa，yR y a 或 ya，xR对称性 关于 x 轴、y 轴和原点对称顶点 (a,0)，(a,0) (0，a) ，(0，a)轴长 实轴长2a，虚轴长2b离心率 e (e1)ca性质渐近线 y xbay xab作业设计1
6、2 3解析 双曲线 1 的一个焦点为 F(4,0)，其中一条渐近线方程为 y x，x24 y212 3点 F 到 y x0 的距离为 2 .3432 32解析 e ，e 2 ，即 .62 32 c2a2 32 . .a2 b2a2 32 b2a2 1232y 24x 21解析 由于椭圆 4x2y 21 的焦点坐标为 ，则双曲线的焦点坐标为 ，(0， 32) (0， 32)又由渐近线方程为 y x，得 ，即 a22b 2，又由 2a 2b 2，得 a2 ，b 22ab 2 ( 32) 12，又由于焦点在 y 轴上，因此双曲线的方程为 2y24x 2 1.144. 5解析 设双曲线方程为 1，其中
7、一条渐近线方程为y2a2 x2b2y x， ，即 4a2c 2a 2，5a 2c 2，e 25，e .ab ab 12 ac2 a2 55.53解析 |PF 1PF 2|2a，即 3PF22a，所以 PF2 c a，即 2a3c 3a，即 5a3c，2a3则 .ca 536.133解析 ab5，ab6，解得 a，b 的值为 2 或 3.又 ab，a3，b2.c ，从而 e .13ca 1337. 1( x3)x29 y216解析 以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则 B(5,0)，C(5,0)，而 ABAC63)x29 y2168. 1x294 y24解析 所求双
8、曲线与双曲线 1 有相同的渐近线，可设所求双曲线的方程x29 y216为 (0)点( 3,2 )在双曲线上，x29 y216 3 . 329 23216 14所求双曲线的方程为 1.x294 y249解 (1)因直线 x 与渐近线 4x3y0 的交点坐标为 ，而 3a2. a2a2c2 b4b4 a4即 1，e .b2a2 1 b2a2 2故 e 的取值范围为( ， )211.5 12解析 设双曲线方程为 1(a0 ，b0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为x2a2 y2b2y x，ba而 kBF ，bc ( )1 ，整理得 b2 ac.ba bcc 2a 2ac0，两边同除以 a2，得 e
9、2e10，解得 e 或 e (舍去)1 52 1 5212解 (1)由双曲线 C 与直线 l 相交于两个不同的点得Error!有两个不同的解，消去 y 并整理得(1 a 2)x22a 2x2a 20，Error!解得 0，0 且 e .262 2双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是( ，)(62，2) 2(2)设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，P (0,1) ，( x1，y 11) (x2，y 21)，PA 512PB 512由此可得 x1 x2.x 1，x 2 都是方程的根，512且 1a 20，x 1x 2 x2 ，1712 2a21 a2x1x2 x ，消去 x2 得 ，5122 2a21 a2 2a21 a2 28960即 a2 .289169又a0，a .1713
