1、第九章 不等式与不等式组第一节、知识梳理一、学习目标来源:学优中考网1.掌握不等式及其解（解集）的概念，理解不等式的意义.来源:学优中考网2.理解不等式的性质并会用不等式基本性质解简单的不等式.3.会用数轴表示出不等式的解集.二、知识概要1.不等式：一般地，用不等号“” 、 “”表示不等关系的式子叫做不等式.2.不等式的解：一般地，在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.3.不等式的解集：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称之为此不等式的解集.4.一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式.5.不等式的性质：性质
2、一：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.性质二：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.性质三：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变.6.三角形中任意两边之差小于第三边.三、重点难点重点是不等式的基本性质及其应用，难点是不等式和不等式解集的理解.四、知识链接本周知识由以前学过的比较大小拓展而来，又为解决实际问题提供了一个解题的工具，并为以后学的不等式组打下基础.五、中考视点不等式也是经常考到的内容，经常出现在选择题、填空题中，以解不等式为主.有时在一些解答题中也要用到不等式，利用不等关系求范围等.第二节、教材解读1. 常用的不等
3、号有哪些？常用的不等号有五种，其读法和意义是：（1） “”读作“不等于” ，它说明两个量是不相等的，但不能明确哪个大哪个小.（2） “”读作“大于” ，表示其左边的量比右边的量大.（3） “”读作“小于” ，表示其左边的量比右边的量小.（4） “”读作“大于或等于” ，即“不小于” ，表示左边的量不小于右边的量.（5） “”读作“小于或等于” ，即“不大于” ，表示左边的量不大于右边的量.2. 如何恰当地列不等式表示不等关系？（1）找准题中不等关系的两个量，并用代数式表示.（2）正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、至少
4、等的确切含义.（3）选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来.根据下列关系列不等式：a 的 2 倍与 b 的 的和不大于 3.前者用代数式表示是 2a+ b.“不大于”就是“小于或等于”.列不等式为：2a+ b3.3. 用数轴表示不等式注意什么？用数轴表示不等式要注意两点：一是边界；二是方向.若边界点在范围内则用实心点表示，若边界点不在范围内，则用空心圆圈表示；方向是对于边界点而言，大于向右画，而小于则向左画.在同一个数轴上表示下列两个不等式：x-3；x2.第三节、错题剖析一 、去括号时，错用乘法分配律【例 1】 解不等式3x+2（2-4x）-15.诊断: 错解在去括号时，
5、括号前面的数 2 没有乘以括号内的每一项.正解: 去括号，得3x+4-8x-3.二、去括号时，忽视括号前的负号【例 2】 解不等式5x-3（2x-1）-6.错解: 去括号，得5x-6x-3-6，解得 x-6，所以-x-9，所以 x14，解得诊断: 去分母时，如果分子是一个整式，去掉分母后要用括号将分子括起来.错解在去掉分母时，忽视了分数线的括号作用.正解: 去分母，得6x-（2x-5）14，去括号，得6x-2x+514，解得五、不等式两边同除以负数，不改变方向【例 5】 解不等式 3x61+7x.错解： 移项，得3x7x1+6，即 4x7，所以诊断： 将不等式4x7 的系数化为 1 时，不等式
6、两边同除以4 后，根据不等式的基本性质：不等式两边同乘以或同除以同一个负数，不等号要改变方向，因此造成了错解.正解： 移项，得3x7xx-2.错解: 化简，得（m-1）x2（m-1） ，所以 x2.诊断: 错解默认为 m-10，实际上 m-1 还可能小于或等于 0.正解: 化简，得（m-1）x2（m-1） ， 当 m-10 时，x2； 当 m-19 可得 x3.所以原不等式组的解集为 2x3.诊断：由不等式性质可得，23，这是不可能的.正解：由不等式 2x39 可得 x3.所以原不等式组无解.【例 17】 解不等式错解：去分母，得 34x19x.移项，得4x9x13 合并，得13x2 系数化为
7、 1，得诊断：本题忽视了分数线的双重作用,去分母时,若分子为多项式,应对其加上括号.正解： 去分母，得 3（4x1）9x 去括号，得 34x+19x.移项，得4x9x-13 合并，得13x4 系数化为 1，得【例 18】 若不等式组 的解集为 x2，则 a 的取值范围是（ ）.A. a2 D. a2错解及分析：原不等式组可分为 得 a2.正解：应为 a2 ，故选 B.【例 19】解不等式组错解：，得不等式组的解集为 x0，则 ab；如果 aby，试比较代数式-（8-10x）与（8-10y）的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数 x 或 y 的值是多少？【思考与分析】根据求差法的步骤
8、我们先求出两个式子的差，然后再根据已知条件 xy，来判断这个差的符号，从而比较两个代数式的大小.解：由两式作差得-（8-10x）（8-10y） -8+10x+8-10y10x-10y.因为 xy，所以 10x10y，即 10x-10y0.所以-（8-10x）（8-10y）.又由题意得-（8-10x）0，即 x ，所以 x 最小的正整数值为 1.【例 7】有一个三口之家准备在假期出外旅行，咨询时了解到东方旅行社规定：若父母各买一张全票则孩子可以按全票的七折购票；而光明旅行社则规定：三人均可按团体票计价，即按全票的 80收费.若两家旅行社的票价相同，则实际哪家收费较低呢？【思考与分析】要比较哪家旅
9、行社的收费低，我们可以先用含有未知数的式子表示出两家旅行社需要的费用，然后根据求差法的步骤，求出两个式子的差，再根据已知条件判断这个差的符号即可比较出哪个旅行社的费用低.解：设这两家旅行社全票的价格为 a 元，依题意东方旅行社的收费为 2a70a2.7a，光明旅行社的收费为 3a802.4a.因为 2.7a2.4a0.3a0，所以实际上光明旅行社的收费较低.【反思】在解题时我们为什么设这两家旅行社全票的价格为 a 元呢？因为如果不设的话，我们即使知道用求差法比较大小，也无从下手.五、巧去括号【例 8】【思考与分析】 观察题目中的括号及数字的特点可先考虑去中括号，再去小括号，这样会使运算简便.解
10、：去中括号，得去分母，得 3x+6028+8x，移项，合并同类项，得-5x-32，【思考与分析】 观察题目中的括号及数字的特点可从里向外去小括号，给后面的运算带来方便.解： 去小括号，得六、巧用“整体思想”【例 9】 解不等式：【思考与分析】 观察题目中括号内外可知都有相同的项：2x-1，我们把 2x1 视为整体，再去中括号和分母，则可使运算简捷解： 3（2x-1）-9（2x-1）-95合并同类项得-6（2x-1）14解得反思： 我们在解带有括号的一元一次不等式时，我们要善于观察题目的特点，巧去括号可使运算简便. 【例 10】在欧洲足球锦标赛中，共有 16 支队伍参加比赛，争夺象征欧洲足球最高
11、荣誉的“德劳内杯”.16 支队伍被分成 4 个小组，进行单循环赛（即每个队需同其他三个队各赛一场） ，胜一场积 3 分，平一场积 1 分，负一场积 0 分，每组按照积分的前两名出线进入前八强，每个队在小组赛中需积多少分，才能确保出线？【思考与分析】根据题意，只有小组赛中的积分的前两名才能出线，我们可以分几种情况来讨论出线积分的多少.（1）若某一队三战全胜积 9 分，则同组的另一小队需保证小组第二才有出线的希望，在剩下的两场比赛中，它有六种可能：两场全胜积 6 分，一胜一平积 4 分，一胜一负积 3 分，两平积 2 分，一平一负积 1 分，两负积 0 分.（三场比赛，肯定有一场负）因此，在这种情
12、况中，至少积 6 分才能确保出线；（2）若某一队三战两胜一平积 7 分，则小组第二至少要两胜积 6 分才能出线；（3）若某一队三战两胜一负积 6 分，则其他两个队也可能三战两胜一负积 6 分，这样三队同积6 分，不能确保小组出线.由以上思考讨论可知，在小组赛中，积分可能出现三个队积分相同，为了确保出线，至少需积7 分，才能保证以小组第二的身份出线.解：需 7 分.【小结】通过解题过程我们知道做这类题的时候要注意：在足球比赛中，一般按积分多少排名次；积分相等的两队，净胜球数多的队名次在前；积分、净胜球数都相等的球队，进球数多的队名次在前；分析有关足球比赛的问题时，不能单纯的利用不等关系判断，还要
13、注意到相互之间的胜负关系.第五节、竞赛数学【例 1】满足 的 x 的值中，绝对值不超过 11 的那些整数之和等于 .【思考与分析】 要求出那些整数之和，必须求出不等式的绝对值不超过 11 的整数解，因此我们应该先解不等式.解： 原不等式去分母，得3（2x）2（2x1） ，去括号，移项，合并同类项，得x8，即 x8.满足 x8 且绝对值不超过 11 的整数有0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11.这些整数的和为（9）（10）（11）30.【例 2】 如果关于 x 的一元一次方程 3（x4）2a5 的解大于关于 x 的方程的解，那么（ ）.【思考与分析】 这道题把方程问题转化为解不等式
14、问题，利用了转化的数学思想.由于第一个方程的解大于第二个方程的解，只要先分别解出关于 x 的两个方程的解（两个解都是关于 a 的式子） ，再令第一个方程的解大于第二个方程的解，就可以求出问题的答案.解： 关于 x 的方程 3（x4）2a5 的解为关于 x 的方程 的解为由题意得 ，解得 .因此选 D.【例 3】 如果 ，2+c2，那么（ ）.A. a-ca+c B. c-ac+aC. ac-ac D. 3a2a【思考与分析】 已知两个不等式分别是关于 a 和 c 的不等式，求得它们的解集后，便可以找到正确的答案.解: 由所以 a2，得 c0，则有c0，得 ac0，从而 ac0，从而aa，两边同
15、时加上 c，可得 caca.【例 4】 四个连续整数的和为 S，S 满足不等式 ，这四个数中最大数与最小数的平方差等于 .【思考与分析】 由于四个数是连续整数，我们欲求最大值与最小值，故只须知四数之一就行了，由它们的和满足的不等式就可以求出.解： 设四个连续整数为 m-1，m，m+1，m+2，它们的和为 S4m2.由 19，来源:学优中考网 xyzkw解得 7m9.由于 m 为整数，所以 m8，则四个连续整数为 7，8，9，10，因此最大数与最小数的平方的差为 1027 251.从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离但除零以外，绝对值都是表示两个数的绝对值，即一个数与它相反
16、数的绝对值是一样的由于这个性质，含有绝对值号的不等式的求解过程出现了一些新特点一个实数 a 的绝对值记作a，指的是由 a 所惟一确定的非负实数：含绝对值的不等式的性质：（1） ab b|a|或 b-|a|，ab bab； （2） a-ba+ba+b； （3） a-ba-ba+b.由于绝对值的定义，含有绝对值号的代数式无法进行统一的代数运算通常的手法是按照绝对值符号内的代数式取值的正、负情况，去掉绝对值符号，转化为不含绝对值号的代数式进行运算，即含有绝对值号的不等式的求解，常用分类讨论法在进行分类讨论时，要注意所划分的类别之间应该不重、不漏下面结合例题予以分析【例 5】解不等式 x-5-2x+3
17、1【分析】 关键是去掉绝对值符号前后的变号.分三个区间讨论：解： （1）当当 x 时，原不等式化为-（x-5）-（2x+3） 1，解得 x-7，结合 x ，故 x-7 是原不等式的解；（2）当 x5 时，原不等式化为-（x-5）-（2x+3）1，解得 是原不等式的解；（3）当 x5 时，原不等式化为：x-5-（2x+3）1，解得 x-9，结合 x5，故 x5 是原不等式的解综合（1） ， （2） ， （3）可知， 是原不等式的解第六节、本章训练基础训练题1.不等式 x36 的非负整数解为（ ）.A. 1，2 B. 1，2，3C. 1，2，0 D. 1，2，3，02.已知三个连续奇数的和不超过
18、27 且大于 10，这样的数组共有（ ）.A. 1 个 B. 2 个C. 3 个 D. 4 个3. 的值不小于2，则 a 的取值范围是（ ）.4.若 2x 的值不大于 8 的值，那么 x 的正整数解是 .5.小明准备用 26 元钱买火腿肠和方便面，已知一根火腿肠 2 元，一盒方便面 3 元，他买了 5 盒方便面，还可以买多少根火腿肠？6.小华用最小刻度是 1 厘米的刻度尺，测量一本书的长，测得结果是 17.5 厘米，这 0.5 厘米是他估计的，并不准确，若设他所测量的书的长为 x 厘米，那么 x 应该满足的不等式是什么？答案1. C 2. B 3. C 4. 1，2，35.解：设还可以买 x
19、根火腿肠.由题意我们可列不等式 532x26，解得因为 x 必须为正整数，所以 x1，2，3，4，5.答：小明还可以买火腿肠的数目不超过 5 根.6.解：17x18.提高训练题1.解不等式2.李明在第一次数学测验中得 76 分，在第二次测验中得 92 分，设第三次测验的分数为 x，且三次的平均分不低于 85 分，求 x 的取值范围.来源:学优中考网3.小强去超市买某种牌子的衬衣，该种衬衣单价为每件 100 元，小强想买的衬衣数不少于 5 件，路上交通费为 10 元，小强准备钱时有以下几种选择：准备 400 元，准备 500 元，准备 510 元，准备 610元.请你说明哪种方案可行？4.某商城
20、以单价 260 元购进一批 DVD 机，出售时标价 398 元，由于销售不好，商场准备降价出售，但要保证利润不低于 10.小明说：“可降价 100 元.”小英说：“可降价 150 元.”小华说：“降价不能超过 112 元.”你同意他们谁的说法？5. 巧解下列不等式：（1） 0.375x-20.5x（2）（4）6. 解下列不等式：（1） 9-2（x2）6（2） 12-3x8-2x7. 已知答案2.解：由题意得我们可列不等式85，解得 x87.3.解：设小明准备了 x 元钱.我们由题意可列不等式 5.解得 x510.所以准备 510 元或准备 610 元都可以.4.解：设降价 x 元. 5. （1
21、） x-16（提示：不等式两边同乘 8） ；我们可以由题意列不等式 398-x26026010.解得 x112.所以小明和小华的说法是正确的.强化训练题1. 若实数 a1，则实数 Ma，N= 的大小关系是（ ）A PNM B MNPC NPM D MPN2. 若 0a1，则下列四个不等式中正确的是（ ）.3. a、b、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的有（ ） b+c0； a+ba+c； bcac； abacA1 个 B2 个 C3 个 D4 个.4.我市某初中举行“八荣八耻”知识抢答赛，总共 50 道抢答题.抢答规定：抢答对 1 题得 3分，抢答错 1 题扣 1 分，不抢答得
22、 0 分.小军参加了抢答比赛，只抢答了其中的 20 道题，要使最后得分不少于 50 分，问小军至少要答对几道题？5.已知前年物价涨幅（即前年物价比上一年，也就是大前年物价增加的百分比）为 20，去年物价涨幅为 15，预计今年物价涨幅降低 5 个百分点，为了使明年物价比大前年物价涨幅不高出 55，明年物价涨幅必须比今年物价涨幅至少再降低 x 个百分点（x 为整数）则 x（ ）.A. 6 B. 7 C. 8 D. 96.某商场计划投入一笔资金，采购紧销商品.经调查发现，如月初出售，可获利 15，并可用本和利再投资其他商品，则月末又可获利 10；如等到月末出售可获利 30，但需要支付仓储费用 700
23、元.请问根据商场资金多少，如何购销获利较多？7.小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有功率 100 瓦的白炽灯和 40 瓦的节能灯，它们的单价分别为 2 元和 32 元，经了解知道这两种灯的照明效果和使用寿命都是一样的.已知小王家所在地的电价为每度 0.5 元，请问当这两种灯的使用寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算。答案1. 【分析与解】 由于、都是含字母的式子，不易比较其大小不妨用特殊值法由 a1，取 a4，则 M=4，N=2，P=3，易知，故选 D注： 用特殊值法解选择题时，一般取能使运算简单的数为特殊值，如本例取 a=43. 【分析与解】 本题不妨取 a2.5，b0.5，c1.
24、5，这样就把利用不等式基本性质解答较难的问题变成了简单的计算题了，易知、正确，故选 C.4.【思考与解】 首先要清楚记分原则，抓住关键“最后得分不少于 50 分”，列出不等式解决问题.方法一： 设小军答对 x 道题，依题意，得3x（20-x）50，解得 x17.5.因为 x 为正整数，所以 x 的最小正整数为 18.方法二： 设小军答对 x 道题，依题意，得3204（20x）50，解得 x17.5.因为 x 为正整数，所以 x 的最小正整数为 18.方法三： 设小军答错 x 道题，依题意，得3204x50，解得 x2.5.因为 x 为正整数，所以 x 的最大正整数为 2，所以小军至少答对 18
25、 道题.5.C（提示：设大前年物价为 1，则前年物价为 120，去年物价为 1.20（1+15）1.38，预计今年物价为 1.381+（155） 1.518，明年物价为 1.5181+（10-x）1+55，解得 x7.9，因为 x 为整数，最小值为 8）6.解：设商场有本金 x 元，采取月初出售商品的办法到月末可共获利 y1元，采取月末出售商品的办法可以获利 y2元，则由题意可得y 1x1510（x15x）0.265x，y 230x7000.3x700，所以 y1y 2-0.035（x20000）.所以当 x 20000 时，y 1y 2，选月末出售.当 x20000 时，y 1y 2，选月初
26、出售.当 x=20000 时，y 1y 2，任选一种办法.7.解：设使用寿命超过 x 小时时，选择节能灯合算.由题意得解得 x1000.所以当这两种灯的使用寿命超过 1000 小时时，选择节能灯才合算.来源:学优中考网 xyzkw综合训练题一、填空题（每题 5 分，共 30 分）1.若 x32a 是不等式 的一个解，则 a 的取值范围是 .2.某份竞赛试卷共 20 道题，每一题答对得 10 分，答错或不答扣 5 分，小明得分超过了 90 分，则小明至少答对了 道题.3.已知点 P（a、b）在第二象限，向下平移 4 个单位后，得到点 Q，点 Q 在第三象限，那么 b 的取值范围是 .4.某商品的
27、进价是 1000 元，售价为 1500 元，由于销售不好，商店决定降价出售，但又要保证利润不低于 5，那么，商店最多降 元出售此商品.5.有 10 名菜农，每人可以种甲种蔬菜 3 亩或乙种蔬菜 2 亩，已知甲种蔬菜每亩可收入 0.5 万元，乙种蔬菜每亩可收入 0.8 万元，若要使总收入不低于 15.6 万元，则最多只能安排 人种甲种蔬菜.6.有关学生体质健康评价指标规定：握力体重指数 m（握力体重）100，初三男生的合格标准是 m35.若初三男生小明的体重是 50kg，那么小明的握力至少要达到 时才能合格.二、选择题（每题 6 分，共 30 分）7.若点（3a2，2b3）在第二象限，则 a、b
28、 的取值为（ ）.8.不等式 4x67x-15 的正整数解有（ ）.A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个9.不等式 的负整数解的积是（ ）.A. -2 B. 0 C. 2 D. 110.若关于 x 的方程（x2）3k 的根是负数，则 k 的取值是（ ）.11.要使 ，m 的取值范围只能是（ ）.三、解答题（共 40 分）12.（共 12 分）初三（1）班几个同学毕业前合影留念，每人交 0.7 元，一张彩色底片 0.68 元，扩印一张相片 0.50 元，每人分一张，在将收来的钱尽量用掉的前提下，参加照相的同学至少有多少名？13.（14 分）北京故宫博物馆内门票是每位 60 元，
29、20 人以上（含 20 人）的团体票可 8 折优惠.现在有 18 名游客买 20 人的团体票，问比买普通票共便宜多少钱？此外，不足 20 人时，多少人买 20 人的团体票才比普通票便宜？14.（14 分）从广东某地寄往香港的包裹邮资标准是：1 千克（不足 1 千克按 1 千克算）77.10元，达到或超过 1 千克后，每增加 1 千克（不足 1 千克按 1 千克算）加价 21.10 元.李先生寄出一个包裹的邮资是 161.50 元，他的包裹的重量在什么范围（单位：千克）？答案一、 1. （提示：由解的定义，我们把 x3-2a 代入不等式 即可得到 a 的取值范围.）2.13（提示：由题意，小明的
30、得分是由 10答对的题数5答错（或不答）的题数得到的，我们可设小明答对的题数为 x，可列不等式 10x5（20x）90，解得 ，题目数只能为整数，所以相当于 x13）3. 0b4.4. 450提示：利润率 ，由题意得 5，解得 x450.5.4（提示：设安排 x 人种甲种蔬菜，由题意可得 0.53x+0.82（10-x）15.6，解得x4）6.17.5（提示：将 m35 及小明体重代入已知等式中即可得）二、 7.C 8.B 9.C 10.A 11.A三、12.【解题思路】由题意可知，同学太少了，所交的钱不够用；同学太多了，钱剩下的也就多了，我们由 题中的限制条件“每人分一张，将收来的钱尽量用掉
31、”下可以列不等式0.68+0.5x0.7x 求解，可得至少参加照相的同学人数.解：设参加照相的至少有 x 名同学.由题意可列不等式 0.68+0.5x0.7x.解得 x3.4.因此参加照相的同学至少有 4 名同学.13.【解题思路】我们阅读题目后可知 18 位游客买普通票费用为 1080 元，买 20 人的团体票费用为 960 元，所以这 18 位游客买团体票比买普通票便宜，那么在少于 20 人的情况下到底多少人买团体票比买普通票花的钱少呢？ 由题意我们可列不等式 600.82060x 求解.解：18 位游客买普通票费用为 1080 元，买 20 人的团体票费用为 960 元.1080-960
32、120 元，所以便宜 120 元.设不足 20 人时，x 人买 20 人的团体票比买普通票便宜.由题意可列不等式 600.82060x.解得 x16，而 x20，所以 x17，18，19.14.【解题思路】邮资我们可以从 1 千克往上 1 千克 1 千克的加，可以得到李先生包裹重量的范围，但是这样太麻烦.我们可以由题意列不等式 77.1+21.1（x-1）161.50 求解，得到李先生包裹重量的范围.解：设李先生的包裹重 x 千克，显然，x1.由题意我们可列不等式 77.1+21.1（x-1）161.50 解得 x5.又因为 x4 时，邮资小于等于 140.40 元，不符合题意，所以 4x5.学优中考。 ，网
