1、1.3.1 正弦函数的图象与性质(三) 学习目标 1.掌握 ysin x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握ysin x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数 yAsin(x)的单调区间知识链接1怎样求函数 f(x)Asin(x )的最小正周期？答 由诱导公式一知：对任意 xR ，都有 Asin(x ) 2Asin(x)，所以 Asin Asin( x)，(x 2) 即 f f(x )，(x 2)所以 f(x)Asin(x)( 0)是周期函数， 就是它的一个周期2由于 x 至少要增加 个单位，f(x)的函数值才会重复出现，因此， 是函数 f(x)2| 2|As
2、in(x )的最小正周期2观察正弦曲线，正弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 正弦函数存在最大值和最小值，分别是 1 和1.预习导引正弦函数的图象和性质函数 ysin x图象定义域 (，)或 R值域 1,1奇偶性 奇函数周期 最小正周期：2单调性 在 上递增； 2 2k，2 2k在 上递减，其中 kZ2 2k，32 2k最值x 2k 时，y max1( kZ)；2x 2k 时，y min1(kZ)2对称性对称中心：( k，0)，对称轴：x k(kZ )2要点一 求函数的单调区间例 1 求函数 y2sin 的单调递增区间(4 x)解 y2sin 2sin ，(4
3、 x) (x 4)令 zx ，则 y2sin z.4因为 z 是 x 的一次函数，所以要求 y2sin z 的递增区间，即求 sin z 的递减区间，即 2k z2k (kZ)2 32所以 2k x 2k (kZ)，2 4 322k x2k (kZ)，34 74所以函数 y2sin 的递增区间为(4 x)(kZ)2k 34，2k 74规律方法 用整体替换法求函数 yAsin(x )的单调区间时，如果式子中 x 的系数为负数，先利用诱导公式将 x 的系数变为正数再求其单调区间再将最终结果写成区间形式跟踪演练 1 求下列函数的单调递增区间：(1)y12sin ；(6 x)(2)ylog sin x
4、.12解 (1)y12sin 12sin .(6 x) (x 6)令 ux ，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是 ysin u 的单调6递减区间，即 2k u2k (kZ)，2 32亦即 2k x 2k (kZ)2 6 32亦即 2k x2k (kZ )，23 53故函数 y12sin 的单调递增区间是 2k ，2k (kZ)(6 x) 23 53(2)由 sin x0，得 2ksin .( 18) ( 10)(2)sin 196sin(180 16) sin 16，cos 156cos(18024)cos 24sin 66 ，0sin 66，即 sin 196cos 156
5、.规律方法 用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小跟踪演练 2 比较下列各组数的大小(1)sin 与 sin ；( 376) (493)(2)cos 870与 sin 980.解 (1)sin sin sin ，( 376) ( 6 6) ( 6)sin sin sin ，(493) (16 3) 3ysin x 在 上是增函数， 2，2sin sin 60，sin 60sin 80 ，即 cos 870sin 980.要点三 正弦函数的最值(值域 )例 3 (1)求函数 y32sin x 取得最大值、最小值
6、时的自变量 x 的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数 f(x) 2sin2 x2sin x ，x 的值域12 6，56解 (1)1sin x1，当 sin x1，即 x2k ，k Z 时，y 取得最大值 5，相32应的自变量 x 的集合为Error!.当 sin x1，即 x2k ， kZ 时，y 取得最小值 1，相应的自变量 x 的集合为Error!.2(2)令 tsin x，yf(t) ，x ，6，56 sin x1，即 t1.12 12y2t 22t 2 21，1y ，12 (t 12) 72函数 f(x)的值域为 .1，72规律方法 (1)形如 yasin xb 的函数的最值
7、或值域问题，利用正弦函数的有界性(1sin x1)求解求三角函数取最值时相应自变量 x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性(2)求解形如 yasin 2 xbsin xc，x D 的函数的值域或最值时，通过换元，令 tsin x，将原函数转化为关于 t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可求解过程中要注意tsin x 的有界性跟踪演练 3 求函数 ysin cos 的周期、单调区间及最大、最小值(3 4x) (4x 6)解 ，(3 4x) (6 4x) 2cos cos(4x 6) (6 4x)cos sin .2 (3 4x) (3 4x)从而原式就是 y2sin ，这个函数的最小正周期
8、为 ，即 T .(4x 3) 24 2当 2k4x 2k (kZ)时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为2 3 2(kZ) 524 k2，24 k2当 2k4x 2k (kZ)时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为2 3 32(kZ)24 k2，724 k2当 x (kZ)时，y max2；24 k2当 x (kZ)时，y min2.524 k21函数 y2 sin x的单调增区间是( )A2k ，2 k (kZ)2 2B2k ，2k (kZ)2 32C2k ，2k(kZ)D2k，2k( kZ)答案 A解析 函数 y2 x为增函数，因此求函数 y2 sin x的单调增区间即求函数 ysin
9、 x 的单调增区间2函数 ysin ，x 的值域是( )(x 23) 0，2A. B. 32，12 12，32C. D.32，1 12，1答案 B解析 0x ， x .2 23 23 76sin sin sin ， y .76 (x 23) 23 12 32故选 B.3下列不等式中成立的是( )Asin sin Bsin 3sin 2( 8) ( 10)Csin sin Dsin 2cos 175 ( 25)答案 D解析 sin 2sin ，cos 1sin ，( 2) (2 1)且(2) 10 ， 2 10，(2 1) 2 2 2sin( 2)sin ，即 sin 2cos 1.(2 1)4
10、求函数 yf( x)sin 2x4sin x5 的值域解 设 tsin x，则|t|1，f(x)g(t) t 24t5(1t 1)g(t)t 24t5 的对称轴为 t2.开口向上，对称轴 t2 不在研究区间 1,1内g(t)在 1,1上是单调递减的，g(t) maxg( 1)(1) 24 (1) 510，g(t)min g(1)1 24152，即 g(t)2,10所以 yf(x) 的值域为2,101.求函数 yAsin( x)(A0，0)单调区间的方法是：把 x 看成一个整体，由2k x 2k (kZ)解出 x 的范围，所得区间即为增区间，由2 22k x 2k (kZ)解出 x 的范围，所得
11、区间即为减区间若 sin Bsin sin Csin sin Dsin 与 sin 的大小不定答案 D2函数 ysin 2xsin x 1 的值域为( )A1,1 B. 54， 1C. D. 54，1 1，54答案 C解析 ysin 2xsin x 1 2 ，(sin x 12) 54当 sin x 时， ymin ，当 sin x1 时，y max1.12 543函数 y|sin x|的一个单调增区间是 ( )A. B.( 4，4) (4，34)C. D.(，32) (32，2)答案 C解析 由 y|sin x|图象易得函数单调递增区间 k，k ，kZ ，当 k1 时，得2为 y|sin x
12、|的单调递增区间(，32)4下列关系式中正确的是( )Asin 110 且单调递减的区间为此，12 (x2 3) (x2 3)x 满足：2k 0)在区间 上的最小值是2，则 的最小值等于( ) 3，4A. B. C 2 D323 32答案 B解析 由题意知Error!解得 . min .32 3210若|x| ，则函数 f(x)cos 2xsin x 的最小值是_4答案 ( 1)12 2解析 由 cos2x1sin 2x，故 f(x)1sin 2xsin x ，令 sin xt ，由|x | ，由图象知 t ， ，4 22 22故函数化为 yt 2t1(t )2 ，12 54当 t 时，y min ( 1) 22 12 22 12 211已知 是正数，函数 f(x)2sin x 在区间 ， 上是增函数，求 的取值范围3 4解 由 2kx 2k(kZ )，得2 2 x (kZ)2 2k 2 2kf(x)的单调递增区间是 ， ，kZ .2 2k 2 2k根据题意，得 ， ， 3 4 2 2k 2 2k从而有Error! 解得 00 时，f( x)max2ab1，f(x)min a b5.3由Error! 解得Error!当 a0 时，f( x)max ab 1，3f(x)min2ab5.
