1、第六章 实数6.1 平方根【第一课时】教学目标：【知识与技能】了解平方根与算术平方根的概念，理解负数没有平方根及非负数开平方的意义。【过程与方法】理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示，能用科学计算器求平方根及其近似值。【情感、态度与价值观】体会平方与开平方这一对互逆运算的辩证关系，感受平方根在现实世界中的客观存在，增强数学知识的应用意识。【教学重点】理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示。【教学难点】会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示。【教具准备】小黑板 科学计算器【教学过程】一
2、、导入1、通过七年级的学习，相信同学们都对数学这门课程有了更深入的认识，这个学期，我们将一起来学习八年级的数学知识，这个学期的知识将会更加有趣。2、板书：实数 1.1 平方根二、新授（一）探求新知1、探讨：有面积为 8 平方厘米的正方形吗？如果有，那它的边长是多少？（少数学习超前的学生可能能答上来）这个边长是个怎样的数？你以前见过吗？2、引入“无理数”的概念：像 （2.82842712）这样无限不循环的小数就叫做无理数。3、你还能举出哪些无理数？（ 2， 3） 4、 9、1/3 是无理数吗？4、有理数和无理数统称为实数。（二）知识归纳：1、板书：1.1 平方根2、李老师家装修厨房，铺地砖 10
3、.8 平方米，用去正方形的地砖 120 块，你能算出所用地砖的边长是多少吗？（0.3 米）3、怎么算？每块地砖的面积是：10.8 120=0.09 平方米。由于 0.32=0.09，因此面积为 0.09 平方米的正方形，它的边长为 0.3 米。4、练习：由于（ ）=400，因此面积为 400 平方厘米的正方形，它的边长为（ ）厘米。5、在实际问题中，我们常常遇到要找一个数，使它的平方等于给定的数，如已知一个数 a，要求 r，使 r2=a，那么我们就把 r 叫做 a 的一个平方根。 （也可叫做二次方根）例如 22=4，因此 2 是 4 的一个平方根；6 2=36，因此 6 是 36 的一个平方根
4、。6、说一说：9，16，25，49 的一个平方根是多少？（三）探求新知：1、4 的平方根除了 2 以外，还有别的数吗？2、学生探究：因为（-2） 2=4，因此-2 也是 4 的一个平方根。3、除了 2 和-2 以外，4 的平方根还有别的数吗？（4 的平方根有且只有两个：2 与-2。 ）4、结论：如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与-r。5、我们把 a 的正平方根叫做 a 的算术平方根，记作 ，读作：“根号 a”；把 a 的负平方根记作- 。6、0 的平方根有且只有一个：0。 0 的平方根记作 0，即 =0。7、负数没有平方根。8、求一个非负数的平方根，叫做
5、开平方。（四）巩固练习：1、分别求下列各数的平方根：36，25/9，1.21。（6 和-6，5/3 和-5/3，1.1 和-1.1） （也可用 号表示）2、分别求下列各数的算术平方根：100，16/25，0.49。 （10，4/5，0.7）三、小结与提高：1、面积是 196 平方厘米的正方形，它的边长是多少厘米？2、求算术平方根：81，25/144，0.166.1 平方根【第二课时】【知识与技能】通过学习，进一步熟悉开平方的运算过程，能熟练的进行开平方的运算过程。【过程与方法】理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示，能用科学计算器求平方根及其近似
6、值。【情感、态度与价值观】体会平方与开平方这一对互逆运算的辩证关系，感受平方根在现实世界中的客观存在，增强数学知识的应用意识。【教学重点】理解开平方与平方是一对互逆的运算，会用平方根的概念求某些数的平方根，并能用根号加以表示。【教学难点】能熟练的进行开平方运算，并熟悉各种不同形式的开平方运算，为后续学习打下基础。【教具准备】小黑板 科学计算器【教学过程】一、复习导入1、求下列各数的平方根：0.81， 49/64， 2、 8的算术平方根是（ B ）A 3 B3 C 9 D9二、新授（一）平方根与算术平方根1、如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与-r。我们把
7、a 的正平方根叫做 a 的算术平方根，记作 ，读作：“根号 a”；把 a 的负平方根记作-。2、0 的平方根有且只有一个：0。0 的平方根记作 0，即 =0。3、负数没有平方根。4、求一个非负数的平方根，叫做开平方。5、小结：平方根的性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 只有一个平方根，它就是 0 本身；负数没有平方根。算术平方根的性质 正数的算术平方根是正数；0 的算术平方根就是 0；负数没有算术平方根。（二）课堂练习1、求下列各数的算术平方根：8+（ ） 2； b 2-2b+1 (b0，则 53x的值是（ ）A3 B9 C / D3三、解答题：1、 4； 2、4x 2-49=0；
8、 3、 （25/81）x 2=1；4、求 8+（-1/6） 2的算术平方根；5、求 b2-2b+1 的算术平方根；（b1）6、7、 ；（用四舍五入方法取到小数点后面第三位）8、肖明家装修用了大小相同的正方形瓷砖共 66 块，铺成了 10.56 平方米的房间，肖明想知道每块瓷砖的规格，请你帮助算一算。四、小结与巩固6.2 立方根教学目标1通过对具体问题的分析，使学生感受到立方根在 现实生活中的客观存在，了解立方根的概念。2会求某些数的立方根，会用科学计算器求立方根及其近似值。教学过程一创设 情境，导入新课1复习：（1）什么叫平方根？什么叫算术平方根？（2）平方根有什么性质？2动脑筋：一个正方体水
9、晶砖，体积为 8 立方厘米，它的棱长是多少？二合作交流，探究新知413011交流 讨论上面问题 2，引入立方根的概念32=8 ， 体 积等于 8 立方厘米的正方体，它的棱长是 2 厘米。在实际问题中常常要找一个数使它的立方等于一个给定的数，如果一个数 b，使得3ab，那么我们把 b 叫作 a 的一个立方根。如： 38，则 叫 的一个立方根。我们知道非负数 a 的平方根可以表示为： a，怎样表示 a 的立方根呢？2通过具体 问题探究立方根的性质，从而引入 立方根的表示方法。说一说下列各数的一个立方根 27、-27、64、-64、 ，0，0.001。-0.001思考：（1）一个正数的平方根有两个，
10、一个正 数的立方根会不会也有两个呢？（ 2）负数 没有平方根，负数有没有立方根？为什么会有这样的区别？（3）一个非负数的平方根表示为 a，一个数 a 的立方根怎么样表示呢？（注意强调一方面怎样区别二次方根与 三次方根，另一方面说明三次方根前为什么不要带“ ”）3开立方运算的概念我们知道求一个数的平方根的运算叫开平方根， 求一个数的立方根的运算叫什么呢？求一个数的立方根，就叫对这个数开立方。三、应用迁移，巩固提高1.利用立方根的定义求立方根例 1 求下列各数的立方根125，-216，1000， 827，-0.027， 3(9)2.加深立方根定义的理解例 2 （1）我们知道 32=8 2 是 8
11、的立方根，8 的立方根记着： 38，因此， 3=2，所以 3(8)，由此你发现了 什么呢？一个数的立方根的立方就等 于这个数。你能用字母表示吗？（ 3()a）（2）如果 3ra，那么 r 叫 a 的立方根，如果 3r，那么 r 叫谁的立方根呢？r 等于多少呢？ 的立方根怎么表示呢？你发现了什么？ 3()=a,(3)求下列各式的值 33388,0.64,512， 1027例 3 解方程：3.用计算器求一个数的立 方根例 4 用计算器求下列各数的立方根343 ，-1.331例 5 用计算器求 32的近似值（ 用四舍五人法取 到小数点后面第三位）4.立方 根的应用例 6 如果球的半径为 r 那么球的
12、体积可用公式 34=vr球 来计算，当球的体积为 5003cm时， 求球的半径 r（ 取 3.14，精确到 0.01）四、课堂练习，巩固提高求下列各式的值： 3336410,.1,25， 38， 31742五、反思小结，巩固提高填写下表平方根 立方 根定义性 质举例6.3 实数（第一课时）教学目标1了解实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应；2了解有理数运算律在实数范围内仍然适用；3会估计一个无理数的范围。教学重点难点重点：实数的概念、有理数运算律在实数范围内也适用难点：理解实数与数轴上的点一一对应。教学过程一、创设情境，引入新课1 什么叫有理数？什么叫无理数？2 下列各数中，哪些是有理数？
13、哪些是无理数？ 3-0.429-273、 、 、 、 、 、 、二、合作交流，探究新知1、实 数的 概念有理数和无理数统称为实数，所以的实数组成的集合叫作实数集。2、实数与数轴上的点的关系我们知道所有的有理数可以用数轴上的点来表示，无理数可不可以用数轴上的点来表示呢？（1） 怎 样用数轴上的点来表示 ?方法：把半径等于 12的圆放到数轴上，圆上一点 A 与原点重合，圆沿着数轴滚动一周，点 A的终点表示 （做一个教具演示）A 3210（2）怎样表示无理数 8、 ？方法：从第 5 页的探究问题可以知道边长为 2 的正方形的对角线长为 8、 ，因此，以 0为圆心，以边长为 2 的正方形的对角线长为半
14、径作弧与数轴的交点就是 、 （教师示范）总结：其实每一个实数数都可以用数轴上的点来表示，因此数轴上的每一个点都表示唯一的一个实数。这两层意思合起来就是 ：实数和 数轴上的点一一对应 。观察数轴：正实数在数轴上什么位置？负实数呢？正、负实数与零点大小有什么关系？正实数在原点的右边，负实数在原点的左边，正实数大于零，负实数小于零。2、实数怎样分类？（1）有理数怎样分类？按正、负性分： 0正 有 理 数有 理 数 负 有 理 数按整、分性分： 整 数有 理 数 分 数（2）实数怎样分类呢？模仿有理数的分类请你给 实 数分类。-整 数有 理 数 有 限 或 无 限 循 环 小 数实 数 分 数无 理
15、数 无 限 不 循 环 的 小 数8 432100正 有 理 数正 实 数 正 无 理 数实 数 负 有 理 数负 实 数 负 无 理 数3、有理数范围内的一些数学概念，运算法则，运算定律是否适合无理数呢？请你回顾：(1)几个常用概念 什么叫相反数？只有符合不同的两个数叫互为相反数，零的相反数是零。这个概念适合实数，如： 2-与是一对互为相反数，实数 a 的相反数是_,实数（a+b ）的相反数是_,实数（a-b）的相反数是_.什么叫绝对值?数轴上一个数表示的点离开原点的距离叫这个数的 绝对值。这个概念也 适合实数。如：2=-2、考考你：A、一个正实数的绝对值等于_, B、一个负 实数的绝对值等
16、于_C、零的绝对值等于_, D、什么数的绝对值等于本身？E、什么数的绝对值等于它的相反数？ F、互为 相反数的两个实数的绝 对值有什么关系？什么叫互为倒数？如果两个数的积等于 1，这两个数叫互为倒数。其中一个叫另一个的倒数。这两个数也可以是实数，如： 12=， 2的倒数是 1（2）有理数范围内学过有哪些运算定律？请你用语言叙述，用式子表达。加法交换律:a+b=_,加法结合律:(a+b)+c=_ 乘法交换律:ab=_乘法对加法的分配律:a(b+c)=_,这些字母 a、b、c 可以代表实数。（3）有理数范围内学过下列运算法则，你还记得吗？ a+0=_,a+(-a)=_, 1a=_,a-b=_,a
17、b=_这些法则也适合实数，即字母 a、b 可以代表实数（4）在有理数范围内，如果两个数都不等于 0，这两个数的乘积会等于 0 吗？在实数范围内也有这条性质，即如果 ,则 ab(5)在有理数范围内怎样比较大小？如果 a-b0，则 ab,如果 a-b0,则 ab,正数大 于负数，两个负数，绝对值小的反而大，数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。在实数范围内也可以这样比较大小。（6）以前学过的数、式、方程（组） 、不等式（组）的性质、解法、对于实数也同样适用。（7）平方根、立方根的概念和性质对于实数也同样适用。三应用迁移，巩固提高例 1 把下列各数填入相应的集合内：-5，3.7，.332,8
18、25,0,40.2.(21每 两 个 之 间 多 一 个 ）填入相应的集合里。有理数集合_,无理数集合_,正实数集合_,负实数集合_. 3827125相反数例 2 填表例 3 实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，则化简 2ab的结果是（ ）A、2a+b B、b C、2a-b D、b例 4 不用计算器估计 52与 的大小例 5 不用计算器，估计 -1与 的大小四课堂练习，巩固提高：P 15 1.2五反思小结，拓展提高这节课内容比较杂，你认为重点要掌握什么？1实数的概念 2.有理数范围内的概念和运输法则运算定律都适合实数。6.3 实数（第二课时）教学目标1.知道有效数字的概念；2.会按要求进行近
19、似数的运算教学过程一、创设情境，导入新课1.什么叫实数？实数怎么分类？2.在有理数范围 内学过的概念、运算法则、运算定律、性质，在实数范围内还适应吗？倒数绝对值ba 03.做一做如果正方形 ABCD 的面积为 3 平方厘米，正方形 EFGH的面积为 5 平方厘米，这两个正方形的 边长的和大约是多少厘米(精确到小数点后面第一位)？二、合作交流，探究新知1 交流上面问题的做法（1）估计同学们会有两种做法：用计算器分别求 35、 的近似值，用四舍五入取到小数点后面第一位，然后相加，得： 3+51.72=3.9（厘米）（2）用计算器直接求出 的近似值，用四舍五入取到小数点后面第一位，得：3+54.0如
20、果没有两种做法，也要想办法引出这两种做法两种做法的答案不同，哪一种答案正确呢？请同学们把第一种做法修改一下：将 35、 的近似值 分别取到小数点后第二位，然后相加。你发现了什么？这时两种做法的答案就一样了。从这个例子看出，在进行实 数的加减运算时，如果要求答案取到小数点后面第一位，那么参与运算的每一个实数的近似值应当多一位，即取到第二位，最后结果才取到小数点后面第一位。2、引入 有效数字的 概念在上面运算中 1.73 是 3的近似值，它是用四舍五入 得到的，1、7、3 叫近 似数 1.73的三 个有效数字。什么叫近似数的有效 数字呢？先思考：0.010256 精确到小数点后 面第三位，等于多少
21、呢？0.0102560.0103近似数 0.0103 有三个有效数字 1、0、3H GFED CBA现在你能说说，什么叫近似数的有效数字吗 ？从第一个不是零点数字起到最后一个不数字止的所有数字叫近似数的有效数字。考考你：1 近似数 0.03350 有几个有效数字，分别是 _.2 125 万保留两个有效数字等于_3 8.610有_个有效数字。3、怎样进行近似值的运算？（1） 在近似数的加减法运算 中，如果被减数与减数相差较大，那么参与运算的最大数多取一位有效数字，其余的数取到 与最大数最低位相对应的那一位止。例 1 计算： 27.65+0.02856+-3.414（保留三个有效数字）提醒：最后一
22、位数字为 0，不能省略。（2）在进行近似数的乘法和除法运算中，参与运算的每一个数应多取一位有效数字。例 2 在上面做一做问题中 ，如果分别以正方 形 ABCD、EFGH 的边长作为宽与长，做一个长方形，那么这个长方形的面积大约是多少平方厘米（保留三个有效数字）考考你：1.计算（精确到小数点后面 第二位） （1） 2+3， （2） 5-12.计算（保留三个有效数字） （1 ） 57 （2） -三、应用迁移，巩固提高例 3（1）一个正 方形的体积变为原来的 27 倍，它的棱长变为多少倍？表面积变为原来的多少 倍？变式：上面问题中 27 倍改为：8 倍，其他不变例 4 已知 5+7,57,ab的 小 数 部 分 是 的 小 数 部 分 是 求 a+b 的值。例 5 设 a、b 为实数，且 241026b求 10a的值。四、反思小结，拓展提高这节课，你认为最重要的是什么？1.有效数字的概念；2.实数的近似数的计算
