1、1.2 30、 45、60角的三角函数值课时安排1 课时从容说课本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上，经历探索 30、45、60角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义，并能够进行含有 30、45、60角的三角函数值的计算.因此本节的重点是利用三角函数的定义求 30、45、60这些特殊角的特殊三角函数值，并能够进行含有 30、45、60角的三角函数值的计算.难点是利用已有的数学知识推导出 30、45、60这些特殊角的三角函数值.三角尺是学生非常熟悉的学习用具，教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中，30角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索 30、45
2、、60角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力.第三课时课 题1.2 30，45，60角的三角函数值教学目标 (一)教学知识点1.经历探索 30、45、60角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行 30、45、60角的三角函数值的计算.3.能够根据 30、45、60的三角函数值说明相应的锐角的大小.(二)思维训练要求1.经历探索 30、45、60角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.2.在数学活动
3、中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教具重点1.探索 30、45、60角的三角函数值.2.能够进行含 30、45、60角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.教学难点进一步体会三角函数的意义.教学方法自主探索法教学准备一副三角尺多媒体演示教学过程.创设问题情境，引入新课问题为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：含 30和 60两个锐角的三角尺；皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.(用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)生我们组设计的方案如下：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置 B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树
4、梢 C 点，30的邻边和水平方向平行，用卷尺测出 AB 的长度，BE的长度，因为 DE=AB，所以只需在 RtCDA 中求出 CD 的长度即可.生在 RtACD 中，CAD30，ADBE，BE 是已知的，设 BE=a 米，则 ADa 米，如何求 CD 呢?生含 30角的直角三角形有一个非常重要的性质：30的角所对的边等于斜边的一半，即 AC2CD，根据勾股定理，(2CD) 2CD 2+a2.CD a.3则树的高度即可求出.师我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出 30的正切值，在上图中，tan30= ，则 CD=aCDAatan30
5、，岂不简单.你能求出 30角的三个三角函数值吗?.讲授新课1.探索 30、45、60角的三角函数值.师观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?生一副三角尺中有四个锐角，它们分别是 30、60、45、45.师sin30等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流.生sin30 . 21sin30表示在直角三角形中，30角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设 30角所对的边为 a(如图所示)，根据“直角三角形中 30角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于 2a.根据勾股定理，可知 30角的邻边为 a，所以 sin30 .21a师cos30等于多少?tan30呢?生co
6、s30 .23atan30= 31a师我们求出了 30角的三个三角函数值，还有两个特殊角45、60，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?生求 60的三角函数值可以利用求 30角三角函数值的三角形.因为 30角的对边和邻边分别是 60角的邻边和对边.利用上图，很容易求得 sin60= ,23acos60= ,21atan60 .3生也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知 sin60cos(90-60)cos30= cos60=sin(9023-60)=sin30= .21师生共析我们一同来求 45角的三角函数值.含45角的直角三角
7、形是等腰直角三角形.(如图)设其中一条直角边为 a，则另一条直角边也为 a，斜边 a.由此可求得2sin45= ,1cos45 ,2atan45= 1师下面请同学们完成下表(用多媒体演示)30、45、60角的三角函数值三角函数角sin co tan30 2123345 22160 313这个表格中的 30、45、60角的三角函数值需熟记，另一方面，要能够根据 30、45、60角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列 30、45、60角的正弦值，你能发现什么规律呢?生30、45、60角的正弦值分母都为 2，分子从小到大分别为 ，1， ，随着角
8、度的增大，正弦值在逐渐增大.23师再来看第二列函数值，有何特点呢?生第二列是 30，45、60角的余弦值，它们的分母也都是 2，而分子从大到小分别为 ， ， ，余弦值随角度的增大而减小.1师第三列呢?生第三列是 30、45、60角的正切值，首先 45角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以 tan45=1 比较特殊.师很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对 30、45、60角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒.2.例题讲解(多媒体演示)例 1计算：(1)sin30+cos45；(2)sin260+cos260-tan45.分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三
9、角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外 sin260表示(sin60) 2，cos 260表示(cos60)2.解：(1)sin30+cos45= ,12(2)sin260+cos260-tan45=( )2+( )2-131= + -140.例 2一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到 0.01 m)分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.解：根据题意(如图)可知，BOD=60，OB=OAO
10、D=2.5 m，AOD 6030，21OC=ODcos30=2.5 2.165(m).3AC2.5-2.1650.34(m).所以，最高位置与最低位置的高度约为0.34 m.随堂练习多媒体演示1.计算：(1)sin60-tan45；(2)cos60+tan60；(3) sin45+sin60-2cos45.2解：(1)原式 -1= ；32(2)原式= +=21(3)原式= + ；32= 2312.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为 30.高为 7 m，扶梯的长度是多少?解：扶梯的长度为 =14(m)，21730sin所以扶梯的长度为 14 m.课时小结本节课总结如下：(1)探索 30、45、60角
11、的三角函数值.sin30 ，sin45 ，sin60 ；21223cos30 ，cos45 ，cos60 ；23221tan30= ，tan451，tan60= .3(2)能进行含 30、45、60角的三角函数值的计算.(3)能根据 30、45、60角的三角函数值，说出相应锐角的大小.课后作业习题 1.3 第 1、2 题.活动与探究(2003 年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高 ABCD=30 m，两楼问的距离AC=24 m，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为 30时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到 0.1 m， 1.41， 1.73)23过程根据题意，将实
12、际问题转化为数学问题，当光线从楼顶 E，直射到乙楼 D 点，D点向下便接受不到光线，过 D 作 DBAE(甲楼).在 RtBDE 中.BD=AC24 m，EDB30.可求出 BE，由于甲、乙楼一样高，所以 DF=BE.结果在 KtBDE 中，BE=DBtan3024 =8 m.3DFBE，DF=8 81.7313.84(m).3甲楼的影子在乙楼上的高 CD=30-13.8416.2(m).板书设计1.2 30、45、60角的三角函数值一、探索 30、45、60的三角函数值 1.预备知识：含 30的直角三角形中，30角的对边等于斜边的一半.含 45的直角三角形是等腰直角三角形.2.30，45，60角的三角函数值列表如下：三角函数角角 sin co tan30 2123345 160 23213二、含 30、45、60角的三角函数值的计算.三、实际应用备课资料参考练习1.(2003 年北京石景山)计算： .1320sin答案：3- 32.(2003 年北京崇文)汁算：( +1)-1+2sin30-28答案：- 23.(2003 年广东梅州)计算：(1+ )0-1-sin301+( )-1.21答案： 254. (2003 年广西)计算：sin60+ 60tan1答案：- 15.(2003 年内蒙古赤峰)计算；2 -3-( +) 0-cos60- .3221答案：- 83
