1、第十四章 勾股定理回顾与思考教学目标1知识目标：掌握直角三角形的边、角之间分别存在着的关系，熟练地运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题。2能力目标：正确使用勾股定理的逆定理，准确地判断三角形的形状。3德育目标：熟悉勾股定理的历史，进一步了解我国古代数学的伟大成就，激发学生的爱国热情，培养探索知识的良好习惯。教学重点：掌握勾股定理及其逆定理。教学难点：准确应用勾股定理及其逆定理。教具准备：投影仪，胶片，彩色水笔，三角板等教学方法：启发式教育教学过程一、回顾与思考1直角三角形的边存在着什么关系？2直角三角形的角存在着什么关系？3直角三角形还有哪些性质？4如何判断一个三角形是直角三角形？5
2、你知道勾股定理的历史吗？一、讲例问题：如图，一个 3m 长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为 2.5m，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m，那么梯子底端 B 也外移 0.5m 吗？（留几分钟的时间给学生思考）分析：1、求梯子的底端 B 距墙角 O 多少米？2、如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m 至 C，请同学们猜一猜：（1）底端也将滑动 0.5 米吗？（2）能否求出 OD 的长？解：根据勾股定理，在 RtOAB 中，AB=3m，OA=2.5m，OB 2=AB2-OA2= 32-2.52=2.75。OB1.658m；在 RtOCD 中，OC=OA-AC=2m，
3、CD=AB=3m，OD 2=CD2-OC2= 32-22=5。OD2.236m。BD=OD-OB=2.236-1.6580.58mBOAB DCAO如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m，那么梯子底端 B 也外移 0.58m。例 2 议一议 P19 拼图与勾股定理观察图 2 验证：c 2a 2b 2证明：大正方形面积可表示为 c2，也可以表示为 21ab4（ba） 2所以 c2 1ab4（ba） 22abb 22aba 2a 2b 2故 c2a 2十 b2例 3. 一个零件的形状如图，按规定这个零件中A 与BDC 都应为直角，工人师傅量得零件各边尺寸：AD4，AB3，DB5，DC12，BC13
4、，这个零件符合要求吗？分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断ABC 和DBC 是否为直角三角形，这样勾股定理的逆定理即可派上用场了。解：在ABC 中，AB 2AD 23 24 291625BD 2所以ABC 为直角三角形，A90在DBC 中，BD2DC 25 212 22514416913 2BC 2所以DBC 是直角三角形，CDB90因此这个零件符合要求。二、随堂练习一、判断题。1由于 0.3，0.4，0.5 不是勾股数，所以以 0.3，0.4，0.5 为边长的三角形不是直角三角形（）2由于以 0.5，1.2，1.3 为边长的三角形是直角三角形，所以 0.5，1.2，1.3 是勾股数（）
5、二、填空题。1已知三角形的三边长分别为 5cm，12cm，13cm，则这个三角形是 2ABC 中，C90，B30，AC1，以 BC 为边的正方形面积为 3三条线段 m、n、p 满足 m2一 n 2 p 2，以这三条线段为边组成的三角形为 三、选择题。DBA 34512C131分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6、8、10；（2）5、12、13；（3）8、15、17；（4）4、5、6 其中能构成的直角三角形的有（） 。A4 组 B3 组 C2 组 Dl 组2三角形的三边长分别为 a2b 2、2ab、a 2b 2（a、b 都是正整数） ，则这个三角形是（）A直角三角形 B钝角三角形 C锐角
6、三角形 D不能确定一作业1已知 a、 b、c 是三角形的三边长， a2n 22n，b2n1，c2n 22n1（n 为大于1 的自然数） 。试说明 LABC 为直角三角形。2若三角形 ABC 的三边 a、b、c 满足 a2b 2c 2十 33810a24b26c 试判断ABC 的形状。3在等腰ABC 中，BAC90，P 为ABC 内一点，PAl，PB3，PC 27，求CPA 的大小。4四边形 ABCD 中A90，AB4cm，AD3cm，CD12cm，BC13CC，求 S 四边形 ABCD教学内容 第 14 章 勾股定理单元复习 授课班级知识能力教来源:xyzkw.Com学来源:xyzkw.Com
7、目标情感1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；2、如果三角形的三边长 a、b、c 有关系 a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形；来源:xyzkw.Com3、勾股定理能解决直角三角形的许多问题，因此在现实生活和数学中有着广泛的应用来源:xyzkw.Com来源:学优中考网 xyzkw教学重点勾股定理的应用教学难点实际问题向数学问题的转化教学准备制作课件学案教学过程教 学 内 容 师 生 互 动 备 注一创设情境引入新课想一想1 直角三角形有那些特征？2 直角三角形有那些识别方法？学生分组探讨：1 一般三角形具有的特征它都有。2 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边
8、的平方学生分组探讨：1 有一个角是直角的三角形。2 两个角互余的三角形。3 如果三角形的三边长3 你能说几组勾股数呢？a、b、c 有关系a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形学生互相交流。3、4、5； 5、12、137、24、25； 8、15、179、40、41；二合作交流自主探究探究 1如图，以 Rt ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为 123S，请同学们想一想 123，之间有何关系呢？联想讨论：1 三个正方形的面积分别与哪三条边有关系？2 如果 14S， 28，那么 S3=？3 如果 14， 28，则AB的长为多少呢？本题的实质为请同学们回顾勾股定理。ABC3S21（1）若以
9、 Rt ABC的三边为直径作半圆，其面积分别为 123S，请同学们想一想 之间有何关系呢？（2）若以 Rt ABC的三边为边作等边三角形，其面积分别为 123S，请同学们想一想 123，之间有何关系呢？探究 2如图，一个 3m 长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为2.5m，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑0.5m，那么梯子底端 B 也外移 0.5m 吗？解：根据勾股定理，在 RtOAB 中，AB=3m，OA=2.5m，OB 2=AB2-OA2= 32-2.52=2.75。OB1.658m；在 RtOCD 中，OC=OA-AC=2m，CD=AB=3m，OD 2=CD2-O
10、C2= 32-22=5。OD2.236m。BD=OD-等边三角形的面积公式是怎样的呢？分析：1、求梯子的底端 B 距墙角 O 多少米？2、如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m 至 C，请同学们猜一猜：（1）底端也将滑动 0.5米吗？（2）能否求出 OD 的长？引导重在实现图形：与B DCAOBOAB DCAOODCOB=2.236-1.6580.58m如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5m，那么梯子底端 B 也外移 0.58m。探究 3.如图沿 AE 折叠矩形，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，已知 AB =8cm，BC = 10cm，求 EC 的长.探究 4有一个水池,水面是一个边
11、长为 10 尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面 1 尺.如果把这根芦苇拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面,请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少?解：点 F、D 关于 AE 对称 AFE AD E AF=AD ，EF =ED AFE = ADE 四边形 ABCD 是矩形 BC=AD AB =CD C = ADE =900 又AB =8cm BC =10cm AF=10cm CD =8cm 在 Rt ABF 中 BF=FC =4cm 设 EC =xcm 则DE=EF=（8-x）cm 在 CFE 中，EF2=EC2+FC2 （8-x）2 = x2+42 解得 x=3 答：E
12、C 的长为 3cm.的转化AB F CDE5尺1尺x 尺水池681022ABF探究 5如图，公路 MN 和小路 PQ 在点 P 处交汇，且QPN=30，点 A 处有一所学校，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m 内受噪音影响，那么拖拉机在公路 MN 上以 18km/h 的速度沿 PN 方向行驶时，学校是否受到噪音的影响？如果学校受到影响，那么受影响将持续多长时间？讨论：1 拖拉机行驶在什么地点离学校最近呢？2 若受影响，则在哪一点开始呢？3 在什么范围里，学校将受到影响呢？三随堂练习1 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是8
13、厘米，则正方形 A，B，C，D 的面积之和是_平方厘米PMNQAC BD巩固新知2 根据下列条件，分别判断以 a,b,c为边的三角形是不是直角三角形（1）a=7, b=24, c=25.（2）a=m 2-n2，b=2mn, c=m2+n2.（m，n 是正整数，且 mn） ABC 是直角三角形吗？请说明理由3 已知，如图，长方形 ABCD 中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，折痕为 EF，则ABE 的面积为多少？四目标检测1 在 ABC 中， C90，若 a5， b12，则 c 2 在 ABC 中， C90，若c10， a b34，则 ab 3 等腰 ABC
14、 的面积为 12cm2，底上的高 AD3cm，则它的周长为 ABEFDC形成练习4 等边 ABC 的高为 3cm，以 AB 为边的正方形面积为5 直角三角形三边是连续整数，则这三角形的各边分别为6 如图，分别以直角 ABC 的三边ABC，为直径向外作半圆设直线 左边阴影部分的面积为 1S，右边阴影部分的面积和为 2，则（ ）A 12SB C 12D无法确定五课堂小结提高认识1 你能说说出本章的知识结构吗？2 本节课有什么收获，请你谈谈？直角三角形勾股定理应用判定直角三角形的一种方法六巩固提高运用1 国旗杆的绳子垂到地面时，还多了1m，拉着绳子下端离开旗杆 5m 时，绳子被拉直且下端刚好接触地面
15、，试求旗杆的高2 园丁住宅小区有一块草坪如图所示，已知 3AB米， 4C米，1CD米， 米，且，这块草坪的面积是多少？ABCB拓展3 在一棵树的 10m 高处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树 20m 处的池塘 A 处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问：这棵树有多高?板书设计电教资源探究 1 写出规律探究 2 写出解题的过程探究 4 建立方程探究 5 写出解题的过程教 学 反 思第 14 章 勾股定理 小结与复习教学目标知识与技能：掌握直角三角形的边角之间分别存在着的关系，熟练运用直角三角形的勾股定理和其他性质解决实际问题过程与方法
16、：经历复习勾股定理的过程，体会勾股定理的内涵，掌握勾股定理及逆定理的应用情感态度与价值观：培养学生数形结合、化归的数学思想，体会勾股定理的应用价值重点、难点、关键重点：熟练运用勾股定理及其逆定理难点：正确运用勾股定理及其逆定理关键：运用数形结合的思想，将问题化归到能够应用勾股定理（逆定理）的路上来教学准备教师准备：投影仪，补充资料学生准备：写一份单元复习小结教学设计教学过程一、回顾与交流1重点精析勾股定理，RtABC 中，C=90，a 2+b2=c2应用范围：勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，已知任意两边的长都可以求出第三边的长2例题精讲例 在 RtABC 中，已知两直角边
17、a 与 b 的和为 p 厘米，斜边长为 q 厘米，求这个三角形的面积教师分析：因为 Rt的面积等于 12ab，所以只要求出 ab 就可以完成本道题分析已知条件可知 a+b=p，c=q，再联想到勾股定理 a2+b2=c2，则这个问题就可以化归到一个代数问题上解决，由 a+b=p，a 2+b2=q2，求出 ab解：a+b=p，c=q，a 2+2ab+b2=（a+b） 2=p2a2+b2=q2（勾股定理）2ab=p 2-q2S RtABC = 1ab=（ 4p2-q2） （厘米 2）学生活动：参与教师讲例，理解勾股定理的运用，提出自己的见解媒体使用：投影显示例题教学形式：师生互动3课堂演练演练一：如
18、图所示，带阴影的矩形面积是多少？思路点拨：应用勾股定理求矩形的长，答案 51 厘米演练二：如图所示，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达点 B200m，结果他在水中实际游了 520m，则该河流的宽为多少 m思路点拨：应用 RtABC 中的三边关系，AC=520m，BC=200m，以勾股定理求出 AB参考答案：480m演练三，在 RtABC 中，a=3，c=5，求 b思路点拨：此题利用勾股定理求边长，习惯于把 c 当作斜边，只求 b=4，但本道题以b 当作斜边也是可以的，因此应注意两解问题参考答案：b=或 34演练四：如图所示，有一个正方形水池，每边长 4 米，池中央长了一棵
19、芦苇，露出水面 1 米，把芦苇的顶端引到岸边，芦苇顶和岸边水面刚好相齐，你能算出水池的深度吗？思路点拨：对这类问题求解，关键是恰当的选择未知数，然后找到一个直角三角形，建立起它们之间的联系，列出方程，最终求解方程即得所求，设水池深为 x 米，BC=x 米，AC=（x+1）米，因为池边长为 4 米，所以 BA=2 米，在 RtABC 中，根据勾股定理，得x2+22=（x+1） 2解得 x=1.54难点精析勾股逆定理：勾股定理逆用的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形，判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：（1）先确定最大边（如 c） ；（2）验证 c2与 a2+b2是否相等，若 c2=a2+b
20、2，则C=90；若 c2a 2+b2，则ABC不是直角三角形此时情况有两种：（1）当 a2+b2c2时，三角形为锐角三角形；（2）当 a2+b2c2时，三角形为钝角三角形5范例精讲例 如图所示，ABC 中，AB=26，BC=20，BC 边上的中线 AD=24，求 AC教师分析：要求 AC 的长度，首先确定 AC 所在的ACD，而关键是要判断出ADC是直角三角形，由于 AB=26，BC=20，可得 BD=10，而又知中线 AD=24，所以可以先通过勾股定理判断出ABD 是 Rt，这样就可以得到ADC=90，从而再应用勾股定理求出 AC 的长解：因为 AD 是边 BC 上的中线，且 BC=20，所
21、以 BD=DC= 12BC=10因为 AD2+BD2=576+100=676，AB2=262=676，AD2+BD2=AB2所以ADB=90，即 ADBC （勾股逆定理）在 RtADC 中AC= 22410ADC=26（勾股定理）评析：本道题运用了勾股定理和逆定理，也可以运用别的方法计算，可以得到 AD 垂直平分 BC，所以 AC=AB=266课堂演练演练一：在数轴上作表示- 5的点思路点拨：在数轴上的点-2 位置上作垂直于数轴的线段且这个长度为 1，连接原点到这条线段的端点 A，以 O（原点）为圆心，OA 为半径画弧交数轴于一点，这一点就是-演练二：下列三角形（如图 14-3-5 所示）是直
22、角三角形吗？为什么？思路点拨：充分应用勾股定理逆定理进行判定，计算122+92=？；15 2=？；6 2+42=？；7 2=？演练三：设ABC 的 3 条边长分别是 a，b，c，且 a=n2-1，b=2n，c=n 2+1（1）填表：n a b c a2+b2c2 ABC 是不是直角三角形2 3 4 5 25 253456 （2）当 n 取大于 1 的整数时，以表中各组 a，b，c的值为边长构成的三角形都是直角三角形吗？为什么？（3）3、4、5 是一组勾股数，如果将这 3 个数分别扩大 2 倍，所得 3个数还是勾股数吗？扩大 3 倍、4 倍和 n 倍呢？为什么？（4）还有不同于上述各组数的勾股数
23、吗？演练四：如图所示，古代建筑师把 12 段同样长的绳子相互连成环状，把从点 B 到点 C 之间的 5 段绳子拉直，然后在点 A 将绳子拉紧，便形成直角，工人按这个“构形”施工，就可以将建筑物的拐角建成直角，你认为这样做有道理吗？教师活动：操作投影仪，引导学生运用勾股定理、逆定理求解，可以请部分学生上台演示学生活动：合作、讨论，提出自己的看法，巩固勾股定理、逆定理的应用媒体使用：投影显示“演练题” 教学形式：师生互动交流，讲练结合，以训促思，达到提升知识，构建知识系的目的二、构筑知识系A.B.三、随堂练习四、布置作业五、课后反思（略）课时作业设计一、填空题1在ABC 中，C=90（1）已知 a
24、=24，b=32，则 c=_（2）已知 c=17，b=15，则ABC 面积等于_（3）已知A=45，c=18，则 a2=_2直角三角形三边是连续偶数，则这三角形的各边分别为_3ABC 的周长为 40cm，C=90，BC：AC=15：8，则它的斜边长为_4直角三角形的两直角边之和为 14，斜边为 10，则它的斜边上的高为_，两直角边分别为_二、选择题5在下列说法中是错误的（ ） A在ABC 中，C=A-B，则ABC 为直角三角形B在ABC 中，若A：B：C=5：2：3，则ABC 为直角三角形C在ABC 中，若 a=5c，b= 4c，则ABC 为 RtD在ABC 中，若 a：b：c=2：2：4，则
25、ABC 为直角三角形6直角三角形的两直角边分别为 5cm，12cm，其中斜边上的高为（ ） A6cm B5cm C 3060.113cmDcm7下列线段不能组成直角三角形的是（ ） Aa=6，b=8，c=10 Ba=1，b=2，c=6Ca= 54，b=1，c= 3 Da=2，b=3，c= 138有四个三角形：（1）ABC 的三边之比为 3：4：5；（2）ABC的三边之比为 5：12： 13；（3）ABC的三个内角之比为 1：2：3；（4）CDE 的三个内角之比为 1：1：2，其中直角三角形的有（ ） A （1） （2） B （1） （2） （3） C （1） （2） （4） D （1） （2）
26、 （3） （4）三、解答题9如果 3 条线段的长 a，b，c 满足 c2=a2-b2，那么这 3条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？10如图所示，ADBC，垂足为 D，如果 CD=1，AD=2，BD=4，那么BAC是直角吗？请说明理由11在图中，BC 长为 3 厘米，AB 长为 4 厘米，AF 长为 12 厘米，求正方形 CDEF的面积12如图所示，为得到湖两岸 A 点和 B 点间的距离，一个观测者在 C 点设桩，使ABC 为直角三角形，并测得 AC 长 20 米，BC 长 16 米，A、B 两点间距离是多少？四、探究题13如图所示，在一块正方形 ABCD的布料上要裁出四个大小不同的直角
27、三角形做彩旗，裁剪师傅用画粉在 CD 边上找出中点 F，在 BC 边上找出点 E，使 EC= 14BC，然后沿着AF、EF、AE 裁剪，你认为裁剪师傅的裁剪方案是否正确？若正确，给予证明，若不正确，请说明理由14如图所示，长方形纸片 ABCD 的长 AD=9cm，宽 AB=3cm，将其折叠，使点 D 与点 B重合求：（1）折叠后 DE 的长；（2）以折痕 EF 为边的正方形面积CDCBAFEDCBA答案:一、1 （1）4 （2）60 （3）162 26 8 10 317cm 44.8 6 和 8 二、5B 6D 7B 8D 三、9是直角三角形 10利用勾肌定理 11169 厘米 2 1212
28、米 四、13方案正确，理由: 裁剪师的裁剪方案是正确的，设正方形的边长为 4a，则 DF=FC=2a，EC=a在 RtADF 中，由勾股定理，得 AF2=AD2+DF2=（4a） 2+（2a） 2=20a2；在 RtECF 中，EF 2=（2a） 2+a2=5a2；在 RtABE 中，AE 2=AB2+BE2=（4a） 2+（3a） 2=25a2AE 2=EF2+AF2，由勾股定理逆定理，得AFE=90，AFE 是直角三角形14提示：设 DE 长为 xcm，则 AE=（9-x）cm，BE=xcm，那么在 RtABE 中，A=90，x 2-（9-x） 2=32，故（x+9-x） （x-9+x）=9，即 2x=10，那么 x=5，即 DE 长为 5cm，连 BD 即 BD 与 EF互相垂直平分，即可求得：EF 2=12cm2，以 EF 为边的正方形面积为 144cm2学优中考$，网
