1、明目标、知重点 加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题1综合法综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题综合法是一种由因导果的证明方法综合法的证明步骤用符号表示是：P 0(已知)P 1P 2P n(结论)2分析法分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知分析法的书写形式一般为“因为，为了证明，只需证明，即，因此，只需证明，因为成立，所以，结论成立”
2、分析法的证明步骤用符号表示是：P 0(已知)P n2 Pn1 Pn(结论)分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆题型一 选择恰当的方法证明不等式例 1 设 a，b，c 为任意三角形三边长，Iabc ，Sabbc ca，试证：3SI 20，ab 2 0，(ab)( )4.1a 1b 1ab 1a 1b又 ab1， 4.1a 1b方法三 1 122 4.当且仅当 ab 时，取“”1a 1b a ba a bb ba ab baab题型二 选择恰当的方法证明等式例 2 已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，对应的三边为 a，b，c ，求证： 1a b .1b c 3a b c
3、证明 要证原式，只需证 3，a b ca b a b cb c即证 1，即只需证 1，ca b ab c bc c2 a2 abab b2 ac bc而由题意知 AC2B，B ， b 2a 2c 2ac ，3 bc c2 a2 abab b2 ac bc bc c2 a2 abab a2 c2 ac ac bc 1，bc c2 a2 abab a2 c2 bc原等式成立，即 .1a b 1b c 3a b c反思与感悟 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间
4、结论 Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 P；若由 P 可推出 Q，即可得证跟踪训练 2 设实数 a，b，c 成等比数列，非零实数 x，y 分别为 a 与 b，b 与 c 的等差中项，试证： 2.ax cy证明 由已知条件得 b2ac，2xab,2ybc.要证 2，只要证 aycx 2xy，ax cy只要证 2ay2cx4xy.由得 2ay2cxa( bc)c(ab)ab2acbc ，4xy (ab)(b c)abb 2acbcab2acbc ，所以 2ay2cx4xy.命题得证题型三 立体几何中位置关系的证明例 3 如图，在四棱锥 PABCD 中，PA 底面 ABCD， ABAD
5、，AC CD，ABC60，PAABBC ， E 是 PC 的中点(1)证明：CD AE ；(2)证明：PD 平面 ABE.证明 (1)在四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，CD 底面 ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面 PAC，而 AE平面 PAC，CDAE .(2)由 PAAB BC，ABC60，可得 ACPA， E 是 PC 的中点，AE PC.由(1)知，AECD，且 PCCDC，所以 AE平面 PCD.而 PD平面 PCD，AEPD .PA底面 ABCD，PAAB，又 ABAD，AB平面 PAD，ABPD ，又 ABAEA ，综上得 PD平面 ABE.反思与感悟
6、 综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与平行进行转化比如：两条平行线中一条垂直于平面 ，则另外一条也垂直于平面 ；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等跟踪训练 3 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直，EFAC，AB ，CEEF1.2(1)求证：AF平面 BDE；(2)求证：CF平面 BDE.证明 (1)如图，设 AC 与 BD 交于点 G.因为 EFAG ，且 EF1，AG AC1，12所以四边形 AGEF 为平行四边形所以 AFEG .
7、因为 EG平面 BDE，AF平面 BDE，所以 AF平面 BDE.(2)连接 FG.因为 EFCG，EF CG 1，且 CE1，所以四边形 CEFG 为菱形所以 CFEG.因为四边形 ABCD 为正方形，所以 BDAC.又因为平面 ACEF平面 ABCD，且平面 ACEF平面 ABCDAC ，所以 BD平面 ACEF.所以 CFBD.又 BDEG G，所以 CF平面 BDE.呈重点、现规律1综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知2分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出
8、结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来一、基础过关1已知 a0，b0，且 ab2，则( )Aa Bab12 12Ca 2b 22 Da 2b 23答案 C解析 ab22 ，ab1.aba 2b 242ab，a 2b 22.2已知 a、b、c、d 正实数 ，且 2 ，2ab ，(a b)22 12又0bc解析 a ，b ，c .abc.13 2 16 5 17 66如图所示，SA平面 ABC，AB BC，过 A 作 SB 的垂线，垂足为 E，过 E 作 SC 的垂线，垂足为 F.求证：AFSC.证明：要证 AFSC，只需证 SC
9、平面 AEF，只需证 AESC(因为_) ，只需证_，只需证 AEBC( 因为_)，只需证 BC平面 SAB，只需证 BCSA(因为_) 由 SA平面 ABC 可知，上式成立答案 EFSC AE 平面 SBC AESB ABBC解析 要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明 BC平面SAB，可得 AEBC，进而 AE平面 SBC，SC平面 AEF，问题得证7如果 a，b 都是正数，且 ab，求证： .ab ba a b证明 方法一 用综合法 ab ba a b aa bb ab baab 0，(a b)(r(a) r(b)ab (r(a) r(b)2(r(a) r(b
10、)ab .ab ba a b方法二 用分析法要证 ，ab ba a b只要证 2 ab2 ，a2b b2a ab ab即要证 a3b 3a2bab 2，只需证(ab)(a 2abb 2)ab(ab)，即需证 a2abb 2ab，只需证(ab) 20，因为 ab，所以(ab) 20 恒成立，所以 成立ab ba a b二、能力提升8.命题甲：( )x、2 x 、2 x4 成等比数列；命题乙：lg x、lg(x2) 、lg(2x1)成等差数列，则甲是14乙的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 由( )x、2 x 、2 x4 成等比数列可得：(2
11、x )2( )x2x4 ，解得 x4；由 lg x、lg(x2)、14 14lg(2x1)成等差数列得：2lg(x2)lg xlg(2x1)，可解得 x4( x1 舍去)，所以甲是乙的充要条件. 9若 ab1，P ，Q (lg alg b)，Rlg( )，则( )lg alg b12 a b2ARb1lg a0，lg b0，Q (lg alg b) P，12 lg alg bRlg (lg alg b)QRQP.ab1210已知 、 为实数，给出下列三个论断： 0；|5；| |2 ，|2 .以其中的2 2两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是_答案 解析 0，|2 ，|2 .2
12、2| 2 2 22 88283225.|5.11已知 a0，求证： a 2.a2 1a2 2 1a证明 要证 a 2，a2 1a2 2 1a只要证 2a .a2 1a2 1a 2a0，故只要证 2 2，(a2 1a2 2) (a 1a 2)即 a2 4 4a 22 2 2，1a2 a2 1a2 1a2 2(a 1a)从而只要证 2 ，a2 1a2 2(a 1a)只要证 4 2 ，(a2 1a2) (a2 2 1a2)即 a2 2，1a2而该不等式显然成立，故原不等式成立12已知 a、b、cR，且 abc1，求证：( 1)( 1)( 1)8.1a 1b 1c证明 方法一 (分析法)要证( 1)(
13、 1)( 1)8 成立，1a 1b 1c只需证 8 成立1 aa 1 bb 1 cc因为 abc1，所以只需证 8 成立，(a b c) aa (a b c) bb (a b c) cc即证 8 成立b ca a cb a bc而 8 成立b ca a cb a bc 2bca 2acb 2abc( 1)( 1)( 1)8 成立1a 1b 1c方法二 (综合法)( 1)( 1)( 1)1a 1b 1c( 1)( 1)( 1)a b ca a b cb a b cc b ca a cb a bc (b c)(a c)(a b)abc 8，2bc2ac2ababc当且仅当 abc 时取等号，所以原
14、不等式成立13.设数列a n的前 n 项和为 Sn，已知 a11， a n1 n2n ，nN *.2Snn 13 23(1)求 a2 的值；(2)求数列a n的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有 .1a1 1a2 1an74(1)解 2S 1a 2 1 ，又 S1a 11，13 23所以 a24.(2)解 当 n2 时，2S nna n1 n3n 2 n，13 232Sn1 (n1) an (n1) 3(n1) 2 (n1)，13 23两式相减得 2anna n1 (n1)a n (3n23n1)(2 n1) ，13 23整理得(n1) anna n1 n( n 1)，即 1，又 1，
15、an 1n 1 ann a22 a11故数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，ann a11所以 1(n1)1n，所以 ann 2.ann所以数列a n的通项公式为 ann 2，nN *.(3)证明 1 1 1a1 1a2 1a3 1an 14 132 142 1n2 14 123 134 1n(n 1)1 14 (12 13) (13 14) ( 1n 1 1n) ，54 12 1n 74 1n74所以对一切正整数 n，有 .1a1 1a2 1an74三、探究与拓展14.已知 a，b，c，dR，求证：acbd .(你能用几种方法证明？)(a2 b2)(c2 d2)证明 方法一 (用分析法)当 acbd0 时，显然成立
