1、表面积与体积中的思想方法数学思想方法是解题的武器，正确运用思想方法可有效的解决数学问题求解几何体表面积与体积的思想有：一、整体思想例 1 长方体的全面积为 11，十二条棱长度之和为 24，求这个长方体的对角线长分析：要求长方体对角线长，只需求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可解：设此长方体的长、宽、高分别为 ，对角线长为 l，则由题意得xyz， ，2()1424.xyz，由 ，得 ，()6xyz从而由长方体对角线性质得，222 2()()615lxyzxyz所以长方体的对角线长为 5点评：（1）本题考查了长方体的有关概念和计算，以及代数式的恒等变形能力在求解过程中，并不需要把 都求出来，而要由
2、方程组从整体上导出 ，这需xyz， ， 22xyz要同学们掌握一些代数变形的技巧，需要有灵活性（2）本题采用了整体性思维的处理方法，所谓整体性思维就是在探究数学问题时，应研究问题的整体形式、整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征作出整体性处理整体思维的含义很广，根据问题的具体要求，需对代数式作整体变换，或整体代入，也可以对图形作整体处理二、转化思想例 2 如图 1，长方体 中， ， ， ，并且1-ABCDABaCb1Bc求沿着长方体的表面自 到 的最短路线的长0abc1分析：解本题可将长方体表面展开，利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答解：将长方体相邻两个面展开有下列三种
3、可能，如图 2，三个图形（甲） 、 （乙） 、 （丙）中 的长分别为：1AC；222()abcabca；，222()cc因为， ，所以 0ab0ab故最短线路的长为 22点评：防止只画出一个图形就下结论，或者以为长方体的对角线是最短路线解答多面体表面上两点间最短路线问题，一般的都是221ACabc将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段长例 3 一个正四棱台两底面边长分别为 （ ） ，侧面积等于两个底面积之和，mn， 则这个棱台的高为（ ） mnnmn分析：利用直角梯形，转化成直角三角形，结合面积公式求解解：如图 3，设 ， 分别为棱台上、下底面中心， ， 分别为 、 的1O1M1BC中点，
4、连结 、 ，则 为斜高1M1过 作 于 点，则 ，1MHO11MHO， 14()2Smn侧 2Smn下上由已知得 ，2所以 21()n在 中， ，1RtMH 1 ()2OMmn所以 22 211 1()()4mnH故选 A点评：在正四棱台中有两个直角梯形值得注意：一是梯形 ，一是梯形1OM，它们都可以转化成直角三角形，利用三角形知识求解1OB三、函数方程思想例 4 圆锥的底面半径为 2cm，高为 4cm，求圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值分析：画出轴截面图，在平面中解决解：图 4 为圆柱和圆锥的轴截面，设所求圆柱的底面半径为 ，母线长为 ，侧rl2Slr圆 柱 侧 ， 42rl2r 2(4)(1
5、)4Sl rA圆 柱 侧 当 时，圆柱的侧面积最大且 1rmaxcS点评：最值问题转化成一元二次函数问题是立体几何与代数相结合的典范，同学们应注意体会函数方程思想的应用技巧怎样购买西瓜最合算？一次数学活动课上，老师出了如下一道与西瓜有关的问题：若西瓜以千克计价，购买西瓜时，希望可食用的部分占整个西瓜的比例越大越好如果一批西瓜的皮厚都是 （定d值） ，试问买大西瓜还是买小西瓜合算（把西瓜都看作球状，并设西瓜内物质的密度分布是均匀的）？老师的问题一写出，同学们便纷纷议论起来一番热烈的讨论之后，大家便进入了深深地思考和计算渐渐地，答案出来了王强同学的解答是这样的：本题“买大西瓜还是买小西瓜合算”的前
6、提是在相同的金额下，即所买的西瓜的重量相等设金额一定时，可买大西瓜 1 个，小西瓜 个大西瓜的半径是 ，体积为 ，kRV大个小西瓜的半径分别为 ，体积分别为 k2krr大12kV大由于 1 个大西瓜与 个小西瓜的重量 相等，密度相同，由密度公式 知，kPP故有 ， PV12kV大由球的体积公式，得 ， 34R大 3312124()k kVrr， 33312kRrr由，知，大西瓜可食用的部分与 个小西瓜可食用部分的体积相等，即买大西瓜k和买小西瓜一样李凯同学看完了王强同学的解答后，提出了如下不同的见解买大西瓜合算设大西瓜的半径为 ，则可食用的部分的半径为 ；RRd小西瓜的半径为 ，则可食用的部分的半径为 rr设购买 1 个大西瓜，可购买小西瓜的个数为 334Vr大于是，由重量相等，密度相同，知 1 个大西瓜的体积与 个小西瓜的体积相等，3Rr设为 V大西瓜可食用的部分为 ，小西瓜可食用的部分为 3RdV 3rdV下面只须考察 的符号即可33r，0Rdr大()0Rr33dVr故在金额和重量相同的情况下，购买大西瓜合算以上两位同学的解答，到底谁的正确？老师赞同李凯同学的解答，同学们，仔细想一想你们又赞同谁的解答？为什么？
