1、听课随笔第 7 课时正、余弦定理的应用（1）【学习导航】 知识网络 数 学 问 题航 海测 量 学正 、 余 弦 定 理 的 应 用学习要求 1 综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方 法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题2 分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及 坡 度 、 经 纬 度 等 概念3 将实际问题转化为解三角形问题【课堂互动】自学评价1正弦定理、余弦定理及其变形形式，（1）正弦定理、三角形面积公式：；RCcBbAa2sinisin（2）正弦定理的变形：BacSCsin12；cR,i,i；Rbasisnsii:AB（3）余弦定理：1） Acos22变形：2） baos2运用正弦定理
2、、余弦定理解决实际问题的基本步骤是：分析：理解题意，弄清清与未知，画出示意图（一个或几个三角形） ；建模：根据书籍条件与求解目标，把书籍量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；求解：利用正弦定理、余弦定理理解这些三角形，求得数学模型的解；检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。【精典范例】【例 1】为了测量河对岸两点 之间的距离，在河岸这边取点 ，测得,AB,CD， ， ， ， .设85ADC6047CD72B10m在同一平面内，试求 之间的距离（精确到 ）. ,B【解】在 中， ， ，则 .又 ，8548A由正弦定理，得.在sin10sin3
3、4AmC 中， ， ，60DC72B则 .又4DB ，10由正弦定理，得 ii6.5ss8在 中，B由余弦定理，得22cosABCABC2134.056.134.056cos724，3.95所以 7m答 两点之间的距离约为 ., 57【例 2】某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 处获悉后，测出该渔A轮在方位角为 ，距离为 的 处，并测得渔轮正沿方位角为 的方向，以4510nileC105的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以 的速度前去营救.求舰艇的9/nmileh21/nmileh航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到 ，时间精确到 ）.【解】设舰艇收到信号后 在 处靠拢渔轮，xh
4、B则 ， ，又 ， .21ABx9C10A451805120C由余弦定理，得，22cosBA即化简，得2109109cos0xxx，36解得 （负值舍去）.4minh由正弦定理，得所以 ，si9si1203sin4BCAx 21.8BAC方位角为 .4521.86答 舰艇应沿着方向角 的方向航行，经过 就可靠近渔轮.0min【例 3】某海岛上一观察哨 在上午 时测得一轮船在海岛北偏东 的 处， 时 分A13C120测得轮船在海岛北偏西 的 处， 时 分轮船到达海岛正西方 的 港口.如果轮3B2405kE船始终匀速前进，求船速.【解】设 ，船的速度为 ，则 ， .E/kmh3BC1听课随笔在 中
5、， ， .ABE153sini015sin2在 中， ，C4sii18.45sn20332A在 中， ，CE255cos103，25407193，船的速度 .9/kmh追踪训练一1 曲柄连杆机构示意图如图所示当曲柄在水平位置时，连杆端点在的位置当自按顺时针方向旋转 角时，和之间的距离是 x已知，根据下列条件，求的值（精确到）： （）； （）.答案：（） 4.10x（） 932如图，货轮在海上以的速度由向航行，航行的方位角，处有灯塔，其方位角，在处观察灯塔的方位角，由到需航行，求到灯塔的距离 答案： 35.10x3如图，某人在高出海面的山上处，测得海面上的航标在正东，俯角为，航标在南偏东，俯角为
6、，求这两个航标间的距离听课随笔答案：这两个航标间的距离是 600m.【选修延伸】【例 4】三角形 ABC 中有两个角分别为 300 和 450， ，abc4sinsiABC求ABC 的面积。【解】由条件知三角形的第三个角为 1050，设三角形外接圆半径为 ，则r()22abcabcrr21sinisniABCSab.134614追踪训练二1在ABC 中，已知 A= ，且 ，则 C 的值为（ C ）03123baA 4 B 9 C 4 或 9 D 无解2有一广告气球，直径为 6m，放在公司大楼的上空，当行人仰望气球中心的仰角为 300时，测得气球的视角 ，若 很小时可取 ，则估算该气球离地高度为（ B 01sin）A 72 m B 86 m C 102 m D 118 m3在锐角三角形 ABC 中， ， ，则边 的取值范围是 （ C ）1a2bcA B 1c5cC D 53提示：分边 是最大边和不是最大边两种情况讨论，用余弦定理。4在ABC 中，若，则 B= 600 。cbaba31提示：由条件知，(2)()()cc22acba0621cosB【师生互动】学生质疑教师释疑
