1、新课标高二数学同步测试（3）（21 第二章 2.42.5）说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷 74 分，第二卷 76 分，共 150 分；答题时间 120 分钟一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题 5 分，共 50 分） 1x= 表示的曲线是 （ 23y）A双曲线 B椭圆C双曲线的一部分 D椭圆的一部分2设双曲线 =1（0ab的半焦距为 c，直线 l 过（a，0） ， （0，b）两点.已知2yx原点到直线 l 的距离为 c，则双曲线的离心率为 （ 43）A2 B C D2323中心在原点，焦点坐标为(0, 5 )的椭
2、圆被直线 3xy2=0 截得的弦的中点的横坐标为 ，则椭圆方程为 （ 21）A + =1 B + =1 C + =1 D + =15x72y52xy25x7y752x4过双曲线 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点，若 ，12则这样的直线 l 有 （ ）A1 条 B 2 条 C3 条 D4 条5过椭圆 + =1（0 )的线段 AB 的端点在双曲线 b2x2a 2y2=a2b2 的右支上, 则 AB 中点 Mab2的横坐标的最小值为 14如果过两点 和 的直线与抛物线 没有交点，那么实数)0,(A),(B32xy的取值范围是_a三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共
3、 76 分） 15 （12 分）已知抛物线 y2=8x 上两个动点 A、B 及一个定点 M（x 0, y0） ，F 是抛物线的焦点，且|AF|、|MF|、|BF| 成等差数列，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于一点 N（1）求点 N 的坐标（用 x0 表示） ；（2）过 点 N 与 MN 垂 直 的 直 线 交 抛 物 线 于 P、 Q 两 点 ， 若 |MN|=4 ， 求 MPQ 的 面2积 16 （12 分）已知双曲线 的离心率 ，过 的直线到原12byax32e),0(,bBaA点的距离是 .23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线 交双曲线于不同的点 C，D 且 C， D 都在以
4、B 为圆心)0(5kxy的圆上，求 k 的值.17 （12 分）已知抛物线 的弦 AB 与直线 y=1 有公共点，且弦 AB 的中点 N 到 y 轴xy2的距离为 1，求弦 AB 长度的最大值，并求此直线 AB 所在的直线的方程18 （12 分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点 ，它们在 轴上有共同焦点，椭1,2Mx圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点（1）求这三条曲线的方程；（2）已知动直线 过点 ，交抛物线于 两点，是否存在垂直于 轴的直线l3,0P,ABx被以 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出 的方程；若不存在，说明lA l理由19 （14 分）设 F1、F 2 分
5、别为椭圆 C： =1（ab0）的左、右两个焦点.28yx（1）若椭圆 C 上的点 A（1， ）到 F1、F 2 两点的距离之和等于 4，写出椭圆 C 的方程和3焦点坐标；（2）设点 K 是（1）中所得椭圆上的动点，求线段 F1K 的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点，点 P 是椭圆上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM、k PN时，那么 kPM与 kPN之积是与点 P 位置无关的定值.试对双曲线 写出具有类似特性的性质，并加以证2byax明20 （14 分）已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 轴上，斜率为 1 且过椭圆
6、右焦点 Fx的直线交椭圆于 A、B 两点， 与 共线B(3,)a（1）求椭圆的离心率；（2）设 M 为椭圆上任意一点，且 ，证明 为定 (,)MAR2值参考答案一、1D；解析：x= 化为 x23y 21（x0） 12A；解析：由已知，直线 l 的方程为 ay+bxab=0，原点到直线 l 的距离为 c，则有43，又 c2=a2+b2，4ab= c2，两边平方，得 16a2（c 2a 2）=3c 4，两ba4323边同除以 a4，并整理，得 3e416e 2+16=0，e 2=4 或 e2= .而 0ab，得 e2=42，e 2=4.故 e=2评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质21b以及
7、计算、推理能力.难度较大，特别是求出 e 后还须根据 ba 进行检验.3C；4C ；5C ；6A； 7D ；8B ；9B；10D二、11 ；解析：原方程可化为 y 21，a 24，b 21，a2，b1，c 当21x 3等腰直角三角形，设交点（x，y） （y 0）可得 2xy，代入曲线方程得：y S 2y2 5451612x 24y 21；解析：设 P（x 0，y 0）M（x，y） ， 2xx 0，2yy 0,00yx 4y 21 x24y 2113 ；2)(bal14 ；13,4三、15（1）设 A(x1, y1)、B(x 2、y 2)，由|AF| 、|MF| 、|BF| 成等差数列得 x1+
8、x2=2x0得线段 AB 垂直平分线方程： ),(02121yx令 y=0，得 x=x0+4, 所以 N(x0+4, 0)（2）由 M(x0, y0) , N(x0+4, 0), |MN|=4 , 得 x0=2由抛物线的对称性，可设 M 在第一象限，所以 M(2, 4), N(6,0)直线 PQ: y=x6, 由 得MPQ 的面积是 64),42(),18(.,62 QPxy得16解：（1） 原点到直线 AB： 的距离,3ac 1byax., .22bbd故所求双曲线方程为 .13yx（2）把 中消去 y，整理得 .352ky代 入 0783)1(2kx设 的中点是 ，则CDxC),(),(2
9、1 ),(0xE.1,3153520 20210kxyk kkxyBE,0即 7,0,0315315 222 kkk又故所求 k= .7说明：为了求出 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 的方程.k17解：设 、 ，中点)(1yxA)(2yB),1(0yN当 AB 直线的倾斜角 90时，AB 直线方程是 （2 分）.|ABx当 AB 直线的倾斜角不为 90时， 相减得221,y )(21211yyx所以 （4 分）kykAB21200即设 AB 直线方程为： ，由于弦 AB 与直线 y=1 有公共)(2)(xkyx即点，故当 y=1 时， 10112kk即)(222yyxk故所以 ，1121
10、21k故 )14(4)(| 221212212 kyyykAB 0,40(, 222 k5)14()1(| 2222 kAB故当 |,3641max22ABk时即18解：（）设抛物线方程为 ，将 代入方程得 ，20yp1,2M2p；24x 抛 物 线 方 程 为 : 由题意知椭圆、双曲线的焦点为 ；21,0,F c=1对于椭圆， ；2122 42aM222231bacxy 椭 圆 方 程 为 ： 对于双曲线， 12MF 2222313abcxy 双 曲 线 方 程 为 ： （2）设 的中点为 ， 的方程为： ，以 为直径的圆交 于 两点， 中APClxaAPl,DE点为 H令 1113,2xy
11、xy 2111332DCAPxHax 22211112 344-36yxaaxaDEHlx 当 时 ,为 定 值 ; 为 定 值此 时 的 方 程 为 ： 19解：（1）椭圆 C 的焦点在 x 轴上，由椭圆上的点 A 到 F1、F 2 两点的距离之和是 4，得 2a=4，即 a=2.又点 A（1， ）在椭圆上，因此 =1 得 b2=3，于是 c2=1.232)3(所以椭圆 C 的方程为 =1，焦点 F1（1，0） ，F 2（1，0）.4yx（2）设椭圆 C 上的动点为 K（x 1，y 1） ，线段 F1K 的中点 Q（x，y）满足：， 即 x1=2x+1，y 1=2y.2,11yx因此 =1.
12、即 为所求的轨迹方程.3)(4( 34)2(2（3）类似的性质为：若 M、 N 是双曲线： =1 上关于原点对称的两个点，点 P 是2byax双曲线上任意一点，当直线 PM、PN 的斜率都存在，并记为 kPM、k PN时，那么 kPM与 kPN之积是与点 P 位置无关的定值.设点 M 的坐标为（m，n） ，则点 N 的坐标为（m ，n ） ，其中 =1.2bnam又设点 P 的坐标为（x ，y ） ，由 ，xykxykPNPM,得 kPMkPN= ，将 m2b 2 代入得2mnn222,anbakPMkPN= .2ab评述：本题考查椭圆的基本知识，求动点轨迹的常用方法.第（3）问对考生的逻辑思
13、维能力、分析和解决问题的能力及运算能力都有较高的要求，根据提供的信息，让考生通过类比自己找到所证问题，这是高考数学命题的方向，应引起注意20本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知训，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力.（1）解：设椭圆方程为 ),0(,(12cFbayx则直线 AB 的方程为 ,2c代 入化简得 .02)(22 baxaba令 则 ,21yBxA .,22121 bacxc共线，得),(2121xO由 OBAa与),3(.0(3y.36,36.,2 .23,0)()2(3,22 121121 ace abacbb cxxxxyc故 离 心 率 所 以即又（2）证明：由（I）知 ，所以椭圆 可化为 .2b12byax223byx),(),(),(),( 21yxyxOM由 已 知 得设 .21在椭圆上，),(yx.3)(322121 by即 .3)()( 2121byxxx 由（1）知 .,2,21 cac)(33.82121221 cxxyxb.09)(422cc又 又，代入得 22213,3byxbyx .12故 为定值，定值为 1.
