1、页 1 第成都经开区实验中学 2016 级高三上学期入学考试试题数学（理工类）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 ，若 ，则 a 的值为A. 1 B. 2 C. 3 D. 1 或 2【答案】B【解析】【分析】分别令 a=1、2、3，求出 B 中方程对应的解，即可得出 AB时 a 的取值【详解】a=1 时，B 中方程为 x23x+1=0，其解为无理数，AB=；a=2 时，B 中方程为 x23x+2=0，其解为 1 和 2，AB=1，2；a=3 时，B 中方程为 x23x+3=0，无解，AB=；综上，a 的值为 2故选：B
2、【点睛】本题考查了交集的定义与应用问题，也考查了一元二次方程的解法与应用问题，是基础题目2.已知复数 z 满足 zi=2i+x（xR） ，若 z 的虚部为 2，则|z|=（ ）A. 2 B. 2 C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数的代数形式混合运算化简复数，然后求解复数的模【详解】复数 z 满足 zi=2i+x（xR） ，可得 z= =2xi若 z 的虚部为 2，可得 x=2z=22i|z|=2 故选：B【点睛】本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模以及复数的基本概念的应用，考查计算能力页 2 第3.等差数列 的公差为 2，若 , , 成等比数列，则 的前 8 项和A. 72 B
3、. 56 C. 36 D. 16【答案】A【解析】【分析】a2，a 4，a 8成等比数列，可得 =（a 1+2） （a 1+14） ，解得：a 1再利用求和公式即可得出【详解】a 2，a 4，a 8成等比数列， =a2a8，可得 =（a 1+2） （a 1+14） ，化为：a 1=2则a n的前 8 项和 28+ 2=72故选：A【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4.若函数 为奇函数，则A. B. 2C. -1 D. 1【答案】B【解析】函数 为奇函数，所以可得 ， ，故选 B5.某学校高三年级有 2 个文科班，3 个理科班，现每个班
4、指定 1 人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是（ ）A. 24 B. 32 C. 48 D. 84【答案】A【解析】解：首先安排文科学生，文科两个班的学生有 种安排方法，然后安排理科学生，理科的学生有 种安排方法，利用乘法原理可得，不同的安排方法的种数为 种.页 3 第本题选择 A 选项.6.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为
5、体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.所以其正视图和侧视图是一个圆，因为俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，所以俯视图是有 条对角线且为实线的正方形，故选 B.考点：1、阅读能力及空间想象能力；2、几何体的三视图.7.已知函数 与 互为反函数，函数 的图象与 的图象关于 轴对称，若 ，则实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为 与 互为反函数，所以 又函数 的图象与 的
6、图象关于 轴对称，则 ，所以 ，解得 ，故选 A考点：1、反函数；2、函数的图象页 4 第8.已知命题 ;命题 ,则下列命题中为真命题的是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】命题 1lnx，可得 p 是假命题；命题 q：a1，b1，log ab，log ba0，转化为logab+2logba=logab+ ，利用基本不等式的性质即可判断出真假，再利用简易逻辑的判定方法即可得出【详解】命题 1lnx，因此是假命题；命题 q：a1，b1，log ab，log ba0，log ab+2logba=logab+ 2 =2 ，当且仅当 logab= 时取等号因此 q 是真命题则下列命题中为
7、真命题的是（p）q故选：B【点睛】本题考查了简易逻辑的应用、函数的单调性、基本不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9.已知函数 的图象关于直线 对称，且当 时， ，设，则 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据函数图象关系得到函数 是偶函数，且当 时 为增函数，结合函数奇偶性和单调性的关系进行判断即可详解：函数 的图象关于直线 对称，将 的图象向右平移 1 个单位得到 ，则 关于直线 即 轴对称，则函数 是偶函数，当 时， ，为减函数，当 时 为增函数， 页 5 第即 则 ，即 当 时 为增函数， 即 故选 A点睛：本题主要考查函数值的大
8、小判断，结合条件判断函数的单调性和奇偶性是解决本题的关键10.如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,M 是 AB 的中点,则过 三点的抛物线与 CD 围成阴影部分的面积是A. B. C. 2 D. 【答案】D【解析】【分析】由题意，建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，利用定积分求面积即可【详解】由题意，建立如图所示的坐标系，则 D（2，1） ，页 6 第设抛物线方程为 y2=2px，代入 D，可得 p= ，y= ，S= = = ，故选：D【点睛】本题考查利用定积分求面积，考查学生的计算能力，属于中档题11.过抛物线 焦点的直线 与抛物线交于 、 两点，以 为直径的圆的方程为，则A.
9、1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】求出圆的圆心坐标，利用抛物线的性质求解 p，即可得到结果【详解】过抛物线 y2=2px（p0）焦点的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点，以 AB 为直径的圆的方程为（x3） 2+（y2） 2=16，可得弦长的坐标横坐标为：3，圆的半径为：4直线结果抛物线的焦点坐标，所以 x1+x2=6，x1+x2+p=8，可得 p=2故选：B【点睛】本题考查抛物线的简单性质以及圆的方程的综合应用，考查计算能力12.已知椭圆 ： 的右焦点为 ，过点 的两条互相垂直的直线 ， ， 与椭圆 相交于点 ， ，与椭圆 相交于点 ， ，则下列叙述不正确的是（ ）
10、A. 存在直线 ， 使得 值为 7B. 存在直线 ， 使得 值为C. 四边形 的面积存在最大值，且最大值为 6D. 四边形 的面积存在最小值，且最小值为【答案】D【解析】页 7 第当直线 ， 一个斜率为零一个斜率不存在时，可得 即为长轴， 为通径，则 ，则 A 是正确的； 当直线 ， 的斜率都存在时，不妨令直线 的斜率为 ，由题意知 的直线方程为 ，联立方程 消去 得： ，设 ， ，由韦达定理知：， ，所以 ，同理 ，特别地当时， ，即 ，则 正确 ；由于 ，所以 ，又，故当 不存在或 ， ，故 ，综上所述 C 选项正确，排除 ABC 选项，故选 D点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线
11、的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系二、填空题：本题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分13.执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为_.【答案】30【解析】【分析】页 8 第根据得到该程序的功能是求 p、q 两个数的最小公倍数，由此写出程序执行的步骤，结合题意即可得答案【详解】根据题中的程序框图，可得该程序按如下步骤运行第一次循环，i=1，a=51=5，判断 q 是否整除 a；由于 q=6 不整除 a=5，进入第二次循环，得到 i=2，a=52=10，判断 q 是否整除 a；由于 q=6 不整除 a=10，
12、进入第三次循环，得到 i=3，a=53=15，判断 q 是否整除 a；由于 q=6 不整除 a=15，进入第四次循环，得到 i=4，a=54=20，判断 q 是否整除 a；由于 q=6 不整除 a=20，进入第五次循环，得到 i=5，a=55=25，判断 q 是否整除 a；由于 q=6 不整除 a=25，进入第六次循环，得到 i=6，a=56=30，判断 q 是否整除 a；由于 q=6 整除 a=30，结束循环体并输出最后的 a、i 值因此输出的 a=30 且 i=6故答案为 30【点睛】本题给出程序框图，求最后输出的 a、i 值，属于基础题解题的关键是先根据已知条件判断程序的功能，构造出相应
13、的数学模型再求解，从而使问题得以解决14.在 的展开式中， 的系数为_（用数字作答） 【答案】120【解析】试题分析： 展开式的通项公式为 .则在 的展开式中，含 的项为 ，所以 的系数为 120考点：二项式定理15.已知 在由 确定的平面区域内运动，则动点 所在平面区域的面积为_【答案】16【解析】试题分析：令 因为 在由 确定的平面区域内运动，所以页 9 第，即 ，画出可行域，可行域为斜边为 8 的等腰直角三角形，所以直角边为 ，所以面积为考点：本小题主要考查利用线性规划知识求可行域的面积，考查学生的转化能力和画图能力以及求解计算能力.点评：解决本小题的关键在于将问题转化为求由 表示的平面
14、区域的面积.16.已知双曲线 ： 的右焦点为 ，左顶点为 .以 为圆心， 为半径的圆交 的右支于 ，两点， 的一个内角为 ，则 的离心率为_【答案】【解析】【分析】由题意可得 PAPB，又，APQ 的一个内角为 60，即有PFB 为等腰三角形，PF=PA=a+c，运用双曲线的定义和离心率公式，计算即可得到所求【详解】如图，设左焦点为 F1，圆于 x 轴的另一个交点为 B，APQ 的一个内角为 60PAF=30，PBF=60PF=AF=a+c，PF1=3a+c，在PFF 1中，由余弦定理可得 3c2ac4a 2=03e2e4=0 ，页 10 第故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质
15、，考查直径所对的圆周角为直角，以及等腰三角形的性质，考查离心率公式的运用，属于中档题三、解答题:（本题包括 6 小题，共 70 分。要求写出证明过程或演算步骤）17.在ABC 中， 、 、 分别为角 、 、 所对的边， ，且 (1)求角 的大小；(2)求ABC 外接圆的圆心到 AC 边的距离【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理得 a2+c21=ac，由此能求出角 B 的大小；（2）由正弦定理知 ，从而求出ABC 外接圆的半径为 R，由此能求出ABC 外接圆的圆心到 AC 边的距离【详解】 （1）由 ， 结合余弦定理得：， ，则 ， . (2) 设ABC 外接圆的半径为 R
16、，由正弦定理知页 11 第， 故 , 则ABC 外接圆的圆心到 AC 边的距离 .【点睛】本题考查角的大小的求法，考查三角形外接圆的圆心到边的距离的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理的合理运用18.已知数列 的前 项和为 ,且 对一切正整数 恒成立（1）求当 为何值时,数列 是等比数列,并求出它的通项公式；（2）在（1）的条件下，记数列 的前 项和为 ，求 【答案】 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）再写一个式子，利用 可求得 （2）由（1）可得 ，所以 ，用裂项求和得到 【详解】 （1）由 得：当 n 时， ，两式相减得： ，因为数列 为等比数列，所以 ，又因为 ，
17、所以解得： ，得：（2） 【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3） ；（4）页 12 第；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19.为了研究学生的数学核心素养与抽象能力(指标 x)、推理能力(指标 y)、建模能力(指标 z 的相关性，将它们各自量化为 1、2、3 三个等级，再用综合指标 w=x+y+x 的值评定学生的数学核心素养，若 ,则数学核心素养为一级；若则数学核心素养为二级：若 ,则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素
18、养，调查人员随机访问了某校 10 名学生，得到如下数据：(1)在这 10 名学生中任取两人，求这两人的建棋能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；(2)在这 10 名学生中任取三人，其中数学核心素养等级足一级的学生人数记为 X,求随机变量 X 的分布列及其数学期望。【答案】 （1） ；（2）见解析【解析】【分析】（1）由表格结合条件概率公式即可得到结果；（2）X 的所有可能取值为 0,1，2，3，求出相应的概率值，带入期望公式得到结果.【详解】x 2 3 3 1 2 2 2 2 2 2y 2 2 3 2 3 3 2 3 1 2z 3 3 3 2 2 3 2 3 1 2w 7 8 9 5 7
19、8 6 8 4 6（1）由题可知:建模能力一级的学生是 ；建模能力二级的学生是 ；建模能力三级的学生是.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件 ，记“所取的两人的综合指标值相同 ”为事件 .页 13 第则 (2)由题可知，数学核心素养一级的学生为: ，非一级的学生为余下 4 人的所有可能取值为 0,1，2，3.，随机变量 的分布列为：0 1 2 3【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解
20、关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.20.在三棱柱 ABCA 1B1C1中，侧面 ABB1A1为矩形，AB=2，AA 1=2 ，D 是 AA1的中点，BD 与 AB1交于点 O，且 COABB 1A1平面（1）证明：BCAB 1；（2）若 OC=OA，求直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值【答案】 （1）证明见解析；（2） 【解析】试题分析：（1）要证明 ，可证明 垂页 14 第直于 所在平面 ，已知 垂直于侧面 ，所以 垂直于 ，只要在矩形 垂直与 即可，可利用角的关系加以证明；（2）分布以 所在的直线为 轴，以 为原点，建立空间直角坐标系，求出 ，平面 一个法向量，利用向量的夹角
21、公式，即可得出结论试题解析：证明：由题意，因为 ABB1A1是矩形，D 为 AA1中点，AB=2，AA 1=2 ，AD= ，所以在直角三角形 ABB1中，tanAB 1B= = ，在直角三角形 ABD 中，tanABD= = ，所以AB 1B=ABD，又BAB 1+AB 1B=90，BAB 1+ABD=90，所以在直角三角形 ABO 中，故BOA=90，即 BDAB 1，又因为 CO侧面 ABB1A1，AB1侧面 ABB1A1，所以 COAB 1所以，AB 1面 BCD，因为 BC面 BCD，所以 BCAB 1（）解：如图，分别以 OD，OB 1，OC 所在的直线为 x，y，z 轴，以 O 为
22、原点，建立空间直角坐标系，则A（0， ，0） ，B（ ，0，0） ，C（0，0， ） ，B 1（0， ，0） ，D（ ，0，0） ，又因为 =2 ，所以所以 =（ ， ，0） ， =（0， ， ） ， =（ ， ， ） ，=（ ，0， ） ，设平面 ABC 的法向量为 =（x ，y，z） ，则根据 可得 =（1， ， ）是平面 ABC 的一个法向量，设直线 CD 与平面 ABC 所成角为 ，则 sin= ，所以直线 CD 与平面 ABC 所成角的正弦值为 页 15 第考点：直线与平面垂直的判定与证明；直线与平面所成的角的求解21.设二次函数 f(x) ax2 bx c 的图象过点(0,1)和(
23、1,4)，且对于任意的实数 x，不等式 f(x)4 x 恒成立(1)求函数 f(x)的表达式；(2)设 g(x) kx1，若 F(x)log 2g(x) f(x)在区间1,2上是增函数，求实数 k 的取值范围【答案】 （1） f(x) x22 x1；（2） k6.【解析】试题分析：(1) 恒成立得 ；(2)化简 在区间 上为增函数且恒为正实数 ，试题解析：(1)f(0) c1， f(1) a b c4， f(x) ax2(3 a)x1.f(x)4 x 即 ax2( a1) x10 恒成立得解得 a 1. f(x) x22 x1. (2)F(x)log 2g(x) f(x)log 2 x2( k
24、2) x由 F(x)在区间1,2上是增函数，得 h(x) x2( k2) x 在区间1,2上为增函数且恒为正实数， 解得 k6.22.已知函数 ， （其中 ，且 ）.（1）求函数 的定义域.页 16 第（2）判断函数 的奇偶性，并予以证明.（3）求使 成立的 的集合.【答案】 （1） ；（2）见解析；（3） 或【解析】【分析】（I）由 有意义可得 ，即可得到函数 的定义域（II）设 ，对于函数 ，由于它的定义域关于原点对称，且 ，可得函数 为奇函数（III）讨论 由对数函数的单调性，解不等式即可得到解集，注意定义域的运用【详解】 （I）由题意得： ， ，所求定义域为 （II）函数 为奇函数，令 ，则 ， ，函数 为奇函数（III） ，当 时， ， 或 当 时， ，不等式无解，综上：当 时，使 成立的 的集合为 或 【点睛】本题主要考查对数函数的图象和性质的综合应用，考查函数的奇偶性和单调性的运用，属于中档题页 17 第
