1、尚国荣 数学实验三最佳分数逼近实验环境:mathematica实验目的:1、用“连分数展开”的方法计算圆周率 的近似值； 2、通过实验来体会“连分数展开”的方法与其他方法的区别，比较各种方法的优劣；3、尝试用“连分数展开”的方法对其他的数进行展开。实验方法：1、Mathematica中常用的展开数与多项式的函数的使用；2、计算圆周率 “连分数展开”方法，并且利用特定的函数来展开其他数实验步骤：一多项式的展开与化简多项式是表达式的一种特殊的形式，所以多项式的运算与表达式的运算基本一样，表达式中的各种输出形式也可用于多项式的输出。Mathematica 提供一组按不同形式表示代数式的函数。如：1.
2、 对 进行分解，使用的函数为 Factor：12x代码： Factorx12 1结果： 1 x1 x1 x21 x x21 x x21 x2 x42. 展开多项式 与 ，使用的函数为 Expand:7+2（ ） 5y（ ）代码： Expandx y 75结果：16807 12005x 3430x2 490x3 35x4 x5 12005y 6860xy1470x2y 140x3y 5x4y 3430y2 1470xy2 210x2y210x3y2 490y3 140xy3 10x2y3 35y4 5xy4 y53. 连个多项式相除，总能写成一个多项式和一个有理式相加， Mathematic 中
3、提供两个函数 PolynomialQuotient 和 PolynomialRemainder 分别返回商式和余式：代码： PolynomialQuotientx3,2 2x,x结果：12 x2 x224. 化简 与 ，使用的函()4()3(1)3(2)4(3)1xx数为 Pimplify:代码： SimplifyExpandx 14 x 2x 3结果： 1 x42 x3x二. 的连分数展开的求解方法之前我们已经有许多种，但都比较繁琐而且误差较大，如何找到误差较小的 的近似值求解方法，我们在所得整数 3 的基础上进行分析，有了整数 3，则 =3+ ，其中 是 3 的误差， 。1x10.4592
4、67.10x只要能找到 的最佳分数逼近值，再加 3 就得到 的最佳分数近似值。从而我1 们使用一种方法“连分数展开“，其原理是 为了寻找与 接近的分数，先找1x接近的整数，显然是 7.于是17.0625139.Ax 1237A这是祖冲之的效率。在此基础上，我们可以再用上述方法，要找到比 误差更小的分数近似27值，只需要找到比整数 7 更接近 的分数来作为 的近似值。由于 ，1A1A127Ax其中 。先找 的最佳整20.651309.x25.964085.x数近似值，显然是 16.于是 ，从而12137A，这就得到祖冲之的密度。12353716A如果还要进一步提高精确度，就应当在考虑 的整数近似
5、值 16 的误差2A，取 的整数近似值32160.34591.xA319.634510.Ax294，则可得到 的更好的近似值 。将这样的过程无限的进行下716294去，得到的 的越来越精确的近似值。对于 的连续分式的 5 项，Mathematics 程序运行如下，得到的近似值为3.14159，精确度为小数点后 5 位。代码： ContinuedFractionPi,5结果： 3,7,15,1,292代码；a 3;b 7;c 15;d 1;e 292;m a 1b 1c 1d 1eprintNm,5结果： 10399333102三其他一些数的连分数展开1、有理数代码： ContinuedFrac
6、tion4717结果： 2,1,3,4代码： 2 11 13 14结果：47172、二次无理数 (循环连续分式）代码： ContinuedFractionSqrt13结果： 3,1,1,1,1,6代码： ContinuedFractionSqrt13,20结果： 3,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1,6,1,1,1,1代码： ContinuedFractionNPi,20结果： 3,7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,23、 的连续分式的 n 项是很有规律e代码： ContinuedFractionSqrtE,25 结果：1,1,1
7、,1,5,1,1,9,1,1,13,1,1,17,1,1,21,1,1,25,1,1,29,1,14、 的连续分式前 1000 项的几何平均数代码： NApplyTimes,ContinuedFractionPi,100011000结果： 2.66563代码： NKhinchin结果： 2.68545代码： ContinuedFractionExpPiSqrt163,10结果：262537412640768743,1,1333462407511,1,8,1,1,5,1,4代码： NExpPiSqrt163,50结果：2.6253741264076874399999999999925007259
8、719818568888 1017代码： ContinuedFractionCoth1,20结果：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39代码： ContinuedFractionBesselI0,1BesselI1,1,20结果：2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40代码： ContinuedFractionBesselI1,2BesselI0,2,20结果：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19结果分析：虽然在实验过程中存在语句错写问题，但经过分析、改正均达到实验预期结果；并在最后给出了用公式法计算 的值，随着精度的增高，结果越来越逼近，越近似。
