1、第页 12019 届吉林省实验中学高三上学期期中考 试数学（理）试卷（解析版）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. ，则 用区间可表示为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先化简集合 A 和 B，再根据交集运算的定义求解。【详解】集合 = ， =所以 ，答案选 C。【点睛】在进行集合运算时，当集合没有化简，要先化简集合；当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助 Venn 图运算；当集合为无限集时，可借助数轴进行运算。集合的交、并、补运算口诀如下：交集元素仔细找，
2、属于 A 且属于 B；并集元素勿遗漏，切记重复仅取一；全集 U 是大范围，去掉 U 中 A 元素，剩余元素成补集 。2.已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】向量 ， ，由 ，得 ，解得： ，故选 B.3.等差数列a n中，a 1+a5=14，a 4=10，则数列a n的公差为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】第页 2利用等差数列的性质，a 1+a5=14 可化为 ，可求 ，再运用公差计算公式 即可求出结果。【详解】因为a n为等差数列，所以 = =而 a4=10，所以 ，所以公差 =3。答案选 C。【点睛】本题考
3、查了等差数列的性质及公差计算公式，属于基础题。4.若 ，且为第二象限角，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由诱导公式得 ，再求出 ，最后根据定义求 。【详解】因为 ，所以 ，又因为 为第二象限角，所以 ，所以 = 。答案选 A【点睛】本题考查了诱导公式，同解三角函数关系及三角函数在各象限内的符号等知识点，都属于基本知识，比较容易，但在求三角函数的值时，较容易出现符号错误，需要注意。5.在正项等比数列a n中，若 a1=2，a 3=8,数列a n的前 n 项和为 ，则 S6 的值为（）A. 62 B. 64 C. 126 D. 128【答案】C【解析】【分析】第页 3
4、根据 a1=2，a 3=8 先求出公比为 2，再代入a n的前 n 项和公式计算即可。【详解】因为a n是正项等比数列，所以 ，即 ，所以a n的前 6 项和为 为 = =126，答案选 C【点睛】本题考查了等比数的公比计算公式及前 n 项和公式，属于基础题。6.函数 的零点个数为（ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个【答案】C【解析】【分析】函数 的零点个数问题等价于方程 解的个数问题，考查函数 和函数 的图像交点个数，即可。【详解】作出函数 和函数 的图像如下：.由图像可知，函数 和函数 的图像有两个交点，即方程 有 2 个解，所以函数 的零点有 2 个，答案选 C。
5、【点睛】本题考查了函数与方程的关系，涉及函数数第页 4零点的问题可化为方程根的个数问题讨论，而方程解的个数问题又可化为函数的零点问题进行讨论，而数形结合是解决这类问题最主要的方法。7.设可导函数 在 R 上图像连续且存在唯一极值，若在 x2 处， f(x)存在极大值，则下列判断正确的是( )A. .B. .C. .D. .【答案】A【解析】【分析】根据函数极值的判定方法，极大值点左侧导函数值为正，右侧为负，即可判断。【详解】由题意知， x2 为导函数 的极大值点，所以，当 时， ；当 时， 。故答案选 A。【点睛】本题考查函数极值的判定方法，属于基础题。8. ( )A. B. C. D. 【答
6、案】B【解析】【分析】首先判断 为定义域 上的偶函数，再讨论当 和 时的单调性，最后将不等式 化为 ，即 ，求解即可。【详解】易知 为定义域 上的偶函数，当 时， ，因为 和 均为减函数，所以 在 时为减函数。根据偶函数的性质可得， 在 时为增函数。所以不等式 等价于 或第页 5解得 。答案选 B。【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性和奇偶性求解不等式问题，其中根据函数的解析式得到函数的定义域和单调性、奇偶性转化不等式是解题关键，着重考查了转化能力以及推理计算能力，综合性较强，属于中档题。9.函数 的最小正周期为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式把函数 化
7、为 ，再运用辅助角公式把函数化为，最后求最小正周期【详解】 = ，所以最小正周期 。答案选 D。【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，三角函数的最小正周期的求法，此类问题通常要先对所给函数式进行恒等变换，最终化为 的形式，再利用正弦函数的性质进行求单调区间，最值或值域，对称轴或对称中心，周期则要用公式 计算。10.在 中， ( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】在 中，所以= = =27。所以 ，答案选 A。第页 611.设偶函数 满足 ，且当 时， ，则 在 上的单调性为( )A. 递增 B. 递减 C. 先增后减 D. 先减后增【答案】D【解析】【分析】由函数 满足 ，可得
8、函数 的周期为 4，且为偶函数，另外，当 时， 是增函数，可推测 在 上单调减，运用周期性即可推断在 上的单调性。【详解】因为 满足 ，所以函数 的周期为 4。又当 时， ，所以 ，且当 时，有 ，所以 在 上单调增。另外，因为函数 是 R 上的偶函数，所以 在 上单调减，所以 在 上先减后增；所以 在 上的单调性为先减后增。答案选 D。【点睛】本题主要考查函数的单调性的判断，根据函数的奇偶性，周期性和单调性的关系是解决问题的关键。本题是一道综合性较强的中档题。12. 恒成立，则下列各式恒成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数 ，求出 ，得到该函数为 R 上的
9、增函数，故得 ， ，从而可得到结论。第页 7【详解】设 ，所以 =因为对于 ，所以 ，所以 是 R 上的增函数，所以 ，即 ， ，整理得 和 。故答案选 B。【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，导数的运算法则的应用，属于中档题。二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13.已知向量 ，则 的夹角余弦值为_ 【答案】【解析】【分析】将条件代入向量夹角计算公式即可。【详解】设 的夹角为，则= = 。【点睛】本题考查平面向夹角的计算，属于基础题。14.在 ABC 中，若 ，则 _ .【答案】2【解析】【分析】由正弦定理，将式子中的边化为角，代入即可。【详解】因为所以
10、， ，所以第页 8= = = =2。【点睛】本题主要考查正弦定理的变形运用，属于基础题。15.若 f(x) x3f(1)x 2x ，则在（1，f(1)）处曲线 的切线方程是_【答案】2x-3y+1=0【解析】【分析】首先对函数求导得 ，把 代入可求 ，把 代入函数 可求 ，用点斜式方程写出切线并化简即可。【详解】因为 f(x) x3f(1)x 2x ，所以把 代入，则 ，所以 ，把 代入，则所以过点（1，f(1)）处曲线 的切线方程整理得 。【点睛】本题考查了导数的几何意义，属于基础题。16. ：； .其中真命题的序号为 _【答案】(2)(3)【解析】【分析】运用二倍角、辅助角公式将函数 化为
11、 ，分别求其对称轴，对称中心，第页 9并进行图像平移，讨论三个结论即可。【详解】函数 可化为 ，所以 ，所以函数 的对称轴为 ，故命题（1）错误；函数 的对称中心为 ，取 时，对称中心为 ，命题（2）正确；函数 向左平移 个单位，得 = = ， 为奇函数，命题（3）正确。故答案为(2)(3)。【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查三角函数的对称性、三角函数的图像平移， 属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外 ，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手
12、，然后集中精力突破较难的命题三、解答题：(本大题共 6 题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.已知等差数列 满足 。（1）求通项 ；（2）设 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，求数列 通项公式及前 n 项和 .【答案】 （1） ；（2） ， 。【解析】【分析】(1)根据等差数列通项公式，结合条件建立关于首项与公差的方程组 ，求解即可；（2）可先求出 的通项，再解出数列 通项公式，求其前 n 项和则运用分组求和的方法求解即可。【详解】 （1）由题意得 ，解得 ，（2 ），第页 10， 。【点睛】本题考查了等差数列、等比数列通项公式及分组求和法，比较基础，难度不大，
13、关键是掌握基本公式即可。18. （1 ） 求 的表达式； （2 ）将 f（x）的图象向右平移 个单位后得到 y=g（x）的图象，求 在 上的值域【答案】 （1） ；（2） 。【解析】【分析】(1)运用向量的数量积计算公式代入，并对函数式进行三角恒等变换，可得 的表达式；（2）先根据图像平移得到 ，再结合图像与性质求值域。【详解】 （1），。（2 ） ，。【点睛】本题主要考查三角恒等变换及三角函数的值域，属于中档题。形如 ， 的函第页 11数求值域，分两步：（1） 求出 的范围；（2）由 的范围结合正弦函数的单调性求出 ，从而可求出函数的值域。19.设数列 的前项和为 ，满足 （1 ）求数列 的
14、通项公式；（2 ）设 求数列 前项和 【答案】 （1） ；（2） 。【解析】【分析】（1）根据数列的前 n 项和与数列的通项的关系 ，可求通项；（2）先由（1）的结论求出数列的通项公式，再运用裂项法求其前 n 项和。【详解】 （1）当 时， -得 ；即 又 ；得： ，数列 是以 为首项， 2 为公比的等比数列 （2 ） ， ， ， 第页 12【点睛】本题考查数列的前 n 项和与数列的通项的关系及裂项法求和，属于中档题。在运用数列的前 n 项和与数列的通项的关系求数列的通项时，比较容易忘记关系式 中的条件，即求出通项后，一定要验证 n=1 时，通项公式是否也成立。20.设函数 .（1）求函数 的
15、极小值;（2）若关于 的方程 在区间 上有唯一实数解，求实数 的取值范围.【答案】 （1）函数 的极小值为 ；（2） 。【解析】【分析】（1）对函数求导并求导函数的零点，讨论函数单调性，确定极小值点，并求得极值。 （2）结合（1）的结果“方程 在区间 上有唯一实数解”即为 ，解不等式即可。【详解】 （1）依题意知 的定义域为 。，所以函数 的极小值为 。（2）由（1）得所以要使方程 在区间 上有唯一实数解，只需 ，。【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值及讨论方程问题，属于中档题。21.在 中，角 的对边的边长为 ，且 。（1）求 的大小；第页 13（2 ） 若 ，且 ，求边长 的值。【答案】
16、 （1） ；（2 ） 。【解析】【分析】（1）运用正弦定理将条件 中的边化为角，进行三角恒等变形，可得 ；（2）运用余弦定理，三角形的面积公式。结合条件 ，即求 。【详解】 （1）由正弦定理得又因为在三角形中 ， ，可得 ，又 ，所以 . ， 【点睛】本题主要考查三角形正弦定理、余弦定理和三角函数的恒等变换公式，及三角形面积。属于中档题。22.已知函数 f（x）=lnxax，其中 a 为实数 （1 ）求出 f（x）的单调区间 ；（2 ）在 a1 时，是否存在 m1，使得对任意的 x（1 ，m）,恒有 f（x）+a0，并说明理由.【答案】 （1）答案见解析；（2）在 a1 时，存在 m1，使得对
17、任意 x（1，m）恒有 f（x）+a0。理由见解析。第页 14【解析】【分析】（1）对函数求导，并分 a0 和 a0 两种情况讨论。可求出结果；（2）结合（1）将 a1 分为 a0 和两种情况进行讨论即可。【详解】 （1）f（x）=lnxax， ，当 a0 时，f（x）0 恒成立，函数 f(x)在定义域（0，+）递增；无减区间（2 分）当 a0 时，令 f（x）=0，则 x= ，当 x（0， ）时，f（x）0，函数为增函数，当 x（ ，+）时，f（x）0，函数为减函数。（2 ）在 a1 时，存在 m1 ，使得对任意的 x（1，m）恒有 f（x）+a0 。理由如下：由（1）得当 a0 时，函数 f(x)在（1，m）递增，即 f（x）+a0。综上可得：在 a1 时，存在 m1，使得对任意 x（1，m）恒有 f（x）+a0。【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及恒成立问题，着重考查了转化思想，分类讨论思想，及学生的运算能力、推理能力。属于中档题。第页 15
