1、第页 12019 届吉林省实验中学高三上学期期中考 试数学（文）试题（解析版）一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集 ，集合 ，则 用区间可表示为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解不等式得到集合 A,B 后再求出 【详解】由题意得 ， 故选 C【点睛】本题考查不等式的解法和集合的交集运算，属于基础题2.已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】向量 ， ，由 ，得 ，解得： ，故选 B.3.等差数列a n中，a 1+a5=14，a 4=10
2、，则数列a n的公差为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的性质，a 1+a5=14 可化为 ，可求 ，再运用公差计算公式 即可求出结果。【详解】因为a n为等差数列，第页 2所以 = =而 a4=10，所以 ，所以公差 =3。答案选 C。【点睛】本题考查了等差数列的性质及公差计算公式，属于基础题。4.若 ，且 为第二象限角，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先由题意求得 ，然后求出 ，进而可得 【详解】由题意得 ，又 为第二象限角， ， 故选 A【点睛】本题考查同角三角函数关系式，考查基本公式的运用和计算能力，解题时容易出
3、现的错误是用平方关系解题时忽视所求值的符号，求解的关键是注意角的范围5.在正项等比数列a n中，若 a1=2，a 3=8,数列a n的前 n 项和为 ，则 S6 的值为（）A. 62 B. 64 C. 126 D. 128【答案】C【解析】【分析】根据 a1=2，a 3=8 先求出公比为 2，再代入a n的前 n 项和公式计算即可。【详解】因为a n是正项等比数列，所以 ，即 ，第页 3所以a n的前 6 项和为 为 = =126，答案选 C【点睛】本题考查了等比数的公比计算公式及前 n 项和公式，属于基础题。6.函数 的零点的个数为（ ）A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
4、【答案】B【解析】【分析】由题意可得函数 为增函数，然后再根据零点存在性定理进行判断可得结论【详解】 ，函数 在 上为增函数又 ，函数 在 上存在唯一的零点故选 B【点睛】判断函数零点的个数时，可根据函数的单调性和零点存在性定理进行判断，也可将问题转化成判断两个函数的图象的公共点的个数的问题求解7.设可导函数 在 R 上图象连续且存在唯一极值，若在 x2 处， f(x)存在极大值，则下列判断正确的是( )A. 当 时， ，当 时， .B. 当 时， ，当 时， .C. 当 时， ，当 时， .D. 当 时， ，当 时， .【答案】A【解析】【分析】根据函数极大值的定义进行判断即可【详解】函数
5、的定义域为 R，且在 处存在唯一极大值，当 时函数 单调递增，当 时函数 单调递减，第页 4当 时， ，当 时， 故选 A【点睛】本题考查函数极值的判定，解题时要注意极值点两侧的函数的单调性，进而得到极值点两侧的导函数的符号，属于基础题8.设函数 ，则使得 成立的 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意得到函数 为偶函数，且在 上单调递减，然后将不等式转化为变量到对称轴的距离的大小的问题求解【详解】 ，函数 为偶函数，且在 上单调递减，在 上单调递增 ， ， ，解得 ， 的取值范围是 故选 B【点睛】解答本题的关键是根据函数的性质将问题进行转化，得到绝对值不
6、等式后可得所求的范围考查对基本初等函数性质的掌握和应用，属于基础题9.函数 的最小正周期为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用二倍角公式把函数 化为 ，再运用辅助角公式把函数化为第页 5，最后求最小正周期【详解】 = ，所以最小正周期 。答案选 D。【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，三角函数的最小正周期的求法，此类问题通常要先对所给函数式进行恒等变换，最终化为 的形式，再利用正弦函数的性质进行求单调区间，最值或值域，对称轴或对称中心，周期则要用公式 计算。10.在 ABC 中， A60， AC2， ABC 的面积为 ，则 BC 的长为( )A. B. C. D. 3【
7、答案】A【解析】【分析】先根据题意求出 ，然后再根据余弦定理求得 【详解】 A60， AC2， ABC 的面积为 ， ， 在 ABC 中，由余弦定理得， 故选 A【点睛】解三角形常与三角形的面积结合在一起考查，考查综合运用知识解决问题的能力，解题时注意各个公式间的联系，同时还要注意公式中的常用变形11.对于在 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足 ，则必有( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】第页 6先由题意得到函数的单调性，然后跟根据单调性进行判断可得结论【详解】不等式 等价于 或 ，即原不等式等价于 或 ，当 时，函数 单调递增；当 时，函数 单调递减，当 时，函数 取
8、得极大值，也为最大值， 故选 B【点睛】本题考查函数最值和单调性的关系，考查对基本概念的理解，解题时可根据导函数的符号得到函数的单调性，进而得到函数的最值情况，属于基础题12.设偶函数 满足 ，且当 时， ，则 在 上的单调性为（ ）A. 递增 B. 递减 C. 先增后减 D. 先减后增【答案】D【解析】【分析】由题意可得函数 的周期为 4，由函数为偶函数，所以可得函数在 上的单调性和在区间 上的单调性相同，进而可得答案【详解】 ，函数 为周期函数，且周期为 4函数在 上的单调性和在区间 上的单调性相同又当 时， ，函数 在 上单调递增，函数 为偶函数，函数 在 上单调递减 在 上的单调性为先
9、减后增故选 D【点睛】本题考查函数的周期性、奇偶性和单调性，考查分析问题和解决问题的能力，解题的关键是根据周期性将问题转化到已知区间上求解二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共 20 分)第页 713.若函数 ，则曲线 在点 处的切线的斜率为_。【答案】2+e【解析】【分析】根据导数的几何意义求解即可得到结论【详解】 ， ， ，即曲线 在点 处的切线的斜率为 故答案为 【点睛】本题考查导数的几何意义，求解的关键是正确得到导函数，进而得到导函数的函数值，属于简单题14.已知向量 ，则 的夹角余弦值为_ 【答案】【解析】【分析】将条件代入向量夹角计算公式即可。【详解】设 的夹角为，
10、则= = 。【点睛】本题考查平面向夹角的计算，属于基础题。15.在 ABC 中，若 ，则 _ .【答案】2【解析】【分析】由正弦定理，将式子中的边化为角，代入即可。【详解】因为所以 ， ，第页 8所以= = = =2。【点睛】本题主要考查正弦定理的变形运用，属于基础题。16.关于函数 ，有如下命题：（1 ） 是 图象的一条对称轴；（2 ） 是 图象的一个对称中心；（3）将 的图象向左平移 ，可得到一个奇函数的图象。其中真命题的序号为_。【答案】(2)(3)【解析】【分析】将函数的解析式化为 ，然后对给出的三个命题分别进行验证后可得正确的命题【详解】由题意得 ，对于（1），当 时， ，所以 不是
11、函数图象的对称轴，所以（1）不正确对于（2）， 时， ，所以 是 图象的一个对称中心，所以（2）正确对于（3） ，将 的图象向左平移 后所得图象对应的解析式为，为奇函数，所以（3）正确综上可得（2）（3）为真命题故答案为（2）（3）【点睛】本题考查三角函数的性质和图象变换，解题的关键是将函数的解析式化为 的形式后，将 作为一个整体，并结合余弦函数的性质求解，属于基础题三、解答题：(本大题共 6 题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.已知等差数列 满足 。（1）求通项 ；（2）设 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 求数列 通项公式及前 n 项和 .第页 9【答案
12、】 （1） ；（2） ， 。【解析】【分析】(1)根据等差数列通项公式，结合条件建立关于首项与公差的方程组 ，求解即可；（2）可先求出 的通项，再解出数列 通项公式，求其前 n 项和则运用分组求和的方法求解即可。【详解】 （1）由题意得 ，解得 ，（2 ）， 。【点睛】本题考查了等差数列、等比数列通项公式及分组求和法，比较基础，难度不大，关键是掌握基本公式即可。18.设函数 。（1 ） 求函数 的单调减区间；（2 ） 若函数 在区间 上的极大值为 8，求在区间 上的最小值。【答案】 （1）减区间为（1，2 ） ；（2）f(x)的最小值为 -19。【解析】【分析】（1）先求出 ，由 可得减区间；
13、（2）根据极大值为 8 求得 ，然后再求出最小值【详解】 （1）f（x）=6x 2-6x12=6（x-2） （x+1） ，令 ，得1x 2函数 f（x）的减区间为（1，2 ） （2）由（1）知，f（x）=6x 2-6x12=6（x+1） （x 2） ，第页 10令 f（x）=0，得 x=-1 或 x=2（舍） 当 x 在闭区间-2，3变化时，f（x） ，f（x）变化情况如下表x (-2,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3)f（x） + 0 - 0 +f（x） 单调递增 m+7 单调递减 m-20 单调递增当 x=-1 时， f（x）取极大值 f（-1 ）=m+7，由已知 m+7=8，得
14、m=1当 x=2 时 f(x)取极小值 f(2)=m-20=-19又 f(-2)=-3,所以 f(x)的最小值为-19【点睛】 （1）解题时注意导函数的符号与函数单调性间的关系；（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数在该区间上的极值，然后再求出函数在区间端点处的函数值，比较后最大者即为最大值，最小者即为最小值19.若向量 ，其中 ，记 ，且最小正周期为 。（1 ） 求 的表达式； （2）将 的图象向右平移 个单位后得到 的图象，求 在 上的值域【答案】 （1） ；（2） 。【解析】【分析】（1）由向量的数量积得到 ，根据周期得到 ，从而得到函数的解析式；（2）根据平移得到函数 ，然后根据
15、 x 的范围得到 的范围，结合图象可得函数的值域【详解】 （1）第页 11， （2 ） ， ， 【点睛】 （1）向量与三角函数的结合是常考题型，特别是向量的数量积、向量的共线等，体现了向量的工具性（2）解决函数 的有关问题时，通常把 看作一个整体，并结合正弦函数的有关性质求解20.设数列 是等差数列，数列 是等比数列，公比大于零，且 。（1 ） 求数列 的通项公式；（2 ） 设 ，求数列 的前 n 项和 。【答案】 （1） ；（2） 。【解析】【分析】（1）由题意求出数列 的首项和公差及数列 的首项与公比，进而得到通项公式；（2）由（1）可得，然后利用裂项相消法求出数列的和 【详解】 （1）
16、，第页 12，解得 ， ,，【点睛】使用裂项相消法求和时，一是要注意数列满足的特征，二是要注意正负项相消时消去了哪些项 ，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项 未被消去的项有前后对称的特点 ，实质上造成正负相消是此法的根源与目的21.在 中，角 的对边的边长为 ，且 。（1）求 的大小；（2 ） 若 ，且 ，求边长 的值。【答案】 （1） ；（2 ） 。【解析】【分析】（1）运用正弦定理将条件 中的边化为角，进行三角恒等变形，可得 ；（2）运用余弦定理，三角形的面积公式。结合条件 ，即求 。【详解】 （1）由正弦定理得又因为在三角形中 ， ，第页 13可得 ，又 ，所以 . ， 【点睛】本题主
17、要考查三角形正弦定理、余弦定理和三角函数的恒等变换公式，及三角形面积。属于中档题。22.设函数 .（1）求函数 的极小值；（2 ） 若关于 x 的方程 在区间 上有唯一实数解，求实数 的取值范围.【答案】 （1）极小值为 ；（2） 。【解析】【分析】（1）根据导函数的符号判断出单调性，然后可求出函数的极小值；（2）由题意并结合分离参数法得到方程，设 ，然后得到函数 的单调性和最值，进而得到其图象，最后根据 和函数 的图象可得到所求的范围【详解】 （1）依题意知 的定义域为 ， ， ，则 单调递增，第页 14， 单调递减所以当 时函数 取得极小值，且极小值为 （2），所以 ，只需 令 ，则 ，由 ，得 ；由 ，得 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数.当 时函数 有最大值，且最大值为 ，又 ， 当 或 时，方程 ，实数 m 的取值范围为 【点睛】研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数的大致图象，标明函数极(最) 值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的展现
