1、构建数学模型巧解应用题许多排列、组合应用题直接求解往往较为困难，若能认真阅读理解题意，抽象出其中的数量关系，通过构建数学模型来求解，则简捷、巧妙，同时也能培养同学们的探索能力和创新能力下面举例说明一、构建方程模型例 上一个有 10 级的台阶，每步可上一级或两级，共有多少种上台阶的方法？解析：设 x 表示上一级台阶的步数，y 表示上两级台阶的步数，则 210(0)xyZ， 当 4xy，时，6 步走完 10 级台阶的方法为 26C种；当 081对应的 y的取值分别为 5，3，2，1，0 相对应的上台阶的方法为0465789C，和 01C故总有上台阶的方法为 02468105679C种点评：构建方程
2、模型的关键是：找到等量关系，正确列出方程二、构建不等式模型例 2 某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 3 件，磁盘至少买 2 盒，则不同的选购方式共有（ ）5 种 6 种 7 种 8 种解析：设买单片软件 x 件，盒装磁盘 y 盒，则命题转化为不等式组：6075032xy， ()yN的解的个数不难求得 ()(34)2()5(62)， 为其解，所以不同的选购方式共有 7 种点评：根据题意分析不等关系，通过设元正确列出不等式组是解题的关键三、构建数列模型例 3 跳格游戏：如图 1，人从格外只能进入第 1 格，在格中
3、每次可向前跳 1 格或 2 格，那么人从格外跳到第 8 格的方 法种数为（ ）21 26 17 13解析：设跳到第 n 格的方法种数为 na，则到达第 n 格的方法有两类：向前跳 1 格到达第 n 格，方法数为 1na；向前跳 2 格到达第 n 格，方法数为 2na，则由分类加法计数原理知： 2n，由数列的递推关系得该数列的前 8 项为，1，2，3，5，8，13，21所以人从格外跳到第 8 格的方法种数为 21 种点评：本题通过数列模型，考查了根据逻辑推理进行分类讨论的能力四、构建立体几何模型例 如图 2，A，B ，C，D 为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共
4、有（ ）解析：如图 2，构造三棱锥 ABCD，四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法，这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法为 36种，任取三条共面棱的不同取法为 4 种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法为 41种点评：本题根据问题特征，巧妙地构建恰当的立体几何图形，用几何知识去解，显得直观清晰、简洁明快五、构建隔板模型例 5 把 20 个相同的球全部装入编号分别为 1，2，3 的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，问有多少种不同的装法解法一：运用隔板法必须同时具备以下三个条件： 所有元素必须相同
5、 所有元素必须分完每组至少有一个元素此例有限制条件，不能直接运用隔板法但可转化为隔板问题向 1，2，3 号三个盒子中分别装入 0，1，2 个球后还剩下 17 个球，然后再把这 17 个小球分成 3 份，每份至少一球，运用隔板法，共有 2160C种不同的分法解法二：此例可转化为不同的两类元素，即小球和隔板的排列问题，向 1，2，3 号三个盒子中分别装入 1，2，3 个球后还剩下 14 个球，然后再将这 14 个球装入，号三个盒子中的某几个（不再要求每个盒子必须有球） ，故可从这 14 个球和 2 个隔板所占的16 个位置中选出 2 个位置放隔板，剩下的位置放小球即可故共有 160C种不同的分法点
6、评：根据问题的特点，把握问题的本质，通过联想、类比是构建隔板模型的关键六、构建邮筒模型例 6 若集合 12A，满足 12A，则称 12()A，为集合 的一个分析；并规定：当且仅当 12时， ()与 ()，为集合 的同一种分拆，则集合 123Aa，的不同分拆种数为 解析：建立数学模型，如图 3，设集合 2()A为邮筒，设集合 12A为邮筒，设集合 1为邮筒，设123a，三个元素为三封信，则问题转化为我们非常熟悉的“把三封信投入到三个邮筒共有多少种投递方法”的问题可分三步进行求解：第一步投 1a，共有 13C种投法；第二步投 2a，共有 13C种投法；第三步投 3a，共有 13C种投法根据分步乘法计数原理共有 137种投法，即集合12A，的不同分拆种数为 27点评：本题属集合类信息迁移题，若直接分类求解则较繁这里通过构建邮筒模型转化求解，则思路清晰、图文并茂、运算简炼、颇为有趣
