1、27.2.3 相似三角形的周长与面积学习目标、重点、难点【学习目标】1理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方2能用三角形的性质解决简单的问题【重点难点】1相似三角形的性质与运用2相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解知识概览图相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比相似三角形周长的比等于相似比(相似多边形周长的比等于相似比)相似三角形面积的比等于相似比的平方(相似多边形面积的比等于相似比的平方)新课导引【生活链接】 如果两个三角形相似，那么它
2、们的周长之间有什么关系?它们的面积之间有什么关系?两个相似多边形呢?【问题探究】 前面我们已经学习了相似图形的性质：相似图形的对应角相等，对应边的比相等那么相似图形的周长与面积又具有怎样的性质呢?教材精华知识点 1 相似三角形对应高的比等于相似比 如图 2757 所示，如果 ABC A B C，且 k，那么 ABC 与 A B C的相似比为 k，过 A 作ABAD BC，过 A作 A D B C，垂足分别为 D， D，在 ABD 与 A B D中， B B， ADB A D B90，所以 Rt ABDRt A B D，所以 k，即相似三角形对应高的比等于相似比 kD知识点 2 相似三角形对应中
3、线的比、对应角平分线的比都等于相似比如 图 27 58 所 示 ， 在 ABC 和 A B C 中 ， AD， A D 分别为 ABC 和 A B C的中线， BE， B E分别为 ABC 和 A B C的角平分线，若 ABC A B C，则 kDA知识点 3 相似三角形周长的比等于相似比相似三角形的周长与面积如果 ABC A B C，并且 ABC 与 A B C的相似比为 k，那么 k，则 AB kA B， BC=kB C， AC kA C，因此ABC，即相()Bk长长似三角形周长的比等于相似比例如：已知 ABC A B C，它们的周长分别为 60 cm 和 72 cm，且 AB15 cm，
4、 B C24 cm，则这两个三角形的相似比为 ，且 ，因为6057256ACBAB15 cm， B C24 cm，所以 A B18 cm， BC20 cm，所以AC60152025(cm)， A C72182430(cm)知识点 4 相似多边形周长的比等于相似比如 果 多 边 形 A1A2An与 多 边 形 A1 A2 An 相 似 ， 并 且 多 边 形 A1A2An与 多 边形 A1 A2 An的相似比为 k，则 k， A1A2 kA1 A2， A2A3 kA2 A3， AnA1 kAn A13112n， A1A2+A2A3+AnA1 k(A1 A2+ A2 A3+ An A1)， k，即
5、相似多边形周长的比等于相似比.1231n知识点 5 相似三角形面积的比等于相似比的平方若 ABC A B C， ABC 与 A B C的相似比是 k， AD， A D分别是 BC与 B C边上的高，则 =kk=k2,即相似三角形面积的21ABCDS比等于相似比的平方知识点 6 相似多边形面积的比等于相似比的平方对于两个相似的四边形，可以把它们分成两对相似的三角形，可以得出这两个四边形面积的比等于相似比的平方对于两个相似的多边形，用类似的方法，可以把它们分成若干对相似的三角形，从而得出相似多边形面积的比等于相似比的平方规律方法小结 (1)如果两个三角形相似，那么它们对应高的比、对应角平分线的比、
6、对应中线的比、对应周长的比都等于相似比(2)相似三角形的面积比等于相似比的平方(3)类比相似三角形的性质可知，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方(4)本节内容中求相似三角形对应边的比和面积的比的问题可以互相转化，对于没有指明对应顶点的相似三角形仍然要分类讨论课堂检测基本概念题1、(1)若两个相似三角形的面积比为 1：2，则它们的相似比为 ；(2)若两个相似三角形的周长比为 3：2，则它们的相似比为 ；(3)若 ABC A B C，且 AB5， A B3， A B C的周长为 12，则ABC 的周长为 .基础知识应用题2、如图 2759 所示，在 ABC 和 DEF 中， AB
7、2 DE， AC2 DF， A D， ABC 的周长是 24，面积是 48，求 DEF 的周长和面积3、如图 2760 所示，在锐角三角形 ABC 中， AD， CE 分别为 BC， AB 边上的高， ABC和 BDE 的面积分别为 18 和 2， DE2，求 AC 边上的高4、如图 2761 所示，在 ABC 与 CAD 中， AD BC， CD 交 AB 于点 E，且AE： EB1:2， EF BC 交 AC 于点 F，且 S ADE1，求 S BCE和 S AEF5、如图 2762 所示， AD 是 ABC 的角平分线， BH AD 于点 H， CK AD 于点 K，求证ABDK ACD
8、H综合应用题6、如图 2763 所示，在梯形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O，若 COD 的面积为a2， AOB 的面积为 b2，其中 a0， b0，求梯形 ABCD 的面积 S探索与创新题7、如图 2764 所示， ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O， E 是 AB 延长线上一点，OE 交 BC 于点 F， AB a， BC b， BE c，求 BF 的长8、如图 2765 所示，在 ABC 中， D 是 BC 边上的中点，且 AD AC， DE BC， DE 与AB 相交于点 E， EC 与 AD 相交于点 F.(1)求证 ABC FCD；(2)若 S FCD
9、5， BC10，求 DE 的长体验中考1、已知 ABC 与 DEF 相似且面积比为 4：25，则 ABC 与 DEF 的相似比为 2、如图 2767 所示，在 ABC 中， BC AC，点 D 在 BC 上，且 DC AC， ACB 的平分线 CF 交 AD 于 F，点 E 是 AB 的中点，连接 EF(1)求证 EF BC；(2)若四边形 BDFE 的面积为 6，求 ABD 的面积学后反思附： 课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析 (1)两个相似三角形的面积比等于相似比的平方， k2 ，且1k0， k (2)相似三角形的周长比等于相似比，且周长比为 3:2，相似三角2形的相似比为 3：2(
10、3)相似比 5：3， .又 A B C的周长53ABC 的 周 长 的 周 长为 12， ， ABC 的周长为 201ABC 的 周 长答案：(1) ：2 (2)3：2 (3)20【解题策略】 解决此类题时，可直接应用相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系来求解2、分析 先说明 ABC DEF，再运用相似三角形的性质相似三角形的周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方进行求解解：在 ABC 和 DEF 中， AB=2DE， AC=2DF， 1.2DEFABC又 D A， DEF ABC，且相似比为 .即 ，12EFBC 的 周 长 的 周 长 142 的 周 长 DEF 的周长为 12 ，即
11、 ，2DEFABCS 28DEFS S DEF12即 DEF 的周长为 12，面积为 12【解题策略】 解决此类问题时，可利用相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方来求解3、分析 若求 AC 边上的高，就要把 AC 边上的高作出来，由于 ABC 的面积为 18，因此只要求出 AC 边的长，就可以求出 AC 边上的高解：过点 B 作 BF AC，垂足为点 F AD BC， CE AB， ADB CEB90，又 ABD CBE，Rt ADBRt CEB ,即 ，且 ABC= DBE，DAECE EBD CBA， ，218BEDCAS又 DE2， AC6 S ABC ACB
12、F18， BF61【解题策略】 解决此题的关键是根据已知条件说明 EBD CBA4、分析 由 AD BC，可得 ADE BCE，求 S BCE比较容易，而求 S AEF不易利用相似三角形的面积关系来求解由 DA EF 可知 AEF 与 EAD 是两个高相等的三角形，所以这两个三角形的面积比就等于底边长的比，求出 EF： AD 就可以求出 AEF 的面积解： AD BC， ADE BCE， S ADE： S BCE AE2： BE2又 AE:BE1：2， S ADE:S BCE1:4， S ADE1， S BCE4又 EF BC， AEF ABC， EF:BC AE： AB1:3又 ADE BC
13、E， AD： BC AE： BE1：2， BC2 AD， EF： AD2：3又 AD EF， ADE 与 AEF 等高 S AEF： S ADE EF： AD2：3 S ADE=1， S AEF .【解题策略】 利用相似三角形的性质进行有关面积的计算时，有时会用到等底等高的三角形面积相等、同底(或等底)三角形的面积之比等于对应高之比、同高(或等高)三角形的面积之比等于对应底边长之比等等5、分析 由已知易证 BHD CKD， ABH ACK，从而易得 ,即ABHDCKABDK=ACDH证明： BH AD， CK AD， BH CK， BHD CKD， DHBKC AD 平分 BAC，12又 BH
14、A= CKA=90，Rt ABHRt ACK, ABHCK由可知 ， ABDK ACDHD【解题策略】 在本题中，利用 把 和 联系起来，通常把这里的 叫做ADBHCK中间比，它起到桥梁的作用6、分析 梯形的面积等于 4 个三角形的面积之和，而 AOB 和 COD 的面积都已用a， b 表示出来，因此关键是求出 AOD 和 BOC 的面积由图可知 AOD 和 BOC 的面积相等，而 AOD 和 COD 在 AC 边上的高是同一条高，因此 AOD 和 COD 的面积比就等于AO： OC，这样就可以求出 AOD 的面积解： AB CD， COD AOB， 22,CODABSab2.又 S ABC
15、S ABD， S ABC S AOB S ABD S AOB，即 S BOC S AOD又 = ， AOD Cba S AOD= S COD= a2=ab S COB S AOD ab梯形 ABCD 的面积 S a2+ab+ab+b2( a+b)2【解题策略】 底在同一条直线上，高相同的两个三角形面积的比等于底边长的比，而相似三角形面积的比等于对应边的比的平方，要注意区别这两个性质7、分析 显然所求线段 BF 与已知线段 BE 在同一个三角形中，如果能找到一个与BEF 相似且有已知边的三角形，问题便可解决，但在图中不能直接找到，如果过 O 作 OC BC 交 AB 于 G，就能得到 EBF E
16、GO，此题可解解：过点 O 作 OG BC 交 AB 于 G，则 EBF EGO ABCD 的对角线相交于点 O， OA OC， AG GB又 EBF EGO， . BFE AG GB AB， OG BC1212又 AB a， BC b， BE c， OG b， GB a， GE= a+c ， BF= .12BFcba12bcaA【解题策略】 解决此类题的关键是构造相似图形，而构造相似图形的一般方法是作平行线8、分析 由 ED BC， D 是 BC 的中点，可得 B1，由 AD AC，可得2 ACD，从而相似可证过 A 作 AM BC,垂足为 M，求 DE 的长可以在 EDA M 的基础上利用
17、比例线段求得证明：(1) DE BC， D 是 BC 的中点， EB EC， B1又 AD AC，2 ACB， ABC FCD解：(2)过点 A 作 AM BC，垂足为 M， ABC FCD， BC2 CD， = =4ABCFDS 又 S FCD5， S ABC20 S ABC BCAM，且 BC10，1220= 10AM， AM4又 DE AM， DEBAM BM BD+DM， BD BC5， DM DC ，12125 BM5+ ，5 DE= .142DE83体验中考1、分析 相似三角形的面积之比等于相似比的平方故填 2：52、证明：(1)C F 平分 ACB，12又 DC AC， CF 是 ACD 的中线，点 F 是 AD 的中点又点 E 是 AB 的中点， EF BD，即 EF BC解：(2)由(1)知， EF BD， AEF ABD， 2AEFBDS又 AE AB， S AEF S ABD S 四边形 BDFE S ABD6，12 ，26ABDS S ABD8， ABD 的面积为 8
