1、柱、锥、台和球的体积-要点精析一、学习目标1掌握棱柱与圆柱、棱锥与圆锥、棱台与圆台侧面展开图的形状，会求它们的侧面积和表面积 2掌握棱柱与圆柱、棱锥与圆锥、棱台与圆台的侧面积与体积公式之间的联系与区别，并熟悉它们之间的转化关系3了解球的体积公式和表面积公式的推导方法，即“分割，求近似和，化成准确值”的基本方法，掌握球的体积、表面积公式并灵活运用二、知识网络柱、锥、台三者之间存在着特定的联系柱、锥的侧面积与体积公式都可以同台体的侧面积和体积公式统一起来：当 时，正棱台（圆台）侧面积 正棱柱（圆柱）侧面积；c转 化 为当 时，正棱台（圆台）侧面积 正棱锥（圆锥）侧面积；0转 化 为当 时， ；SV
2、台 体 转 化 为 柱 体当 时， 台 体 转 化 为 锥 体其中 分别是正棱台（圆台）的上、下底面的周长， 分别是正棱台（圆台）c， S，上、下底的面积三、要点梳理、空间几何体的表面积1棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积，棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和（1）因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形，所以它的展开图是以棱柱的底面周长与高分别为长和高的矩形如果设直棱柱底面周长为 ，高为 ，则侧面积 chSch侧（2）若长方体的长、宽、高分别是 ，则其表面积为 ab， ， 2(+)ab表2圆柱的侧面展开图是一个矩形矩形的高是圆柱母线的长，矩形的长为圆柱底面周长如果设圆柱母线的长为 ，底面半
3、径为 ，那么圆柱的侧面积 ，此时圆柱底lrSrl侧面面积 所以圆柱的表面积 2Sr底 22()Srl侧 底3圆锥的侧面展开图是以其母线为半径的扇形如果设圆锥底面半径为 ，母线长为r，则侧面积 ，那么圆锥的表面积是由其侧面积与底面面积的和构成，即为ll侧2()Srrl侧 底4正棱锥的侧面展开图是 个全等的等腰三角形如果设正棱锥的底面周长为 ，斜n c高为 ，则它的侧面积 h 1Sch侧5正棱台的侧面积就是它各个侧面积的和如果设正棱台的上、下底面的周长是，斜高是 ，那么它的侧面积是 c， h 1()2Sch侧6圆台侧面展开图是以截得该圆台的圆锥母线为大圆半径，圆锥与圆台的母线之差为小圆半径的一个扇
4、环如果设圆台的上、下底面半径分别为 、 ，母线长为 ，那么它rl的侧面积是 圆台的表面积等于它的侧面积与上、下底面面积的和，即()Srl侧22()rrrl侧 上 底 下 底7将球以球心为顶点切割成 个部分，每部分近似地看成是锥体，其高近似地看成球n的半径 ，所有的底面面积之和近似地看成为球面面积，当“ ”时，其体积之和的R n极限即为球的体积由 ，求得球的表面积 ，即球的表面积34RVSA球 面 24SR等于其大圆面积的四倍、空间几何体的体积1柱体（棱柱、圆柱）的体积等于它的底面积 和高 的积，即 其中底hVSh柱 体面半径是 ，高是 时的圆柱的体积是 rh2Vr圆 柱2如果一个锥体（棱锥、圆
5、锥）的底面积是 ，高是 ，那么它的体积是S其中底面半径是 ，高是 时的圆锥的体积是 ，也就是说，13VS锥 体 rh213Vrh圆 锥锥体的体积是与其同底等高柱体体积的 133如果台体（棱台、圆台）的上下底面积分别是 ，高是 ，那么它的体积是S，其中上、下底半径分别是 ， ，高是 的圆台的体积是1()Sh台 体 rRh22VrR圆 台4将半球用平行于大圆的平面均匀切成 个部分，分别求其体积（每部分近似地看成n圆柱） ，而后求和，用正整数平方和公式整理，即用“无限分割，求和，取极限”的方法求得球的体积公式四、特别提示1底面积相等并且高也相等的两个柱体（棱柱、圆柱）的体积相等；底面积相等并且高也相等的两个锥体（棱锥、圆锥）的体积相等2对于斜棱柱，它的侧面展开图是由若干个平行四边形组成的不规则图形，因此，斜棱柱的侧面积可通过分析侧面的形状逐个求得，或者用直截面（即垂直于侧棱的截面）的周长乘以侧棱长求得斜棱柱的体积可用直截面面积与侧棱长乘积求得3锥体的体积计算在立体几何体积计算中，占有重要的位置，它可补成柱体，可置换底面、置换顶点，在计算与证明中有较大的灵活性，若技巧运用得当，可使解题过程简化
