1、抛物线一、填空题1M 为抛物线 x22py(p0) 上任意一点，F 为焦点，则以 MF 为直径的圆与 x 轴的位置关系是_解析：如图所示，设 C 为线段 MF 的中点，即 C 为圆的圆心，则CC (MMOF) MF，该圆与 x 轴相切12 12(yM p2) 12答案：相切2若抛物线 y22px (p0)与直线 axy 40 的一个交点是(1,2)，则抛物线的焦点到该直线的距离为_解析：将(1,2)代入 y22px( p0)和 axy40 得p2，a2，y 24x, 2xy40.焦点为(1,0)，d .|2 0 4|5 255答案：2553若点 P 在 y2x 上，点 Q 在(x3) 2y 2
2、4 上，则 PQ 的最小值为_解析：设 P(x，y) ，圆心 C(3,0)，半径 r2，PC 2(x3) 2y 2(x3)2xx 25x 9( x )2 ，52 114 114当 x 时，|PC| 2 0)，O 为抛物线的顶点，OAOB ，则ABO 的面积是_解析：设点 A(x，y) 在 x 轴的上方，则由抛物线的对称性及 OAOB 知，直线 OA 的方程为 yx( x0)，由Error!得Error!即点 A(2p,2p)，B(2p，2p)，所以 AB4p，所以 SABO AB2p 4p2p4p 2.12 12答案：4p 28对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在 y 轴上；焦点在 x
3、 轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为 5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足的坐标为(2,1)能使抛物线的方程为 y210x 的条件是_(填写适合条件的所有序号 )解析：由抛物线方程 y210x 知，焦点在 x 轴上，所以 适合；对于，由焦半径公式知，1 6，所以 p10，此时 y220x，不符合条件；对于，2p5，此时 y25x，p2不符合题意；又因为抛物线 y210x 的焦点为 F ，原点 O(0,0)，设点 P(2,1)，可得(52，0)kPOkPF1，所以也适合因此应填序号为.答案：9在直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y22px(p0) ，过点
4、(2 p,0)作直线交抛物线于A(x1，y 1)，B (x2，y 2)两点，给出下列结论：OAOB ；AOB 的最小面积是 4p2；x 1x24p 2，其中正确结论的序号是_解析：当直线 AB 的斜率存在时，设直线的方程为 yk (x2p)(k0) ，与抛物线的方程联立，得 k2x2(4pk 22p)x4p 2k20，所以 x1x24p 2，y 1y2 4p 2，所以4p24p2x1x2y 1y20，即 OAOB，正确，易证当直线 AB 的斜率不存在时，也正确；由抛物线的图形可知，ABx 轴时，S AOB 取最小值，所以 SAOBmin 2p|y1y 2|4p 2，所以12正确；不正确答案：二
5、、解答题10求过定点 P(0,1)且与抛物线 y22x 只有一个公共点的直线方程解：(1)若直线的斜率不存在，则过点 P(0,1)的直线方程为 x0.由Error!得Error!直线 x0 与抛物线只有一个公共点(0,0)(2)若直线的斜率存在，设为 k，则过点 P(0,1)的直线方程为 ykx 1.由方程组Error!消去 y，得 k2x22( k1) x10.当 k0 时，则得Error!即直线 y1 与抛物线只有一个公共点；当 k0 时，直线与抛物线只有一个公共点，则 4(k1) 24k 20，所以 k .12所以直线方程为 y x1.12综上所述，所求的直线方程为 x0，y1，y x1
6、.1211在抛物线 y24x 上恒有两点关于直线 ykx3 对称，求 k 的取值范围解：设抛物线上的点 B，C 关于直线 ykx3 对称，直线 BC 的方程为 xky m，代入 y24x，得 y24ky4m0.设点 B(x1，y 1)，C (x2，y 2)，BC 的中点为 M(x0，y 0)，则 y0 2k ，x 0 2k 2m .y1 y22 ky1 y2 2m2因为点 M(x0，y 0)在直线 ykx3 上，所以2k k(2k 2 m)3，所以 m.又因为直线 BC 与抛物线交于不同两点，所以 16k 216m0，把 m 代入化2k3 2k 3k简，得 0)有一内接直角三角形，直角的顶点在原点，一直角边所在直线的方程是 yx ，斜边长为 5 ，求抛物线的方程3解：设AOB 是抛物线的内接直角三角形，直角的顶点是 O，边 AO 所在直线的方程是 yx，则边 OB 所在直线的方程是 yx .由Error!得 A(2p,2p)，又由Error!得B(2p，2p)因为 AB5 ，所以 5 ，即 p2 .因为 p0，所3 2p 2p2 2p 2p2 37516以 p .所以所求抛物线的方程是 y2 x. 534 532
