1、基础巩固强化一、选择题1若 X 是一个随机变量，则 E(XE(X)的值为 ( )A无法求 B0C E(X) D2E(X)答案 B解析 只要认识到 E(X)是一个常数，则可直接运用均值的性质求解E(aXb)aE( X)b，而 E(X)为常数，E(XE(X) E (X)E(X)0.2(2013湖北理， 9)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为 125 个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为 X，则 X 的均值 E(X)( )A. B.126125 65C. D.168125 75答案 B解析 题意知 X0,1,2,3，P (X0) ， P(X1) ，271
2、25 54125P(X2) ，P( X3) ，36125 8125E(X) 0 1 2 3 .27125 54125 36125 8125 150125 653(2013北师大附中高二期中) 已知离散型随机变量 X 的分布列如下：X 1 3 5P 0.5 m 0.2则其数学期望 E(X)等于 ( )A1 B0.6C 2 3m D2.4答案 D解析 由 0.5m0.2 1 得，m0.3，E(x)10.530.350.22.4.4甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率都是 ，则面试结束后通过的人数 的期望是( )23A. B. 43 119C 1 D.89答案 A解析
3、依题意， 的取值为 0,1,2.且 P(0)(1 )(1 ) ，23 23 19P(1) (1 )(1 ) ，23 13 23 13 49P(2) .23 23 49故 的期望 E()0 1 2 .19 49 49 129 435今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为 0.9 和 0.85，设发现目标的雷达台数为 X，则 E(X)( )A0.765 B1.75 C 1.765 D0.22答案 B解析 设 A、B 分别为每台雷达发现飞行目标的事件，X 的可能取值为 0、1、2，P(X0) P( )P( )P( )(10.9)(10.85)0.015.AB A BP(X1)
4、 P( A B)P(A) P( )P( )P(B)B A B A0.90.150.10.850.22.P(X2) P( AB)P(A)P(B) 0.90.850.765.E(X) 00.0151 0.2220.7651.75.6有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取两件，若 X 表示取到次品的个数，则 E(X)等于( )A. B. 35 815C. D11415答案 A解析 X1 时，P ；X2 时，P .C17C13C210 C23C210E(X) 1 2 ，C17C13C210 C23C210 73 23C210 35故选 A.二、填空题7随机变量 的概率分布列由下表给出：x 7
5、8 9 10P(x) 0.3 0.35 0.2 0.15则随机变量 的均值是_答案 8.2解析 本小题考查随机变量的均值公式E() 70.380.3590.2100.158.2.8从 1、2、3、4、5 这 5 个数字中任取不同的两个，则这两个数之积的数学期望是_答案 8.5解析 从 1、2、3、4、5 中任取不同的两个数，其乘积 X 的值为 2、3、4、5、6、8、10、12、15、20，取每个值的概率都是 ，110E( X) (23456810121520) 8.5.1109设 p 为非负实数，随机变量 X 的概率分布为：X 0 1 2P p12p12则 E(X)的最大值为_ 答案 32解
6、析 由表可得 Error!从而得 P0 ， ，期望值 E(X)120( p )1p 2 p1，当且仅当 p 时，E(X) 最大值 .12 12 12 32三、解答题10盒中装有 5 节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池，现在无放回地每次取一节电池检验，试回答下列问题：(1)若直到取到好电池为止，求抽取次数 的分布列及均值；(2)若将题设中的无放回改为有放回，求检验 5 次取到好电池个数 X 的数学期望解析 (1) 可取的值为 1、2、3，则 P(1) ，P (2) ，35 25 34 310P(3) 1 ，25 14 110抽取次数 的分布列为： 1 2 3P 35 310 110E() 1
7、 2 3 1.5.35 310 110(2)每次检验取到好电池的概率均为 ，35故 X B(n，p)，即 X B(5， )，35则 E(X)5 3.35能力拓展提升一、选择题11某种种子每粒发芽的概率都为 0.9，现播种了 1000 粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种 2 粒，补种的种子数记为 X，则X 的均值为( )A100 B200 C 300 D400答案 B解析 记 “不发芽的种子数为 ”，则 B(1000,0.1)，所以E() 10000.1100，而 X2，故 EXE(2 )2E() 200，故选B.12已知随机变量 和 ，其中 2 1，且 E() ，若 256的分布列如下表，则
8、 y 的值为( ) 1 2 3 4P x y 112 512A. B. 16 13C. D.12 18答案 A解析 21，E ()2E ()1 ，256E() ，3112又 E()x2y 3 4 x2y ，112 512 2312x2y ，23又xy 1 ，xy ，112 512 12x ，y .13 1613已知抛物线 yax 2bxc(a0) 的对称轴在 y 轴的左侧，其中 a、b、c 3， 2，1,0,1,2,3，在这些抛物线中，记随机变量 | a b|的取值，则 的数学期望 E()为( )A. B. 89 35C. D.25 13答案 A解析 抛物线的对称轴在 y 轴的左侧， 0， a
9、 与 b 同号b2a ba 的分布列为 0 1 2P 13 49 29E()0 1 2 .13 49 29 89点评 基本事件只与 a、b 的取值有关，故可不必考虑 c 的取值；a、b 同号的所有可能取法有 2(33)18 种，由于 |ab| ， a，b 同正和 a，b 同负时， 的取值只有 0,1,2 三种14设口袋中有黑球、白球共 7 个，从中任取 2 个球，已知取到白球个数的数学期望值为 ，则口袋中白球的个数为( )67A3 B4 C 5 D2答案 A解析 设白球 x 个，则黑球 7x 个，取出的 2 个球中所含白球个数为 ，则 取值 0,1,2，P(0) ，C27 xC27 7 x6
10、x42P(1) ，C1xC17 xC27 x7 x21P(2) ，C2xC27 xx 1420 1 2 ，7 x6 x42 x7 x21 xx 142 67x3.二、填空题15设离散型随机变量 X 可能取的值为 1、2、3、4.P(Xk )ak b( k 1,2,3,4)又 X 的均值 E(X)3，则 ab_.答案 110解析 由条件知Error!Error!Error!，ab .11016已知随机变量 和 ，其中 4 2，且 E()7，若 的分布列如下表，则 n 的值为_. 1 2 3 4P 14 m n 112答案 13分析 由分布列的性质可得 m 与 n 的一个方程，由期望的定义与性质可
11、得 m 与 n 的另一个方程，两方程联立可解得 m、n.解析 42E()4E ()274 E()2E () 1 2m3n4 ，又 mn 1，联立求94 94 14 112 14 112解可得 n .13点评 这一部分内容公式较多，熟记离散型随机变量的期望、方差的定义式及其性质，熟记各种概率分布的期望、方差公式是正确解答概率分布问题的先决条件三、解答题17某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门首次到达此门，系统会随机(即等可能 )为你打开一个通道若是 1 号通道，则需要 1 小时走出迷宫；若是 2 号、3 号通道，则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门再次到达智能门时，系统会随机
12、打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止令 表示走出迷宫所需的时间(1)求 的分布列；(2)求 的数学期望(均值) 解析 本题考查学生的全面分析能力，考查学生对事件概率的求解能力以及对文字描述的理解能力解本题的两个关键点是：一是 的所有取值，二是概率(1) 的所有可能取值为：1,3,4,6P(1) ，P (3) ，P( 4) ，P (6) ，所以 的13 16 16 13分布列为： 1 3 4 6P 13 16 16 13(2)E()1 3 4 6 (小时)13 16 16 13 7218购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得 10 000 元的赔偿金假定在一年度内有 10 000 人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 10.999 104.(1)求一投保人在一年度内出险的概率 p；(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元，为保证盈利的期望不小于 0，求每位投保人应交纳的最低保费(单位：元 )
