1、1.2 解三角形应用举例 第三课时一、教学目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题2、通过综合训练强化学生的相应能力，让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。3、培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并激发学生的探索精神。二、教学重点、难点重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题三、教学过程.课题导入创设情境提问：前面我们学习了如何测量距离和高度，这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又
2、会遇到新的问题，在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问题。.讲授新课范例讲解例 1、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然后从 B 出发,沿北偏东 32的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A出发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1,距离精确到 0.01n mile)学生看图思考并讲述解题思路分析：首先根据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角 ABC，即可用余弦定理算出AC 边，再根据正弦定理算出 AC
3、边和 AB 边的夹角 CAB。解：在 ABC 中， ABC=180- 75+ 32=137，根据余弦定理，AC= ABCABCcos22 = 137cos0.546720.54.672 113.15根据正弦定理, sin = sin sin CAB = ACBin = 15.37sin040.3255,所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0答:此船应该沿北偏东 56.1 的方向航行,需要航行 113.15n mile例 2、在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为 ，沿 BE 方向前进 30m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2，再继续前进 10 3m 至 D
4、点，测得顶端 A 的仰角为 4，求 的大小和建筑物 AE 的高。解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在 ACD 中，AC=BC=30， AD=DC=10 3， ADC =180-4，2sin310= )48i(0 。 因为 sin4 =2sin2 cos2cos2 = ,得 2 =30 =15， 在 RtADE 中，AE=ADsin60=15答：所求角 为 15，建筑物高度为 15m解法二：（设方程来求解）设 DE= x，AE=h在 Rt ACE 中,(10 3+ x)2 + h =302 在 Rt ADE 中,x 2+h =(10 3)2两式相减，得 x=5 ,h=15 在 Rt ACE 中
5、,tan2 = xh10=2=30, =15答：所求角 为 15 ，建筑物高度为 15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为 AE=8，由题意，得BAC=， CAD=2， AC = BC =30m , AD = CD =10 3m在 RtACE 中，sin2 = 30x- 在 RtADE 中，sin4 =104, - 得 cos2 = 2,2 =30,=15，AE=ADsin60 =15答：所求角 为 15，建筑物高度为 15m例 3、某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45相距 9 海里的 C 处有一艘走私船，正沿南偏东 75的方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 海里
6、/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。解：如图，设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船，则 CB=10x, AB=14x,AC=9,ACB= 75+4= 120 (14x) 2= 9 + (10x) -29 10xcos 120化简得 32x -30x-27=0，即 x= 3,或 x=- 6(舍去)所以 BC = 10x =15,AB =14x =21,又因为 sinBAC = ABC120sin= 5
7、= 143BAC =38 3,或 BAC =141 7（钝角不合题意，舍去） ，38 1+45=83 答：巡逻艇应该沿北偏东 83 31方向去追，经过 1.4 小时才追赶上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.课堂练习课本第 16 页练习.课时小结解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。
