1、听课随笔第 2 章 数列【知识结构】【重点难点】重点：数列及其通项公式的定义；数列的前 n 项和与通项公式的关系及其求法；难点：正确运用数列的递推公式求数列的通项公式；对用递推公式求出的数列的讨论；等差等比数列的应用和性质。第 1 课 数列的概念及其通项公式【学习导航】 知识网络 项数数列数列定义 项数列有关概念数列与函数的关系数列通项公式 通项学习要求 1理解数列概念，了解数列的分类；2理解数列和函数之间的关系，会用列表法和图象法表示数列；3理解数列的通项公式的概念，并会用通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出它的一个通项公式；4提高观察、抽象的能力【自学评价】1数列的定义：按
2、一定次序排列的一列数叫做叫做数列(sequence of number).【注意】数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.思考:简述数列与数集的区别.数列强调数列中的项是有顺序的，数列中的项可以是相等的，与数集中的无序性和互异性是不同的. 2数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第1 项（或首项） ，第 2 项，第 n 项，.3数列的分类：按项分类：有穷数列（项数有限） ；无穷数列（项数无限） ；数 列定 义应 用通项公式
3、 数列求和等差数列等比数列定义通项公式等差（比）数列前 n 项和公式性质4数列的通项公式：如果数列 的第 项与 之间的关系可以用一个公式来na表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式（the formula of general term）.注意：并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列 1，1.4，1.41， 1.414， ；一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，它的通项公式可以是，2)(nna也可以是 .|cos|n数列通项公式的作用：求数列中任意一项；检验某数是否是该数列中的一项5. 数列的图像都是一群孤立的点. 从映射、函数的观点来看，数列可以看作是一个定
4、义域为正整数集 N*（或它的有限子集1，2，3，n）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式，因此，数列也可根据其通项公式画出其对应图象6数列的表示形式：列举法，通项公式法和图象法【精典范例】【例 1】 已知数列的第项 an 为，写出这个数列的首项、第项和第项【解】首项为 ；第项为 ；第项为 【例 2】根据下面数列 的通项公式，写出它的前 5 项，并作出它的图象：na(1);()1)na【解】 （1） ,345.25;6aa(2) 12,.n345;a【例 3】写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数：（1） ，- ， ，- .2
5、13541（2）0, 2, 0, 2听课随笔分析：写出数列的通项公式，就是寻找 与项数 的对应关系nanaf【解】(1) 这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式是： ()nn(2) 这个数列的奇数项为 0，偶数项为 2，所以它的一个通项公式是： 1()nna点评:(1)将数列的整数部分和分数部分进行分别处理,然后再整体合并;(2) 将数列进行整体变形以便能呈现出与序号 相关且便于表达的关系.【追踪训练一】1下列解析式中不是数列 1，-1，1，-1，1，-1，的通项公式的是 （ A ）A. B. ()nna()nnaC. D
6、. 1， 为 奇 数， 为 偶 数2数列 的一个通项公式是 （ B ）52， ， ， ，A. B. 3na31naC. D. 13数列 的一个通项公式为 .52486,072 1)4(2n【选修延伸】【例 3】在数列a n中，a 1=2,a17=66，通项公式是项数 n 的一次函数.(1)求数列a n的通项公式；(2)88 是否是数列a n中的项.【解】 (1)设 an=An+B,由 a1=2,a17=66得 246172AA解 得a n=4n2(2)令 an=88,即 4n2=88 得 n= N*588 不是数列a n中的项.思维点拔 :已知数列的通项，怎样判断一个含有参数的代数式是否为数列中的项？ 例如：已知数列 的通项为 ，判断 是否为数列中的项？27na27()mN提示：可把 化成通项公式的形式，即 ，因为 ，27()m7mN所以 满足通项公式的意义，所以 是数列中的第 项N【追踪训练二】1已知数列 ， ，那么 是这个数列的第 （ B ）项.na1()2)nN120A. B. C. D. 90听课随笔2数列 ， 是一个函数，则它的定义域为 （ ）na()fA. 非负整数集 B. 正整数集C. 正整数集或其子集D. 正整数集或 1,234,n3已知数列 ， ，则 29 .na851ka且 17【师生互动】学生质疑教师释疑
