1、7.7 数列的综合应用一、学习目标：1理解“复利”的概念，能解决分期付款的有关计算方法；2能够把实际问题转化成数列问题二、自主学习：【课前检测】1猜想 1=1,1-4= - (1+2), 1-4+9=1+2+3,的第 n 个式子为 1211496()()234)nnn 。2用数学归纳法证明 1a,N(a-.an1n2 ,在验证 1成立时,左边所得的项为( C )A.1 B.1+ C. 2 D. 23a【考点梳理】1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题。生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 a，年增长率为
2、r，则每年的产量成等比数列，公比为 r1.其中第 n年产量为 1)(nra，且过 年后总产量为：.)1()(.)1()(2 raaran银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存 a元，利息为 r，每月利息按复利计算，则每月的 a元过 n个月后便成为 nra)(元. 因此，第二年年初可存款：)1(.)1()()1( 02 rrrar = )1(2r.注意：“分期付款” 、 “森林木材”型应用问题这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指” ，细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一法”统一到“最后”解决.利率问题：单利问题
3、：如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型：若每期存入本金p元,每期利率为 r,则 n期后本利和为： (1)21(2)(1)n nSpprr(等差数列问题） ；复利问题：按揭贷款的分期等额还款(复利)模型：若贷款(向银行借款) p元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如一年)后为第一次还款日,如此下去,分 期还清.如果每期利率为 r（按复利） ，那么每期等额还款 x元应满足：121)()()(1)nnnprrrxr (等比数列问题).分期付款应用题： a为分期付款方式贷款为 a 元；m 为 m 个月将款全部付清； r为年利率.1111.112 mmm axrxrxrrxrxra2.将实际问
4、题转化为数列问题时应注意：（1）分清是等差数列还是等比数列；（2）分清是求 an还是求 Sn，特别要准确地确定项数 n.3.数列与其他知识的综合也是常考的题型，如：数列与函数、不等式、解析几何知识相互联系和渗透，都是常见的题型。4.强化转化思想、方程思想的应用.三、合作探究：题型 1 以等差数列为模型的问题例 1 由于美伊战争的影响，据估计，伊拉克将产生 60100 万难民，联合国难民署计划从 4 月 1 日起为伊难民运送食品.第一天运送 1000 t，第二天运送 1100 t，以后每天都比前一天多运送 100t，直到达到运送食品的最大量，然后再每天递减 100 t，连续运送 15 天，总共运
5、送 21300 t，求在第几天达到运送食品的最大量.剖析：本题实质上是一个等差数列的求通项和求和的问题.解：设在第 n 天达到运送食品的最大量.则前 n 天每天运送的食品量是首项为 1000，公差为 100 的等差数列.an=1000+（n1）100=100n+900.其余每天运送的食品量是首项为 100n+800，公差为100 的等差数列.依题意，得1000n+ 2)(100+（ 100n+800） （ 15 n） + 2)14(n（ 100）=21300（ 1n15）.整理化简得 n231n+198=0.解得 n=9 或 22（不合题意，舍去）.答：在第 9 天达到运送食品的最大量.变式训
6、练 1 数列a n中，a 16，且 ana n1 n1(nN *，n2)，则这个数列an 1n的通项 an_. 答案：(n1)(n2)解：由已知等式得 nan(n1)a n1 n(n1)(nN *，n2)，则 1，所以数ann 1 an 1n列 是以 3 为首项，1 为公差的等差数列，即 n2，则 an(n1)ann 1 a12 ann 1(n2)n1 时，此式也成立小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。题型 2 以等比数列为模型的实际问题例 2 （2005 年春季上海，20）某市 2004 年底有住房面积 1200 万平方米，计划从 2005 年起，每年拆除 20 万平方米
7、的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的 5%.（1）分别求 2005 年底和 2006 年底的住房面积；（2）求 2024 年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到 0.01）剖析：本题实质是一个等比数列的求和问题.解:（1）2005 年底的住房面积为1200（1+5%）20=1240（万平方米） ，2006 年底的住房面积为1200（1+5%） 220（1+5%）20=1282（万平方米） ，2005 年底的住房面积为 1240 万平方米，2006 年底的住房面积为 1282 万平方米.（2）2024 年底的住房面积为1200（1+5%） 2020（1+5%） 1
8、920（1+5%） 1820（1+5%）20=1200（1+5%） 2020 05.122522.64（万平方米） ，2024 年底的住房面积约为 2522.64 万平方米.评述：应用题应先建立数学模型，再用数学知识解决，然后回到实际问题，给出答案.变式训练 2 从 2002 年 1 月 2 日起，每年 1 月 2 日到银行存入一万元定期储蓄，若年利率为 p，且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新一年的定期存款，到 2008 年 1 月1 日将所有存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数为_ _万元.答案： （1+p） 7（1+p） 解：存款从后向前考虑（1+p）+（1+p） 2+（1+p）
9、 5= p1)(16= （1+p） 7（1+p） .注：2008 年不再存款.小结与拓展：对数列应用题要分清是求通项问题还是求和问题。题型 3 数列与函数、不等式等问题的综合应用例 3 (文)在数列a n中，a 11,3a nan1 a na n1 0(n2，nN)(1)试判断数列 是否为等差数列；(2)设b n满足 bn ，求数列b n的前 n 项为 Sn；1an 1an(3)若 a n ，对任意 n2 的整数恒成立，求实数 的取值范围1an 1解：(1)a 10，a n0，由已知可得 3(n2)，故数列 是等差数列1an 1an 1 1an(2)由(1)的结论可得 bn1(n1)3，所以
10、bn3n2，S n .n(1 3n 2)2 n(3n 1)2(3)将 an 代入 a n 并整理得 (1 )3n1，1bn 13n 2 1an 1 13n 2 ，原命题等价于该式对任意 n2 的整数恒成立(3n 1)(3n 2)3n 3设 Cn ，则 Cn1 C n 0，故 Cn1 Cn，(3n 1)(3n 2)3n 3 (3n 1)(3n 4)3n(n 1)C n的最小值为 C2 ， 的取值范围是(， 283 283变式训练 3 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，对任意 nN *都有 Sn an ，若23 1311)，即 an( an )23 13 23 13 23 13( an1 )
11、an an1 ，整理得： 2，a n是首项为1，公比为2 的等23 13 23 23 anan 1比数列，S k ，1S k9，1 9，即 4(2) k28，仅a1(1 qk)1 q ( 2)k 13 ( 2)k 13当 k4 时不等式成立小结与拓展：数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.四、课堂总结：（以学生为主，师生共同完成）1.等差、等比数列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题. 解应用题的关键是建立数学模型，转化为数学问题，要加强培养转化意识.2.将实际问题转化为数列问题时应注意：（1）分清是等差数列还是等比
12、数列；（2）分清是求 an还是求 Sn，特别要准确地确定项数 n.3.数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.4.强化转化思想、方程思想的应用.五、检测巩固：1某地区森林原有木材存量为 ，且每年增长率为 25，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为 b，设 na为 年后该地区森林木材的存量，（1）求 na的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于 79a，如果97b，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（参考数据：lg0.3）解：（1）设第一年的森林的木材存量为 1a，第 n年后的森林的木材存量为 na，则5()4aba，2
13、215()4b，323)1， 12 *555()()()4()1()44nnnnna abN（2）当 97ba时，有 79n得 972a即 5(4n，所以， lg51lg27.23n答：经过 8 年后该地区就开始水土流失2轻纺城的一家私营企业主，一月初向银行贷款一万元作开店资金，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的 0%，每月月底需要交纳房租和所得税为该月所得金额（包括利润）的 10，每月的生活费开支 300 元，余款作为资金全部投入再经营，如此继续，问该年年底，该私营企业主有现款多少元？如果银行贷款的年利率为 5%，问私营企业主还清银行贷款后纯收入还有多少元？解：第一个月月底余 1(20)
14、1(20)10310a元，设第 n个月月底余 na，第 个月月底余 1na，则 1(%)().8()n ，从而有 37501.83750nn，设 ,6bab， b是等比数列 11.0nnb， 16.nn， 126.8375948.6a，还贷后纯收入为 120(5%)9元3银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利现在有某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案：一次性贷款 10 万元，第一年便可获得利润 1 万元，以后每年比上年增加30的利润；乙方案：每年贷款 1 万元，第一年可获得利润 1 万元，以后每年比前一年多获利 5000元两种方
15、案的期限都是 10 年，到期一次行归还本息若银行贷款利息均以年息 10的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？（计算精确到千元，参考数据： 1010.2.594,3.796） 解：甲方案 10 年获利润是每年利润数组成的数列的前 10 项的和：1029.3(%)()(1%)42.6（万元）到期时银行的本息和为 0.5.9（万元）甲方案扣除本息后的净获利为： 42.617（万元）乙方案：逐年获利成等差数列，前 10 年共获利： (.)1(0.5)(12.)(190.)32.50（万元）贷款的本利和为：109.1.(0%)(10)7.53（万元）乙方案扣除本息后的净获利为： 32.57.5.
16、（万元）所以，甲方案的获利较多4某工厂在 1999 年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的 100，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的 23领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得 b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50，如果某人分流前工资的收入每年 a元，分流后进入新经济实体，第 n年的收入为na元，（1）求 n的通项公式；（2）当 87b时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？（3）当 a时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？解：（1）由题意得，当 1n时， a，当 2n时， 1223()()nnnab， 12()23()nnnab（2）由已知 87，当 n时，1121223838()()()()79nnnnnaaaa要使得上式等号成立，当且仅当 12837n，即 24n，解得 ，因此这个人第三年收入最少为 89元（3）当 2n时，121212333()()()()()()88nnnnnaaab，上述等号成立，须 8且 2233logl因此等号不能取到，当 3ab时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入5某工厂生产总值月平均增长率为 p，则年平均增长率为（ ）()Ap()B12 ()C12 ()D12p
