1、与对数函数有关的参数范围问题渗透于函数、不等式、方程中与对数有关的参数范围问题，是一个难点.此类题型思维性较强，条件具有隐蔽性，且解题方法灵活多样，能较好体现对学生的能力考查，因此备受高考命题者的青睐.下面举例说明.一、对数型函数中的参数范围问题此类题主要利用函数的性质(奇偶性、单调性、定义域与值域的限制等)实施价转化，常结合数形结合、分离参数等方法进行解答，要特别注意的是真数和底数对变量的限制条件.例 1 设 f(x)=lg ,其中 xR,如果当 x(-,1)时,f(x)有意义，求 a 的1+2x+4xa3取值范围.解：由题设得：当 x(-,1)时,1+2 x+4xa0恒成立，变形得：a-(
2、 )x+( )x,14 12要使式恒成立,对 x(-,1,a-( )x+( )x的最大值,( )x 和( )x 在(-,1上14 12 14 12都是减函数，-( )x+( )x在 x(-,1上都是增函数，当 x=1 时，-( )x+( )x取得最大值14 12 14 12 ,34a ,a 的取值范围是 a .34 34例 2 是否存在实数 a,使得 f(x)=loga(ax- )在区间2,4上是增函数，若存在，求出xa 的值.解：设 t= ,由对数定义有 ax- 0at 2-tat(t )0,x x1a又知 u(t)=at2-t=(t )2 (t )是以 t= 为对称轴的抛物线，且有 t ，
3、12a 14a 1a 12a 1a 12a即定义区间 t( ,+)在对称轴 t= 的右侧，因抛物线开口向上，知 u(t)在定义区1a 12a间上单调增，要使原函数在 x2,4上单调增，应 a1 且 ,解得 a1.1a 2二、对数型不等式中的参数范围问题此类题型主要涉及恒成立不等式中变量的取值范围问题，可根据 af(x)恒成立af(x) max,af(x)恒成立 af(x) min，因而利用分离参数的方法容易凑效，或者将不等式转化为所熟悉的常见不等式进行解答，或者从不等式的结构上联想相对应的函数，再利用函数的性质求解例 3 设对所有实数 x,不等式 x2log2 +2xlog2 +log2 0,
4、恒成立，4(a+1)a 2aa+1 (a+1)24a2求 a 的取值范围.解法 1：(换元转化)令 u=log2 ,则(3+u)x 2-2ux+2u0,a+12a ,解得 u0, 1,解得 0a1.)a+12a解法 2：(分离参数)原不等式可化成：x 2(3+log2 )-a+12a2xlog2 +2log2 0,a+12a a+12a即(x 2-2x+2)log2 +3x20,x 2-2x+2=(x-1)2+10,a+12a要使原不等式恒成立，当且仅当 log2 0，解得 0a1.a+12a例 4 a 为何值时，对区间0,3上任意实数 x，不等式 log (2x+2)-1 都成立？分析：0x
5、3,22x+28.又log (2x+2)log 恒成立.12a2-1当 2a2-11 时, 8,2a 2-1 (舍)；12a2-1 18当 02a 2-11 时, 2, 2a 2-1 , 2a 2-11,即 |a|1,12a2-1 12 12 a1 或-1a- .例 5 若不等式 x2- mx0 在(0， )内恒成立，则实数 m 的取值范围是( ) 12A. m1 B. 0m C.0m D. m116 116 14 116分析：题中不等式由一个整式与对数式构成，可借助函数 y= x2 与 y= mx 的图象进行处理，因为 mx x 20，x (0， )，0m1.12在直角坐标系中分别作出 y=
6、 x2 与 y= mx 的图象.由图象可知，只要当 x= 时， mxx 2，就满足条件，即 m ( )2，解得 m1，故选12 12 12 116(A).三、对数型方程中的参数范围问题求含有对数的方程中的参数的范围，其解题策略主要是将方程转化为由方程和不等式的一个混合组，然后利用数形结合、分离参数、二次函数的图象与性质等进行解答.例 7 如果方程 =2 至少有一个实数根，求 a 的取值范围.lg(x-a)lgx-lg3解：原方程等价变形为 ,方程的根满足条件 才是原方程的根，) )即方程应有不等于 3 的正根.x 1+x2=90(此时 x1，x 2 中至少有一个正根)，方程有正根的条件是=81
7、-36a0a ,令 x=3 得 a=2,但当 a=2 时方程有两941xyOa2log2.0l5图 yx-1O)2(logxxyxO 12logy=3-x33图解 x1=3，x 2=6，其中 x2 为原方程的根，a=2 也符合题意，故 a 的取值范围是(-, .94对数函数的图象的妙用 对数函数的图象很好地体现了数形结合的数学思想，对于某些对数及对数函数问题，若借助对数函数的图象求解，则显得非常简捷一、比较对数值的大小例 比较 ， 与 （其中 1）的大小a20log50la2log解：结合对数函数的图象当 时，若底数为大于零小于，底数越小，图象从 轴下越接近于 轴而 xxa2log故 a2lo
8、g20l50二、判断对数方程解的个数例 方程 的实数解有（ ）xx)(l2个 个 个 个解：令 ， )(log21xyxy2在同一坐标系中，分别画出两个函数图象如图所示，两个函数图象只有一个交点，所以方程有一个解故选注：此方程属于超越方程没有其直接解法，利用数形结合可从图象上观察到两函数图象的交点个数，从而推出方程解的个数关键是较准确做出两函数图象三、求取值范围例 若 满足 ，则 属于区间（ ）xx2logx （，） （，） （，） （，）解：由 得 ，x2logx2logO x 图在同一坐标系中做出 ，xy2log 的图象，yx如图所示可观察两图象的交点的横坐标满足 所以选x评注：本题关键是画出函数 ， 的图象，从而观察交点的横坐标xy2ly的取值范围四、求不等式的整数解例 求不等式 ）的所有整数解x(log6x解：设 在同一坐标系中，作出它们图象,1y)32y如图，两图象的两个交点，一个交点显然在（，）之间，另一个交点为由于 时， ）（）x(log6时， ）（） Px观察对数曲线在直线上方时，整数 的值只有，x评注：本题左边是一个一次函数，右边是一个对数函数，不可能直接求解，充分发挥图像的作用，则可迅速达到求解目的图高(考试题|库
