1、高中苏教选修（2-2）1.31.4 导数的应用水平测试一、选择题1函数 3yx的单调增区间为（ ）A (0)， B (1)， C (1)， D (1)，答案：C2函数 ()2xfe的极小值点为（ ）A 1xB 1C 0xD不存在答案：C3下列说法中正确的是（ ）A函数在其定义域内若有最值与极值，则其极值便是最大值，极小值便是最小值B闭区间上的连续函数一定有最值，也一定有极值C若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值D若函数在给定区间上有最值，则只有一个最大值或一个最小值；但若有极值，则可有一个或多个极值答案：D4已知 ln(0)ab，则 ab（ ）A有最大值，无最小
2、值B无最大值，有最小值C有最大值和最小值D无最大值和最小值答案：B5点 P在曲线 3yx上移动时，过点 P的切线的倾斜角的取值范围是（ ）A 0， B 3024， ，C 324， ， D ， ，答案：D6要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20cm，要使体积最大，则其高为（ ）A 03cm B100cm C20cm D 203cm答案：A二、填空题7若函数 32()fxbcxd的单调递减区间为 12， ，则 b ， c 答案： 32， 68函数 ()sincofxx在 2， 上的最大值为 ，最小值为 答案： 2， 19函数 32()9fxax，已知 ()fx在 3时取得极值，则 a等于 答案：51
3、0如右图，内接于抛物线 21yx的矩形 ABCD中，其中点 AB， 在抛物线上运动，点 CD， 在 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是 答案： 439三、解答题11设函数 32()1(0)fxkk （1）求函数 的单调区间；（2）若函数 ()fx的极小值大于 0，求 k的取值范围解：（1）当 0k时， 2()31fx，()fx的单调增区间为 ， ，单调减区间为 (0)， 当 0k时， 22()36fkxxk()fx的单调增区间为 0， ， ， ，单调减区间为 20k， ；（2）当 0k时，函数 ()fx不存在极小值，当 时，依题意 f的极小值 2810fk，即 24k，由条件 0k，解得 2k
4、的取值范围为 ()， 12求证： 231ln()1()xx ， (0)证明：设 ()fx，22)()fx 221(1x2)()x21()(1)x22()x321A令 ()0fx，解得 x，在 1附近 y由负到正当 1时， ()f有极小值，这里也是最小值即 23ln()xx ，()113已知向量 2x，a， ()xt，b若函数 ()fxAab在区间 (1)， 上是增函数，求 t的取值范围解：依定义 232()1)()ftt，2()3fxxt若 在 )， 上是增函数，则在 (1)， 上可得 ()0fx (fx的图象是开口向下的抛物线，当且仅当 (1)0ft ，且 ()5ft 时， ()fx在 1，
5、 上满足 ()0fx，即 ()fx在 ， 上是增函数，解得 t 故 t的取值范围是 5t 14某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价定为 P元，则销售量Q（单位：件）与零售价 P（单位：元）有如下关系： 283017Q问该商品零售价定为多少时毛利润 L最大，并求出最大毛利润（毛利润 销售收入 进货支出） 解：由题意知 ()20(20)LPQA328317)157016PP，2()37令 0LP，得 或 30（舍） 此时 ()2因为在 3附近的左侧 ()LP，右侧 ()0LP，(0)L是极大值根据实际意义知， (0)是最大值，即零售价定为每件 30 元时，有最大毛利润为 2
6、3000元高中苏教选修（2-2）1.31.4 导数的应用水平测试一、选择题1函数 cosinyxx在下面哪个区间内是增函数（ ）A 32， B (2)， C 352， D (23)，答案：B2函数 3()1fxa有极值的充要条件是（ ）A 0B 0 C 0aD 0a答案：C3设 ()fx， g分别为定义在 R上的奇函数和偶函数当 x时，()0x，且 (3)0g，则不等式 ()0fg的解集是（ ）A (30)， ， B (30)， ，C (， ， D ()， ，答案：D4曲线 ln(21)yx上的点到直线 230xy的最短距离是（ ）A 5B 5C D0答案：A二、填空题5面积为 S的一切矩形中
7、，其周长最小的是 答案：以 为边长的正方形6已知函数 ()fx的导数为 3()4fx，且图象过点 (23)， ，当函数 ()fx取得极大值 5时， 的值应为 答案：0三、解答题7已知 a ，函数 2()xfxae（1）当 x为何值时， 取得最小值？证明你的结论；（2）设 ()f在 1， 上是单调函数，求 的取值范围解：（1）对函数 fx求导数，得2()(2)xfxaeaex，令 ()0fx，得 2(1)0xe，从而 20a解得 21x， 21xa，其中 2当 x变化时， ()fx， f的变化如下表 1)x， 12()x， 2x2()，()fx0 0A极大值 A极小值 A则 ()fx在 1处取到
8、极大值，在 2x处取到极小值由已知 0a ， x， 20 而当 x时， ()xfae；当 时， ， 2(f ，()fx在 12)， 上为减函数，在 )x， 上为增函数所以当 2a时， (f取得最小值；（2）当 0 时， ()fx在 1， 上为单调函数的充要条件是 21x ，即 21 ，解得 34a 综上， ()fx在 ， 上为单调函数的充要条件为 34a ，即 a的取值范围是 34， 8烟囱向其周围散落烟尘造成环境污染已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比现有 AB， 两座烟囱相距 20km，其中B烟囱喷出的烟尘量是 A烟囱的 8 倍，试求出两座
9、烟囱连线上的一点 C，使该点的烟尘浓度最低解：不妨设 烟囱喷出的烟尘量为 1，则 B烟囱喷出的烟尘量为 8，设 ACx，则 022B依题意得点 处的烟尘浓度 y为 228(0)kxA（ k为比例系数） 33216(0)kyx33(961()令 ，得 2(40)xA，又 02x， 03当 ， 时， y，当 203x， 时， 0，在 ()， 上，当 23x时， y取最小值故当点 C位于距 A点 km 处时，该点的烟尘浓度最低备选题1已知函数 ()yxf的图象如图 1 所示（其中 ()fx是函数()fx的导函数） ，下面四个图象中 ()yf的图象大致是（ ）答案：C2已知递缩等比数列和 211(0)
10、nqq ，求无穷数列之和2213(0)nq 答案： 3()3请你设计一个帐篷，它下部的形状是高为 1m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为 3m 的正六棱锥（如图 2 所示） 试问当帐逢的顶点 O到底面中心 1的距离为多少时，帐篷的体积最大？解：设 1为 xm，则 4由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m ）2223()8于是底面正六边形的面积为（单位： 2）236()()4xxA帐篷的体积为（单位： m）2 3313()(8)()(162)23Vxxx求导数，得 2()()令 0Vx，解得 x（不合题决，舍去） ， 2x当 12时， ()， ()V为增函数；当 4x时， 0x， 为减函数所以当 时， ()最大所以当 1O为 2m 时，帐篷的体积最大高+考试) 题!库
